1、第 1 页 共 6 页 第 4 讲 三角函数公式与综合应用 一、知识热点及复习策略 1三角函数式的变形应利用三角公式从以下三个方面入手： （1）变名：注意条件与结论中三角函数式的名称有什么差别及联系，通过同角三角函数公式， 诱导公式，万能公式等，达到统一函数名称的目的. （2）变角：注意条件与结论中三角函数式的角有什么差别及联系，通过诱导公式、和、差、倍、 半角的三角函数公式等，达到把三角函数中的角统一起来的目的. （3）变运算形式：根据需要，将条件与结论的运算形式化一，将等式一边的运算形式化成另一 边的运算形式，通过升次与降次的转化以达到目的. 2应用三角变换公式，要注意公式间的联系，公式成
2、立的条件. 每个三角公式的结构特征，都决定 了它的双向功能，从左到右及从右到左常常可起到不同的作用. 所谓三角恒等变形是指在有意义的条 件下有恒等关系，但三角变换常常会改变三角式中角的取值范围，因此在讨论由三角函数式表示的函 数性质时，应首先确定其定义域，以确保变形后的函数与原函数是同一函数. 3三角函数不仅是一门重要的数学知识，同时也是一种重要的数学工具，要善于运用这一工具解决 相应的综合问题. 二、例题分析： 例 1定义在 R上的偶函数 f (x)满足 f (x+2)=f (x)且 f(x)在3，2上是减函数，又 、为锐角三 角形的两内角，则（ ）. Af (sin ) f (cos )
3、Bf (sin ) f (cos ) Cf (sin ) f (sin ) D f (cos ) f (cos ) 例 2有四个关于三角函数的命题： 1 p ： x R, 2 sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 22 p : , xyR , sin( ) sin sin xyxy = 3 p : x 0, , 1c o s 2 sin 2 x x = 4 p : sin cos 2 xyx y = += 其中假命题的是 A 1 p ， 4 p B 2 p ， 4 p C 1 p ， 3 p D 2 p ， 3 p 例 3在极坐标系中，由三条直线 0 = ， 3 = ， 1 sin
4、cos = + 围成图形的面积是_. 例 4 已知函数 x x x f tan sin ) ( + = . 项数为 27 的等差数列 n a 满足 2 2 ， n a ， 且公差 0 d . 若 0 ) ( ) ( ) ( 27 2 1 = + + + a f a f a f ，则当 k =_时， 0 ) ( = k a f . 例 5 已知 A，B，C 是三角形ABC 三内角，向量 ( ) () 13 ,c o s, s i n mnA A = = u urr ，且 1 mn = uurr（）求角 A； （）若 22 12 3 sin cos sin B BB + = ，求 tanB。 例
5、6已知 F ( ) = cos 2 +cos 2 ( + )+cos 2 ( + )，问是否存在满足：0 的 、 ，使得 F ( ) 的值不随 的变化而变化，如果存在，求出 、 的值；若不存在，说明理由. 第 3 页 共 6 页 例 7设 P为离心率是 1 2 的椭圆上任意一点，F 1 、F 2 是椭圆的两个焦点，且 PF 1 F 2 = ， PF 2 F 1 = . 试求 222 2 22 2 sin sin cos ( ) + + 的值. 例 8在ABC 中，A、B、C所对的边分别为 a, b, c，若 b 2 = ac，求 12 sin sin cos B y B B + = + 的取值
6、范围. 例 9 （2010浙江理）在ABC中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c，已知 1 cos 2 4 C = ( I ) 求 sinC 的值； ()当 a = 2， 2sinA = sinC 时，求 b及 c 的长 第 4 页 共 6 页 例 10 （ 辽宁理）在ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C的对边，且 2 sin (2 )sin (2 )sin . aAacBcbC =+ + （）求 A的大小； （）求sin sin B C + 的最大值. 综合练习： 1. 在 ABC 中， 4 3 cos sin , tan tan 3 3 tan tan = =
7、+ + A A B A B A ，则该三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形或直角三角形 2. 化简： = + 3 1 arctan 2 cot arc 。 3. 化简： = + ) 5 tan 5 (cot 10 sin 20 sin 2 20 cos 1 _。 第 5 页 共 6 页 4. 已知函数 11 7 ( ) , ( ) cos (sin ) sin (cos ), ( , ). 11 2 t ft gx xf x xf xx t = + +（）将函数 () gx化简成 sin( ) AxB + （ 0 A ， 0 ， 0,2 ) ）
8、的形式； （）求函数 () gx的值域. 5. 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 c b a , , ，且 3 1 cos = A 。 （1）求 A C B 2 cos 2 sin 2 + + 的值； （2）若 3 = a ，求bc的最大值。 6. 在 ABC 中，若角 A、B、C的三角关系式是 2 2 cos Ccos(A B) cos C y=+ （1）若任意交换 A、B、C 的位置， y 的值是否会发生变化？试证明你的结论； （2）求 y 的最大值。 第 6 页 共 6 页 7. 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域. 点 E 正北 55 海里处有一个 雷达观测站 A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 o 且与点 A 相距 40 2 海里的 位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 45 o + (其中 sin = 26 26 ， 09 0 oo )且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
