1、 等差、等比数列 第 1页 第 5 讲 等差、等比数列 一、知识热点和复习策略 1等差、等比数列的定义、通项、中项、前 n项和是数列的基础和重点内容，应注意： （1）通项公式与前 n项和公式的灵活应用。 如等差数列： a n = a 1 + (n - 1)d = dn + (a 1 - d) = a m + (n - m)d， n ) 2 d a ( n 2 d d 2 ) 1 n ( n na S 1 2 1 n + = + = 等. （2）公式条件，如等比数列 q 1时， q 1 ) q 1 ( a S n 1 n = 。 （3）公式的导出思想： 倒序相加法与错位相减法等。 2等差、等比数
2、列的三个充要条件： (1) 数列a n 是等差数列 a n = an + b (a, b是常数） (2) 数列a n 是等差数列 S n = an 2 + bn (a, b是常数） (3) 非常数列a n 是等比数列 S n = a (b n - 1) (a 0, b 0, 1，且是常数) 3在解决等差数列和等比数列的问题时，充分应用题中涉及的概念、通项公式、前n 项和公式及有 关性质，布列等式、消元、解方程、赋值法、存在性问题的反设推导法，可以减少运算量，提高解题 效率及准确度。 二、例题分析与练习： 例 1填空题 1. 已知等差数列a n 中， 2 41 21 n n a n an = ，
3、 则 2n n S S =_。 第 2页 2. 等差数列a n ，b n 前 n 项和分别为 S n , T n ，若 2 31 n n S n Tn = + ，则 7 7 a b =_。 3. 设各项均为实数的等比数列a n 的前 n 项和为 S n , 若 S 10 = 10，S 30 = 70，则 S 40 = _。 4. 等差数列 3，10，17，2012与 3，8，13，2008 中，值相同的项有 个。 5. 将正奇数集合 , 5 , 3 , 1 L 由小到大按第 n组有 ) 1 2 ( n 个奇数进行分组： 1 ， 7 , 5 , 3 ， 17 , 15 , 13 , 11 , 9
4、 ， 第一组 第二组 第三组 则 2011 位于第_组中。 6. 等差数列 n a 的公差为 1，且 123 9 9 99 aaa a += L ，则 369 9 9 aaa a + + L 的值 为 . 7. 设 471 0 3 1 0 ()2222 2( ) n fnn N + =+ L ，则 () f n 等于 . 8. 已知等差数列的第 k, n, p 项构成等比数列的连续 3 项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列 的公比为 . 第 3页 例 2选择题 9. 已知数列a n 的前 n 项和 S n 满足 S n + S n+1 = a n+1 (n N*)，那么数列a n （ ）
5、 。 A. 是等差数列不是等比数列 B. 是等差且等比数列 C. 是等比数列不是等差数列 D . 不是等差且不是等比数列 10. 等差数列a n 中，a 10 0, 且 a 11 |a 10 |，S n 是前 n 项和，则（ ） 。 A. S 1 ,S 2 S 10 0 B. S 1 ,S 2 ,S 19 0 C. S 1 ,S 2 S 5 0 D. S 1 ,S 2 S 20 0 11. 将正偶数按下表排成 5 列 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 28 26 则 2010 在（
6、 ） 。 A . 第 126 行，第 3 列 B. 第 126 行，第 4 列 C . 第 252 行，第 4 列 D. 第 252 行，第 5 列 12. 已知正项非常值数列 n a ， n b 满足： 1 , , + n n n a b a 成等差数列， 1 1 , , + + n n n b a b 成等比数列。令 n n b c = ，则下列关于数列 n c 的说法正确的是（ ） A. n c 为等差数列 B. n c 为等比数列 C. n c 的每一项为奇数 D . n c 的每一项为偶数 13. 已知 d c b a , , , 成等比数列，则下列三个数： d c c b b a
7、+ + + , , ； cd bc ab , , ； d c c b b a , , 中，必成等比数列的个数为（ ） A . 3 B. 2 C. 1 D . 0 第 4页 14. 把数列 1 2 + n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3） ， （5，7） ， （9，11，13） ， （15，17， 19，21） ， （23） ， （25，27， ） ， （29，31，33） ， （35，37，39，41） ，在第 100 个括号内各数之和为 （ ） A. 1992 B. 1990 C. 1873 D. 1891 15. 等比数列a n 中，首项 1 2010 a = ，公比 2 1 =
8、 q ，记 n T 为它的前 n 项之积，则 n T 最大时，n 的值 为（ ） A . 9 B. 1 1 C. 1 2 D . 13 例 3解答题 16. 数列a n 为正项等比数列，前 n项和为 80，其中数值最大项为 54；前 2n 项的和为 6560，试求 a 1 和公比 q. 17. 设 9 10 a = ，数列a n 是首项为 a，公比为-a 的等比数列，令 b n = a n lg |a n |，问是否存在正整数 M， 使得对任意的 n N*，恒有 b n b M . 18已知把等差数列a n 的所有项依次排列，并作如下分组，(a 1 ), (a 2 ,a 3 ), (a 4 ,a 5 , a 6 ,a 7 ) (其中第 n 组有 2 n-1 项)，记 T n 为第 n 组中各项的和，已知 T 3 = 48, T 4 = 0. (1)求数列a n 的通项公式. (2)数列T n 的通项公式. (3)设数列T n 的前 n 项和为 S n ，求 S 8 .
