1、1山西省太原市第五中学 2019 届高三数学上学期 10 月月考试题 理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 2|30Ax， 1Bx，则 AB（ ）A |3x B |03或C |1 D |1xx或2.若复数 z满足 izi2)(，其中 i为虚数单位，则 z的共轭复数 z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.设 6log2a， 15lb， 21log7c，则（ ）A. c B. a C. b D.ac4.执行该程序框图，若输入的 ， 分别为 12，20，则输出的a（ ）A. 0 B
2、. 2 C. 4 D. 125. 已知数列 na的前 项和 nnSa，且 1，则 5S（ ）A. 27 B. 5327 C. 36 D. 316.数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果。哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 172358.在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是（ ）A.1 B.14 C.1 D.7.在 ABC中， 12,tan42Ba，则 AC的面积等于（ ）A.85 B.57 C.87 D. 878.若函数 21,()xfa在 R上是增函数，则 a的取值范围为（ ）A 2,3 B ,) C 1,3 D 1
3、,)9. 已知向量， b的夹角为 60，且 2， 7ab，则 b（ ）A. B. 3 C. D. 310.已知函数 ()sin()fxAwx（其中 0,Aw）的图象 关于点5(,012M成中心对称，且与点 M相邻的一个最低点为 2(,)3N，则对于下列判断：直线 x是函数 ()fx图象的一条对称轴；点 (,0)12是函数 的一个对称中心；函数 y与 35()12fx的图象的所有交点的横坐标之和为 7.其中正确的判断是（ ）A B C D 11已知椭圆2:1(0)xyab长轴两个端点分别为 A、B ，椭圆上一动点P（异于 A，B）和 A、B 的连线的斜率之积为常数 ，则椭圆 C 的离心率为( )
4、A 1 B. C. 21 D 21212. 已知函数 21()2ln()fxxe， (1gmx，若 ()fx与 g的图像上存在关于直线 y对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A ,e B 23,e C. 2,3e D. 32,e第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 定积分 ，则 展开式中 的系数是 adxex1)( )(2x14.已知 表示不超过实数 的最大整数，函数 ， 是函数 (g0的零点，则 = xxf3log)(20()gx15
5、. 已知数列 na中， 是其前 n项和， ，则 =_.nS1()2nnSa19S16. 已知四边形 中， ， ，设 与ABCDCD3ABD面BCD积分别为 ， .则 的最大值为 1S221S三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知 ABC 的内角 ， ， C满足 sinsisinABCBAC（1）求角 ；（2）若 的外接圆半径为 1，求 的面积 S的最大值18 （本小题满分 12 分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了 10位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款（单位：元） 0,5,10,501,20,顾客人数 a23b统计结果显示 1
6、00 位 顾客中购物款不低于 150 元的顾客占 30%，该商场每日大约有5000 名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每人一件)（1）试确定 a， b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有 5 人前去该商场购物，求获得纪念品的人数 的分布列与数学期望19.（本题满分 12 分）如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2， D为 CC1中点（）求证： AB1平面 A1BD；（）求二面角 A A1D B 的余弦值.20. （本小题满分 12 分）已知 0p，抛物线 1C： 2xpy与抛物线 2C： ypx异于原点 O的交点为 M，且抛物
7、线 1在点 M处的切线与 轴交于点 A，抛物线 2在点 处的切线与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 .来（1）若直线 x与抛物线 1C交于点 P， Q，且 6，求 PQ；（2）证明： O的面积与四边形 AOM的面积之比为定值.321.（本小题满分 12 分）已知函数 .eln1xfm（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1yfx1f，（）当 时，证明： .请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标
8、系与参数方程】在直角坐标系 xOy中，直线 1:2Cy，曲线2cos:1inxCy（ 02），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 12,C的极坐标方程；（）直线 l的极坐标方程为()6R，若 l与 1C交于点 P， l与 2C的交点为,OQ，求 2P的面积.23、 （本小题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】已知函数 ()|5|fxx.（）求不等式 1的解集；（）若关于 x的不等式31()02afx的解集不是空集，求实数 a的取值范围.10 月 月 考 答 案一 、 选 择 题1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C7.D 8.A 9.D 10.C 11.A
9、 12.D二 、 填 空 题13. 80； 14.2； 15. 16. 2078三、解答题17.解：（1）设内角 ， B， 所对的边分别为 a， b， c根据 sinsisinACAC，可得22abcabc，所以21osA，又因为 0，所以 3（2） 2sini3sinaRAA，所以 23bcbc ，所以13i24S（ 时取等号） 18.解：（1）由已知，100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客有 2013%b，0b； 010a该商场每日应准备纪念品的数量大约为 65301（2）由（1）可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率 5p，故 5 人购物获得纪念品的人数服从二项分布，即 ，(,
10、)B:4， ，05532()()1PC145328()()65PC， ，46，415()()2550()()312的分布列为： 0 1 2 3 4 5P32548651642()()PC231数学期望为 E19.解:（）取 BC 中点 O，连结 AOABC 为正三角形，AOBC在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1 取 B1C1中点 O1，以 O 为原点， ， 1， OA的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系： xyz，如图所示，则 B(1， 0，0)， D(1，1，0)， A1(0，2， 3)，A(0，0， 3)， B1(1，2
11、，0)， 1,23， 2,0， ,B 1D， 0A， A， 1A， AB1 平面 A1BD（）设平面 A1AD 的法向量为 ,xyzn ,3()D， ,20() n， 1， 10A， 02z， yxz，令 1得(3,)0为平面 A1AD 的一个法向量由（1）知AB1 平面 A1BD， B为平面 A1BD 的法向量， 1136cos 42ABn, 二面角 A A1D B 的大小的余弦值为20. 解：（1）由 ，消去 得 .2yxpy20xp设 ， 的坐标分别为 ， ，则 ， .PQ1(,)2(,)1212xp ， ， .212460p .21Oxy212()xx122x41（2）证明：由 ，得
12、或 ，则 .2pyp0y(,)Mp设直线 ： ，与 联立得 .AM1()ykx2x22114()0xkk由 ，得 ， .2211460pk1()0k1设直线 ： ，与 联立得 .B2()yxp2ypx22()kypk由 ，得 ， .2k2()k2故直线 ： ，直线 ： ，AM()yxBM1()yx从而不难求得 ， ， ，(,0)p2,(0,)Cp ， ，2BOCS3ABMS 的面积与四边形 的面积之比为 （为定值）.O213p21.解析：（）解：当 时， ，1m()elnxf所以 ()exf5所以 ， . (1)ef(1)ef所以曲线 在点 处的切线方程为 yxf， (e1)(1)yx即 .e
13、（）证法一：当 时， .1m()eln1elxxf要证明 ，只需证明 .()fx20设 ，则 .(eln2g()exg设 ，则 ，1)xh21h所以函数 在 上单调递增()ex0+（ ， ）因为 ， ，12g(1)g所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .()ex0+（ ， ） 0x1,2因为 时，所以 ，即 .0()g01x0ln当 时， ；当 时， .0,x()0,()0gx所以当 时， 取得最小值gxgx故 0 01()=eln2gx综上可知，当 时， .1mfx证法二：因为 ，()eln1f要证明 ，只需证明 .x20x设 ，则 .()eln2xgm1()exgm设 ，则 1h20hx所以
14、函数 在 上单调递增因为xe+， ，1122e0mmg1e0gm所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .因为()x+， 0x1,2，所以 ，即 0gx01exm0lnlxm当 时， ；当 时， .0,g0,0gx所以当 时， 取得最小值 xxgx故 00 01eln2ln2gmm综上可知，当 时， 1fx22解：（）因为 ， cos,iy 的极坐标方程为 . 1Cin2曲线 的直角坐标方程为2 (1)x从而曲线 的极坐标方程为 . si02sin（）将 代入 ，得 ，即 ， 6sin2141|4OP将 代入 ，得 ，即 ，从而 ，2|Q12|5Q因为 到直线 的距离为 ，则 的面积为 .2Cl322CP1354623.解: （） ；21,4()|5|4|95,xfxx当 时，由 ，解得 ；4x21当 时， ，不成立；5()9fx当 时，由 ，解得 ；6综上可知：不等式 的解集为 . ()1f(,5,)（） ，()|5|4|)4|9fxxx又不等式 的解集不是空集3102af31313 2()9()8()1322aaa故实数 的取值范围是 . (,)
