1、1专题 07 圆锥曲线一、选择题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】已知双曲线 的左、右焦点分别为，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 两点，若四边形 （ 为坐标原点）的面积为 ，且 ，则点 的横坐标的取值范围为（ ）A BC D【答案】A2. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知双曲线 的左、右2焦点分别为 ，左、右顶点分别为 A、B，过点 的直线与双曲线 C 的右支交于 P 点，且的外接圆面积为A B C D【答案】C3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联
2、合质量测评数学（理)试题】已知椭圆两个焦点之间的距离为 2，单位圆 O 与 的正半轴分别交于 M，N 点，过点 N 作圆 O 的切线交椭圆于 P，Q 两点，且 ，设椭圆的离心率为 e，则 的值为A B C D【答案】A【解析】因为 两个焦点之间的距离为 2，所以 ，所以 t=1，由得 ，由已知得， ，所以 ，所以 ，故选 A. 5. 【河北省衡水中学 20182019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知 的准线交 轴于点 ，焦点为 ，过 且斜率大于 0 的直线交 于 ， ，则（ ） 3A B C4 D3【答案】B【解析】设 ， ，因为 ，即 ，整理化简得 ， ， ，代入余弦定理整理
3、化简得： ，又因为 ，所以 ， ，选 B.6. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】如图，设椭圆 E：的右顶点为 A，右焦点为 F， B为椭圆在第二象限上的点，直线 BO交椭圆 于点 C，若直线 BF平分线段 C于 M，则椭圆 E的离心率是（ ）A 12 B 3 C 1 D 4【答案】C7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知直线 l： ，若存在实数 a使得一条曲线与直线 l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 a，则称此曲线为直线 l的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：4 ； ； ； 24yx.其中直线 l
4、的“绝对曲线”的条数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】C所以圆（x1） 2+（y1） 2=1 是直线 l 的“绝对曲线” ；对于，将 y=ax+1a 代入 x2+3y2=4，得（3a 2+1）x 2+6a（1a）x+3（1a） 24=0x 1+x2= 63a, x1x2= 若直线 l 被椭圆截得的线段长度是|a|，则化简得 令 f（a）= f（1） 0，f（3） 所以函数 f（a）在（1，3）上存在零点，即方程 有根而直线过椭圆上的定点（1，1） ，当 a（1，3）时满足直线与椭圆相交故曲线 x2+3y2=4 是直线的“绝对曲线” 对于将 y=ax+1a 代入 24yx.把直线 y
5、=ax+1-a 代入 y2=4x 得 a2x2+（2a-2a 2-4）x+（1-a） 2=0，x 1+x2= ，x 1x2=若直线 l 被椭圆截得的弦长是|a|，则 a2=（1+a 2）（x 1+x2） 2-4x1x2=（1+a 2）化为 a6-16a2+16a-16=0，令 f（a）=a 6-16a2+16a-16，而 f（1）=-1505函数 f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程 f（a）=0 有实数根，当 a（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线” 综上可知：能满足题意的曲线有故选：C 12. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)理数试题试卷】 （题文）焦
6、点为 F的抛物线2:8Cyx的准线与 轴交于点 A，点 M在抛物线 C上，则当 MAF取得最大值时，直线 MA的方程为（ ）A 2yx或 x B 2yxC 或 2y D 【答案】A【解析】过 M作 P与准线垂直，垂足为 P，则 ，则当 MAF取得最大值时， AF必须取得最大值，此时直线 AM与抛物线相切，可设切线方程为 与28yx联立，消去 y得 ，所以 ，得 1k则直线方程为或 2故本题答案选 14. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】设双曲线 的左、右焦点分别为612,F，过 的直线与双曲线的右支交于两点 ,AB，若 ，且 2F是 AB的一个四等分点，则双曲线 C的离心率是（ ）A
7、 52 B 10 C 52 D5【答案】B15. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】已知直角坐标原点 为椭圆 ： 的中心， 为左、右焦点，在区间 任取一个数 ，则事件“以 为离心率的椭圆 与圆 ： 没有交点”的概率为（ ）A B C D【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点 到圆心 的距离：，整理可得 ，7据此有： ，题中事件的概率 .本题选择 A 选项.16. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过 的正角.已知双曲线 ： ，当其离心率 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A B C D【答案】D本题选
8、择 D 选项.17. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知抛物线 的焦点为 F，点是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段 MF 相交于点 A，且被直线 截得的弦长为 ，若，则A B1C2 D38【答案】B【解析】由题意：M（x 0，22）在抛物线上，则 8=2px0，则 px0=4，由抛物线的性质可知, ， ，则 ，被直线 截得的弦长为3|MA|，则 ，由 ，在 RtMDE 中，丨 DE 丨 2+丨 DM 丨 2=丨 ME 丨 2，即， 20. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是( )A B C D【答案】C【解析】联立直线和
9、双曲线的方程得当 ，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当 ， ，解之得 .故答案为：C21. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知直线 与圆 相交于 ，且 为等腰直角三角形，则实数 的值为( )A 或 B C D1 或【答案】D922. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知点 是圆 内一点，直线是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程为 ，那么( )A 且 与圆 相切 B 且 与圆 相切C 且 与圆 相离 D 且 与圆 相离【答案】C【解析】以点 M 为中点的弦所在的直线的斜率是 ，直线 m 的斜率为 ，直线 lm，点 M（a，b）是圆
10、x2+y2=r2内一点，a 2+b2r 2，圆心到 bxay=r 2的距离是 r，故相离故答案为：C 故答案为：C26. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点， 为坐10标原点. 的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是（ ）A B C D【答案】B27. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】抛物线 的焦点坐标是A(0,1) B(1,0) C(0,2) D(0, )【答案】D【解析】抛物线的标准方程为 x2= y，p= ，开口向上，故焦点坐标为（0， ） ，故选：D28. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期
11、期中考试理科数学试题】已知圆 F1：（x+2）2+y236，定点F2（2，0） ，A 是圆 F1 上的一动点，线段 F2A 的垂直平分线交半径 F1A 于 P 点，则 P 点的轨迹 C 的方程是（ ）A BC D【答案】B【解析】连结 ，则 =PA， + =PA+ = =6 ，由椭圆的定义可得点 的轨迹为以点 、 为焦点，长轴为 6 的椭圆 2a=6，即 a=3，又焦点为（2，0） ，即 c=2，11b 2=a2c 2=94=5，故点 P 的轨迹 C 的方程为：故选：B29. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】已知 是双曲线上不同的三点，且 连线经过坐标原点，若直线
12、 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为A B C2 D3【答案】C e=2故选：C30. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( )A 34 B 2C1 D212【答案】D31. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】已知 是椭圆 的左、右焦点，点 ，则 的角平分线的斜率为 ( )A B C D【答案】C【解析】由椭圆 ，则 F1（2，0） ，F 2（2，0） ，则直线 AF1的方程为 y= （x+2） ，即 3x4y+6=0，直线 AF2的方程为 x=2
13、，由点 A 在椭圆 C 上的位置得直线 l的斜率为正数，设 P（x，y）为直线 l 上一点，则 |x2|，13解得 2xy1=0 或 x+2y8=0（斜率为负，舍） ，直线 l 的方程为 2xy1=0，直线的斜率为：2.故答案为：C二、填空题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】已知抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线与直线 所围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】抛物线 的标准方程为 ,由 得 或 ,图形面积,故填 . 。 ， ， 。在 12PF中，由余弦定理可得： ,在 12Q中，由余弦定理可得： 。 ， ， ,整理得 91ac， 91cea。 答案： 。6. 【河北省衡
14、水中学 2018 届高三十六模】已知点 A是抛物线 C： 2xpy（ 0）上一点， O为坐标原点，若 ,AB是以点 0,8M为圆心， O的长为半径的圆与抛物线 C的两个公共点，且14ABO为等边三角形，则 p的值是_.【答案】 237. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】设点 是椭圆 上的点，以点 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于不同的两点 、 ，若 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为_【答案】【解析】因为圆 与 轴相切于焦点 ，所以圆心与 的连线必垂直于 轴，不妨设 ，因为 在椭圆上，则 ，所以圆的半径为 ，由题意 ，所以 ，所以 .8. 【河北省衡水中
15、学 2018 年高考押题(二)】在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， ，当五边形 的面积 时，则 的取值范围为_【答案】【解析】由题意可设： ，则：，则：当 时，面积由最大值 ；当 时，面积由最大值 ；结合二次函数的性质可得： 的取值范围为 .159. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知双曲线 的左、右顶点分别为,AB两点，点 0,2Cb，若线段 AC的垂直平分线过点 B，则双曲线的离心率为_【答案】 1【解析】由题意可得， ABC为正三角形，则 23bc，所以双曲线的离心率 .10. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是
16、他们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_.【答案】F 1PF2= ，则由余弦定理可得 4c2=（r 1） 2+（r 2） 22r 1r2cos ，在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r 1r2，在双曲线中，化简为即 4c2=4a12+r1r2，由柯西不等式得（1+ ） （ ）（ ） 2故答案为：1611. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试 】已知双曲线 ，圆.若双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则当 取得最大值时， 的实轴长为_【答案】【解析】双曲线的一条渐近线方程为： ，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即： ，据此可知： ，则 ，
17、故 ，令 ，则 ，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时， 取得最大值时，此时 的实轴长为 . 2. 【河北省衡水中学 20182019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图，椭圆 ： 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，过抛物线 ： 焦点 的直线交抛物线于 两点，当 时， 点在 轴上的射影为 ，连接 并延长分别交 于 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， ，设 .17（1）求椭圆 和抛物线 的方程；（2）求 的取值范围.【答案】 （I） ， ；（II） 所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 。 18由 ，解得 ，所以 ，由可知，用 代
18、替 ，可得 ， 由 ，解得 ，所以 ，用 代替 ，可得19所以，当且仅当 时等号成立。所以 的取值范围为 . 3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试 题】设抛物线 的焦点为 F，已知直线 与抛物线 C 交于 A，B 两点(A，B 两点分别在 轴的上、下方)(1)求证： ；(2)已知弦长 ，试求：过 A，B 两点，且与直线 相切的圆 D 的方程【答案】 （1）见解析；（2） 或因为 A， F， B 三点共线，所以（2）因为 AB=8，所以 .所以 ，20所以 m=1. 线段 AB 的中点坐标为（3 m，2 m） ，即（3，2） ，所以线段 AB 的中垂线方
19、程为 ， 因为所求的圆过 A， B 点，所以圆心 D 在直线 上，设所求圆的圆心坐标为 ，不难算得两条平行线 与之间的距离 ，即 D 到直线 的距离 ，由 D 到直线 的距离得 .设圆 D 的半径为 R，则 ，因为过点 A 与点 B 的圆与直线 相切，所以 ，所以 ， 5. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】如图，设抛物线的准线 l与 x轴交于椭圆 的右焦点 21,F为 2C的左焦点.椭圆的离心率为 12e，抛物线 1C与椭圆 2交于 x轴上方一点 P，连接 1并延长其交 于点 Q， M为1C上一动点，且在 ,PQ之间移动.21（1）当 32ab取最小值时，求
20、1C和 2的方程；（2）若 1PF的边长恰好是三个连续的自然数，当 MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线 M的方程【答案】 （1）2143xy（2） PQ的面积最大值为 此时所以 3m此时抛物线方程为 21yx， ，则直线 PQ的方程为联立 ，得 192或 1x（舍去） ，于是 所以，22设 到直线 PQ的距离为 d，则 ，当 62t时，所以 M的面积最大值为 此时 设 到直线 PQ的距离为 d，则 ，当 62t时，所以 M的面积最大值为 此时9. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点，动直线 ： 交椭圆 于不同的两点 ， ，且 （ 为坐标
21、原点）.（1）求椭圆 的方程.（2）讨论 是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1) ;(2)2.23（2）设 ，由 ，可知 .联立方程组消去 化简整理得 ，由 ，得 ，所以 ， ，又由题知 ，即 ，整理为 .将代入上式， 得 .化简整理得 ，从而得到 .10. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】 中， 是 的中点， ，其周长为 ，若点 在线段 上，且 .（1）建立合适的平面直角坐标系，求点 的轨迹 的方程；（2）若 是射线 上不同的两点， ，过点 的直线与 交于 ，直线 与 交于另一点，证明： 是等腰三角形.【答案】 （1） （2）见解析24所以点 的轨迹
22、方程为 .设 ，点 在线段 上，且 ， 所以 ，代入 ，整理可得点 的轨迹 的方程是 .（2）证明：设 ，由 得 .由题意，直线 不与坐标轴平行， ，直线 的方程为 .与椭圆方程联立，消去 ，得.25所以 ，同理 ，所以 ，或 .当 时， 轴，当 时， 轴，所以 ，所以 是等腰三角形. 由 消 y，得（1+4k 2）x 2-（16k 2+8k）x+16k 2+16k=0， =-64k0,所以 k0,设 ，则 x1+x2= ,x1x2= ,因为 = = ， 所以要使对任意满足条件的 k， 为定值，则只有 t=2，此时 =1.故在 x 轴上存在点 Q（2，0）使得直线 QM 与直线 QN 的斜率的
23、和为定值 1.13. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】已知椭圆的离心率为 是它的一个顶点，过点 P作圆 的切线 ,PT为切点，且 2PT.26（1）求椭圆 1C及圆 2的方程；（2）过点 P作互相垂直的两条直线 12,l，其中 1l与椭圆的另一交点为 D， 2l与圆交于 ,AB两点，求ABD面积的最大值.【答案】 （1） ，椭圆方程为24xy;（2） AB的面积最大值为 3.14. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，且 .（1）求 的方程；（2）设点 是 上异于点 的一点，直线 与直线 交于点 ，过点 作 轴的
24、垂线交 于点 ，证明：直线 过定点.27【答案】 （1） 的方程为 ；（2）见解析.【解析】（1）解：根据题意知， ，因为 ，所以 . 联立解的 ， . 所以 的方程为 . （2）证明：设 ， .由题意，可设直线 的方程为 ，代入 ，得 .根与系数的关系.得 ， .由 轴及点 在直线 上，得 ，则由 ， ， 三点共线，得 ， 整理，得 .将代入上式并整理，得 . 由点 的任意性，得 ，所以 .即直线 恒过定点 . 17. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知定点 0,1F，定直线 l： 1y，动圆 M过点 F，且与直线 l相切.（）求动圆 M的圆心轨迹 C的方程；（）过点 的
25、直线与曲线 相交于 A， B两点，分别过点 A， B作曲线 C的切线 1l， 2，两条切线相交于点 P，求 AB外接圆面积的最小值.【答案】 （） 24xy；（）当 0k时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.2818. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】已知椭圆 的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆 的长轴为直径的圆与直线 相切.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点的动直线（ 轴除外）与椭圆 相交于 ， 两点，探究在 轴上是否顾在定点 ，使得为定值？若存在，试求出定值和点 的坐标；若不存在，请说明理由.29【答案】(1) .(2) 在 轴上存在定点 ，使得 为定值 .（2）当直线的斜率存在时，设直线联立 ，得所以假设 轴上存在定点 ，使得 为定值。所以30
