1、1第 1 讲三角函数1三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换， “角”的变换是三角恒等变换的核心1常用三种函数的图象性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图象递增区间2,2k2k ,2k递减区间,奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心,0k,02
2、k,02k对称轴 x k 2x k周期性 2 2 2三角函数的常用结论(1)y Asin(x )，当 k( kZ)时为奇函数；当 k 2( Z)时为偶函数；对称轴方程可由 x k 2( )求得(2)y Acos(x )，当 k (kZ)时为奇函数；当 k( kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 x k( )求得(3)y Atan(x )，当 k( )时为奇函数3三角函数的两种常见变换2(1)ysin x 00 向 左 或 向 右平 移 个 单 位ysin( x ) A 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍横 坐 标 不 变 y Asin(x )(A0， 0)y Asin(x )(A0， 0)4三角函
3、数公式(1)同角关系：sin 2 cos 2 1， sintaco(2)诱导公式：对于“ k， Z的三角函数值”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sinsincosin；co；tatta1(4)二倍角公式： sin2icos， 2222cosincos1sin(5)辅助角公式： asin x bcos x sin(x )，其中 taba2 b2热点一 三角函数的图象【例 1】(1) (2018清流一中)已知函数 12cos4yx，（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；3（2）函数 图象经过怎样的变换可以得到
4、12cos4yx的图象？xycos(2)函数 f(x) Asin(x ) 0,A的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( )A ()2sin6fxB ()2sin3fxxC ()i1fxD ()2sin6fxx(1)解 (1)列表 x2325721240cosyx2 0 20 2【注：列表每行 1 分，该行必须全对才得分；图象五点对得 1 分，图象趋势错扣 1 分】（2）把 的图象向左平移 4个单位得到 cos4yx的图象，再把 cos4yx的图象纵坐标不xycos4变，横坐标变为原来的 2 倍得到 1cos24yx的图象，最后把 1cos24yx的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的 2
5、 倍，得到 s的图象(2)由(1)知 ()5sin6fxx，根据图象平移变换，得 ()5sin26gxx因为 ysin x 的对称中心为 ,0k， Z令 2x2 6 k， ，解得 21x， k由于函数 y g(x)的图象关于点 ,0成中心对称，令 5212， kZ，解得 23k， Z由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 6(2)解析 (1)由题意知 A2， 5412T， 2，因为当 512x时取得最大值 2，所以 sin，所以 k， Z，解得 32k， Z，因为| |0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法
6、”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置【训练 1】(1) (2018孝感期末)已知函数 1sin20,2fxAxA， 3xmgx，fx的图像在 y轴上的截距为 1，且关于直线 1对称若对于任意的 1,x，存在 20,6，使得 12gfx，则实数 m的取值范围为_(2)(2017贵阳调研)已知函数 f(x) Asin(x )( 0A， ， 2)的部分图象如图所示5求函数 f(x)的解析式；将函数 y f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，再把所得的函数图象向左平移12个单位长度，得到函数 y g(x)的图象，求函数 g(x)
7、在区间 上的最小值 6 0， 8解析(1)因为 fx的图像在 轴上的截距为 1，且关于直线 12对称，所以 10sin2fA， sin2，又 ， ，所以 3， A，所以 13sin2fxx， 60,x，所以 2,， 3si,12， 1,32fx， min1fx，因为 3xmgx， ,x，所以 ming，若对于任意的 1,2，存在 20,6，使得 12xf，则 12miningxf，所以 13m，解得 3，所以实数 的取值范围为 2,，答案为 2,m答案 2,3(2)解 设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 A1， ，T2 23 6 2即 T，所以 ，解得 2，故 f(x)sin(2
8、x )2由 0sin 可得 2 k， Z，(2 6 ) 3则 2 k ， kZ，因为| | ，所以 ， 3 2 3故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin (2x 3)6根据条件得 g(x)sin ，(4x 3)当 x 时，4 x ，0， 8 3 3， 56所以当 x 时， g(x)取得最小值，且 g(x)min 8 12热点二 三角函数的性质【例 2】(2018哈尔滨三中)已知函数 sin0,2fxAx的图象与 y轴的交点为0,3，它在 y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 0,x和 0,2（1）求 fx解析式及 0x的值；（2）求 f的单调增区间；（3）若 20,x时，函数
9、21gxfm有两个零点，求实数 m的取值范围解（1）由题意知， A， T， ， 2T；又图象过点 0,3， 2sin3， 3sin；又 2， ； i2fxx；又 0,x是 f在 y轴右侧的第 1 个最高点， 023，解得 0512x（2）由 232kxkZ，得 1kxkZ， fx的单调增区间为 5,1；（3）在 20,时，函数 21gxfm有两个零点， gx有两个实数根，即函数图象有两个交点 1sin234m在 0,2上有两个根， 0,x， ,3x，7结合函数图象，函数 21gxfm有两个零点的范围是 5,231 5,231m探究提高 1讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，
10、都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数2求函数 y Asin(x )(A0， 0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 y Asin(x )的增区间(或减区间)，但是当 A0， 0 时，需先利用诱导公式变形为 y Asin( x )，则 y Asin( x )的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间【训练 2】(2017浙江卷)已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR)3(1)求 f 的值；(23)(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间解 (1) f(x)sin 2xcos 2x2
11、sin xcos xcos 2 x sin 2x2sin ，3 3 (2x 6)则 f 2sin 2(23) (43 6)(2)f(x)的最小正周期为 由正弦函数的性质，令 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 6 32得 k x k ， kZ 6 23所以函数 f(x)的单调递增区间为 ， kZk 6， k 23热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例 3】(2017西安调研)已知函数 f(x)2sin x cos x 2 sin2x ( 0)的最小正周期为 3 3(1)求函数 f(x)的单调递增区间(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y g(x)
12、的图象，若 y g(x)在 60， b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值解 (1) f(x)2sin x cosx (2sin2x 1)sin 2 x cos 2x 2sin 3 3 (2 x 3)由最小正周期为 ，得 1，所以 f(x)2sin ，(2x 3)由 2k 2 x 2 k ， Z， 2 3 2整理得 k x kx ， ，12 5128所以函数 f(x)的单调递增区间是 ， kZk 12， k 512(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin 2 x1 的图象； 6所以 g(x)2sin 2 x1令 g(x)0，得 x k
13、 或 x k (kZ)，712 1112所以在0，上恰好有两个零点，若 y g(x)在0， b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可所以 b 的最小值为 4 1112 5912探究提高 1研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为 y Asin(x ) B(或 y Acos(x ) B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解2函数 y Asin(x )(或 y Acos(x )的最小正周期 T 应特别注意 y| Asin(x )|2| |的最小正周期为 T | |【训练 3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，
14、研究函数 1sinsifxxx的性质，并在此基础上填写下表，作出 fx在区间 ,2上的图象性质 理由 结论 得分定义域值域奇偶性周期性单调性对称性9作图解1-sinx0 且 1+sinx0，在 R 上恒成立，函数的定义域为 R； 221sinsicosfxxxx，由|cosx|0，1，f 2（x）2，4，可得函数的值域为 ，2；2 si1sinfxfx，函数的最小正周期为 ，当 20,时， i1sin2cosxfx，在 0,2上为减函数，当 ,x时， 1sinsiif x，在 ,上为增函数， f在 ,2k上递增，在 ,2k上递减 kZ， fxf，且 fxfx， f在其定义域上为偶函数，结合周期
15、为 得到图象关于直线 2kx对称，因此，可得如下表格：性质 理由 结论 得分定义域 1sinx 定义域 R值域 2co2,4y值域 2,奇偶性 fxf 偶函数周期性 ff周期 T10单调性 2cos,0,2in,xf 在 ,2k上递增，在 ,上递减 kZ对称性 f（-x）=f（x） ， 2fxfx， 关于直线 对称 kx=k2作图热点四 三角恒等变换及应用【例 4】(1)(2015重庆卷)若 tan 2tan ，则 ( ) 5cos( 310)sin( 5)A1 B2 C3 D4解析 3cos( 310)sin( 5)sin( 2 310)sin( 5)sin( 5)sin( 5)sin co
16、s 5 cos sin 5sin cos 5 cos sin 5tan tan 5 1tan tan 5 1 2 12 1答案 C探究提高 1三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小【训练 4】 (1) (2018泰安一中)平面直角坐标系 xOy中，点 0,Pxy在单位圆 O上，设 xP，11若 5,36，且 3si
17、n56，则 0x的值为_(2)(2017石家庄质检)若 cos(2 ) ，sin( 2 ) ，00)满足： ， ，且 的最小值为 ，则 的值为（）f(x1)=0 f(x2)=-2 |x1-x2| 2 A B C D1 2 3 42(2018滨州期末)已知函数 的图象如图所示，为了得到函数f(x)=sin(x + )( 0， | |0， 0)(1) ymax=A+B， ymin=A-B(2)周期 T=2 (3)由 求对称轴，x + = 2+k (k Z)(4)由 求增区间；由- 2+2k x + 2+2k (k Z)求减区间 2+2k x + 32+2k (k Z)3 【解题思路】将函数 2ta
18、n1xf进行化简即可【答案】由已知得 22sit 1cosincosin2anfxxxx，fx的最小正周期 T，故选 C4 【解题思路】求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数3x+ 6 3x+ 6【答案】 0， 19，由题可知 ，或 ，3x+ 6= 2，3 x+ 6=32 3x+ 6=52解得 ，或 ，故有 3 个零点x= 9， 49 795 【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得 tan =3216【答案】 ，解方程得 tan( -54)= tan -tan541+tan tan54=tan -11+tan =15 tan =321 【解题思路】由极值点的导数为 0
19、 确定 ，由奇函数确定 【答案】 ()2cosfxx，因为当 12x时有极大值，所以 2cos1=0，解得 6k， Z，当 0k时， 3；因为 sin2sin23fxxx为奇函数，所以 23k， Z，当 0k时， 6，故选 D2 【解题思路】根据题意得到 ，得 ，得出 ，a (cos4 -sin4 )=0 =1 f(x)= 2sin(x+ 4)即可求解函数的最小正周期，得到答案【答案】由题设，有 ，即 ，得 ，f(4 )= a2+b2 22(a+b)= a2+b2 a=b又 ，所以 ，f( 4)=0 a (cos4 -sin4 )=0从而 ，所以 ， ，即 ， ，tan4 =1 4 =k +
20、4 k Z =4k+1 k Z又由 ，所以 ，00) |x1-x2|为 ，所以 ，则由 得 T4= 2 T=2 T=2 =12 【解题思路】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 的解析式，A f(x)再利用 的图象变換规律，得出结论y=Asin(x + )【答案】由函数 (其中 的部分图象可得 ，y=Asin(x + ) A0， | | 2) A=1，求得 ，T4=142 =712- 3 =2再根据五点法作图可得 ，2 3+ = ， = 3， f(x)=sin(2x+ 3)故把 的图象向右平移 个长度单位，f(x)=sin(2x+ 3) 6可得 的图象，故选 Ay
21、=sin2(x- 6)+ 3=g(x)=sin2x3 【解题思路】已知角度与所求角度互余【答案】sin ，cos cos sin ；( 3 ) 13 ( 6 ) 2 ( 3 ) ( 3 ) 13又 0 ， ， 2 6 6 23sin 故填 ( 6 ) 1 cos2( 6 ) 1 (13)2 2 23 2 234 【解题思路】 （1）根据题意得到 = ，从而得到 =1，f（x）=sin（2x+ ）+ ，令 2x+ =k+ ，求14 22 4 6 12 6 2得 x= + ，即对称轴；（2）根据图像的变换得到 g（x）=sin（4x ）+ ，当 x（ ， ）时，k2 6 6 12 -12 34x
22、（ ， ） ， 6 2 76结合函数的性质得到值域18【答案】 （1）函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2xsin2x+ =sin（2x+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为32 1+cos2x2 6 12= ，14 22 4=1，f（x）=sin（2x+ ）+ 6 12令 2x+ =k+ ，求得 x= + ， 6 2 k2 6故函数 f（x）的对称轴方程为得 6kx， Z（2）将函数 yfx的图象向右平移 个单位后，可得 y=sin（2x + ）+ =sin（2x ）+ 的图象； 3 6 12 6 12再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变
23、） ，得到函数 y=g（x）=sin（4x ）+ 的图象 6 12当 x（ ， ）时，4x （ ， ） ，sin（4x ）（1，1，-12 3 6 2 76 6故函数 gx的值域为 1,25 【解题思路】利用二倍角公式，辅助角公式把 f(x)化为 sinyAx形式【答案】解 (1) f(x)cos xsin x (2cos2x1) sin 2x cos 2xsin 32 12 32 (2x 3)当 2x 2 k( kZ)，即 x k( kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1 3 2 512(2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 =+， ，当 x(0，)时，对称轴为 x ， 12512又方程 f(x) 在(0，)上的解为 x1， x2结合图象可知，23 x1 x2 ，则 x1 x2，cos( x1 x2)cos sin ，56 56 (56 2x2) (2x2 3)又 f(x2)sin ，故 cos(x1 x2) (2x2 3) 23 23
