1、1第 2 讲概率、随机变量及其分布列1计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点” 1概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式P(A) mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数(2)几何概型的概率公式P(A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）(3)条件概率在 A 发生的条件下 B 发
2、生的概率： P(B|A) P（ AB）P（ A）(4)相互独立事件同时发生的概率：若 A， B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B)(5)若事件 A， B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B)， P( )1 P(A)2独立重复试验与二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)C pk(1 p)n k， k0，1，2， n用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项kn分布，即 X B(n， p)且 P(X k)C pk(1 p)n kkn3超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产
3、品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X k) CknN， k0，1，2， m，其中 mmin M， n，且 n N， M N， n， M， NN *，此时称随机变量 X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M， N， n4离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量 的分布列为： x1 x2 x3 xi nP p1 p2 p3 pi pn离散型随机变量 的分布列具有两个性质： pi0； p1 p2 pi pn1( i1，2，3， n)(2)E( ) x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 的数学期望或均值考向预测2D( )( x1 E( )
4、2p1( x2 E( )2p2( xi E( )2pi( xn E( )2pn叫做随机变量 的方差(3)数学期望、方差的性质 E(a b) aE( ) b， D(a b) a2D( ) X B(n， p)，则 E(X) np， D(X) np(1 p) X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p)热点一 随机变量的分布列、均值与方差【例 1】(2019黄山一模)2015 年 11 月 27 日至 28 日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020 年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真
5、落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为 ，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 ，帮扶责任人每天到杨老汉家14 13走访的概率为 12（）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 X，求 X 的分布列；（）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有 1 人走访” 请问：他说的是
6、真的吗？解()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为 A，则 ，P(A)=12121212=116帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 116（）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3；P(X=0)=342312=14；P(X=1)=142312+341312+342312=1124；P(X=2)=141312+142312+341312=14P(X=3)=141312=124随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 33P 14 1124 14 124（） ，所以 ，所以杨老汉说的是真的E(X)=1124+12+18=1312 E(X)1探究提高 1求随机变量的均值和方差的关
7、键是正确求出随机变量的分布列2对于实际问题中的随机变量 X，如果能够断定它服从二项分布 B(n， p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式 P(X k)C pk(1 p)n k(k0，1，2， n)， E(X) np， D(X) np(1 p)求得kn【训练 1】(2017西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择购票的方式是相互独立的(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为 ，求 的分布列和数学期望解 (1)记
8、“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件 A， “三名旅客都选择网上购票”为事件 B，且 A， B互斥则 P(A)C ， P(B) 23 (13)2 23 29 (13)3 127因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 P P(A) P(B) 727(2)由题意， 的所有可能取值为 1，2，3，则 P( 1)C ； P( 2)C 23 ； P( 3) 3A 13 (13)3 19 23 (13)3 23 (13)3 29所以随机变量 的分布列为： 1 2 3P 19 23 29故 的期望 E( )1 2 3 19 23 29 199热点二 概率与统计的综合问题【例 2】(2018德州期末
9、)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100 人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 100 人得分的平均值ZN(，198)（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 ；P(3820 p (01，1 ) f(p)4001 【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得 P(X2)；(2)依题意计算 的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解 (1)依题意，每家央企在“雄县”片区建立分
10、公司的概率为 ，去另外两个片区建立分公司的13概率为 ，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 PC 23 24(13)2 (1 13)2 827(2)由独立重复试验概率，则 P(X k)C (k0，1，2，3，4)，k4(13)k (1 13)4 k 随机变量 的所有可能取值为 0，2，4P( 0) P(X2) ； P( 2) P(X1) P(X3) ；827 4081P( 4) P(X0) P(X4) 1781所以随机变量 的分布列为： 0 2 411P 827 4081 17812 【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标 y 的值小于 60 的人数；(2)此问是
11、超几何分布，依题意计算 的可能取值，并计算其概率，列出分布列；(3)根据图示中数据的稳定性即可判断方差的大小【答案】解 (1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为 031550(2)由题图知， A， B， C， D 四人中，指标 x 的值大于 17 的有 2 人： A 和 C所以 的所有可能取值为 0，1，2P( 0)24 ， P( 1)124C ， P( 2)24 16 23 16所以 的分布列为： 0 1 2P 16 23 16E( )0 1 2 116 23 16(3
12、)由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大1 【解题思路】(1) 投中 2 次或 2 次以上，记为达标，就是投中 2 次或投中 3 次；(2)应注意连中 2 次终止，也可能前两次至多中一次，第三次不中，这时可以肯定不能达标，也终止，所以应依题意列举所有可能情况，再确定 X 的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解 (1)记“甲达标”为事件 A，则 P(A)C 23 (12)2 12 (12)3 12(2)X 的所有可能的值为 2，3，4P(X2) ， P(X3) ，(23)2 49 13 23 23 13 23 13 (13)3 23 13 13
13、 13P(X4) 13 13 23 23 13 23 29所以 X 的分布列为：X 2 3 4P 49 13 29 E(X)2 3 4 49 13 29 2592 【解题思路】(1) 完成 22 列联表，并起算 K2；(2)应注意优良中的人怎么抽和成绩不优良的乙班人数无关，所以只需考虑不优良的 11 人中抽取 3 人的情况，此时此 3 人可能分属甲乙两班，属于超几何分布，确定X 的可能取值，并计算其概率，列出分布列12【答案】解 (1)由统计数据得 22 列联表：甲班 乙班 总计成绩优良 9 16 25成绩不优良 11 4 15总计 20 20 40根据 22 列联表中的数据，得 K2的观测值为 k 52275024，40（ 94 1611） 225152020能在犯错概率不超过 0025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” (2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为 83，则 X 的可能取值为 0，1，2，31540P(X0)315C ； P(X1)2135C ； P(X2)12435C ； P(X3)3415C 3391 4491 66455 4455 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 3391 4491 66455 4455 E(X)0 1 2 3 3391 4491 66455 4455 364455
