1、1课时作业(三十二)19.1 2. 第 2 课时 矩形的判定与性质的应用一、选择题1下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行四边形是矩形；两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图 K321 所示，四边形 ABCD 的对角线为 AC， BD，且 AC BD，则下列条件能判定四边形 ABCD 是矩形的是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结A BA BC B AC， BD 互相平分C AC BD D AB CD图 K321图
2、 K3223如图 K322，在 Rt ABC 中， ACB90， AC6， BC8， D 是 AB 上一动点，过点 D 作 DE AC 于点 E， DF BC 于点 F，连结 EF，则线段 EF 的最小值是( )A5 B4.8 C4.6 D4.4二、填空题4如图 K323， ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件：_(只填一个即可)，使 ABCD 是矩形图 K323图 K3245如图 K324，在矩形 ABCD 中， AB2， BC4，对角线 AC 的垂直平分线分别交AD， AC 于点 E， O，连结 CE，则 CE 的长为_6如图 K325，在矩形 ABCD 中， BC20 cm，
3、点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发，按逆时针方向沿矩形 ABCD 的边运动，点 P 和点 Q 的速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s，则最快2_s 后，四边形 ABPQ 为矩形图 K325三、解答题7如图 K326 所示，在 ABC 中， AB AC， AD， AE 分别是 CAB 及与 CAB 相邻的外角的平分线， BE AE 于点 E.求证： AB DE.图 K3268如图 K327，已知在 ABC 中， AB AC5， BC6， AD 是 BC 边上的中线，四边形 ADBE 是平行四边形(1)求证：四边形 ADBE 是矩形；(2)求矩形 ADBE 的面积图 K3279如
4、图 K328，在 ABCD 中，过点 D 作 DE AB 于点 E，点 F 在边 CD 上， DF BE，3连结 AF， BF.(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；(2)若 CF3， BF4， DF5，求证： AF 平分 DAB.链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K32810如图 K329，在平行四边形 ABCD 中， AC6 cm， BD8 cm，点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度沿射线 AC 移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1 cm 的速度沿射线 CA 移动经过几秒，以 P， Q， B， D 为顶点的四边形为矩形？图 K32911如图 K3210，点 P 在矩形 A
5、BCD 的对角线 AC 上，且不与点 A， C 重合，过点 P分别作边 AB， AD 的平行线，交两组对边于点 E， F 和 G， H.(1)求证： PHC CFP；(2)试证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系链 接 听 课 例 2归 纳 总 结4图 K3210拓展应用 如图 K3211，在 ABC 中， AC3， BC4， AB5，点 P 在 AB 上(不与点 A， B 重合)，过点 P 作 PE AC， PF BC，垂足分别是 E， F，连结 EF， M 为 EF 的中点(1)请判断四边形 PECF 的形状，并说明理由(2)随着点 P 在边 AB
6、 上位置的改变， CM 的长度是否也会改变？若不变，请你求出 CM的长度；若有变化，请你求出 CM 长的变化范围图 K32115详解详析【课时作业】课堂达标1答案 A2答案 B3解析 B 连结 CD，利用勾股定理列式求出 AB，判断出四边形 CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 EFCD，再根据垂线段最短可得 CDAB 时，线段 EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可4答案 答案不唯一，如ABC90，BCD90，ACBD 等5答案 2.5解析 EO 是 AC 的垂直平分线，AECE.设 CEx，则 EDADAE4x.在 RtCDE 中，CE 2CD 2ED 2，即 x2
7、2 2(4x) 2，解得 x2.5，即 CE2.5.6答案 47证明：ABAC，AD，AE 分别是CAB 及与CAB 相邻的外角的平分线，ADBD，23，45，ADB90.2345180，2490，即DAE90.BEAE，BEA90，四边形 BDAE 为矩形，ABDE.8解：(1)证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，ADBC，ADB90.四边形 ADBE 是平行四边形，平行四边形 ADBE 是矩形(2)ABAC5，BC6，AD 是 BC 边上的中线，BDDC6 3.12在 RtACD 中，AD 4，AC2 DC2 52 32S 矩形 ADBEBDAD3412.9证明：(1)四边形 AB
8、CD 是平行四边形，DCAB，即 DFBE.又DFBE，四边形 BFDE 为平行四边形DEAB，即DEB90，四边形 BFDE 为矩形(2)四边形 BFDE 为矩形，BFC90.CF3，BF4，BC 5.32 42四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC5.又DF5，6ADDF，DAFDFA.又DCAB，DFAFAB，DAFFAB，即 AF 平分DAB.10解：经过 7 秒，以 P，Q，B，D 为顶点的四边形为矩形理由如下：如图，经过 7 秒时，PAQC7 cm.AC6 cm，CPAQ1 cm，PQBD8 cm.四边形 ABCD 为平行四边形，AC6 cm，BD8 cm，AOCO3 cm，BO
9、DO4 cm，OQOP4 cm，四边形 BPDQ 为平行四边形又PQBD，四边形 BPDQ 为矩形11解：(1)证明：四边形 ABCD 为矩形，ABCD，ADBC.PFAB，PFCD，CPFPCH.PHAD，PHBC，PCFCPH.在PHC 和CFP 中，PCHCPF，PCCP，CPHPCF，PHCCFP.(2)证明：四边形 ABCD 为矩形，DB90.又EFABCD，GHADBC，四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形EFABCD，GHADBC，四边形 ABCD 为矩形，四边形 AEPG 和四边形 PHCF 也是矩形，S ACD S ABC ，S PHC S PCF ，S AEP S
10、 APG ，S ACD S PHC S AEP S ABC S PCF S APG ，即 S 矩形 PEDHS 矩形 PFBG.素养提升解：(1)四边形 PECF 是矩形理由如下：在ABC 中，AC3，BC4，AB5，AC 2BC 23 24 25 2AB 2，ACB90.PEAC，PFBC，PECACBCFP90，四边形 PECF 是矩形(2)CM 的长度会改变7如图，连结 PC，则 PC 必过点 M，由(1)证得四边形 PECF 是矩形，EFPC.过点 C 作 CDAB 于点 D，当 PCCD 时，PC 最小，此时 PC 2.4.ACBCAB 125点 P 在斜边 AB 上(不与点 A，B 重合)，PCBC4，PC 长的变化范围是 2.4PC4，即 EF 长的变化范围是 2.4EF4.M 为 EF 的中点，ACB90，CM EF，12CM 长的变化范围是 1.2CM2.
