1、- 1 -上海交通大学附属中学 2018-2019 学年度第一学期高二数学 10 月月考试卷一.填空题1.若集合 ， ， ，则实数 _；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为 ， ， ，所以 .【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于 的二元一次方程组 的增广矩阵是 ，则此方程组的解是_；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数 的定义域_；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得 .【点睛】本题考查函数定义域以
2、及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量 ， 均为单位向量，若它们的夹角是 60，则 等于_；【答案】- 2 -【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数 的最小正周期为_；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期.【详解】 ，所以周期为 ；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列 中， ，则该数列的前 项的和 _.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得 + =2 ，代入已
3、知式子可得 3 =12，故 =4，故该数列前 13 项的和故答案为：527.已知函数 ，若函数 为奇函数，则实数 为_；- 3 -【答案】【解析】【分析】令 ,根据奇函数性质得 ,化简得结果.最后验证.【详解】令 , 则 为奇函数，因此当 时 ，；满足条件 .因此 .【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列 中，若 ， ，则 _；【答案】【解析】【分析】先分组求和得 ，再根据极限定义得结果.【详解】因为 ， ， ，所以则 .【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.- 4 -9.设函数 在 上有定义，对于任意给定正数 ，定义函数 ，则称函数 为 的
4、“孪生函数” ，若给定函数 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】根据定义化简 ，再根据分段函数求结果.【详解】因为 ,因此 .【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在 中， 边上的中线 ，若动点 满足（ ） ，则 的最小值是_；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得 在线段 上，再根据向量数量积化简 ，最后根据二次函数性质求最值.【详解】因为 ，所以 三点共线，且 在线段 上，设 ，又因为 ，故最小值为 .【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的 ， ，令，给出以下四个命题
5、：若 与 共线，则 ； ；对任意的 ，有 ；（注：这里 指 与 的数量积）其中所有真命题的序号是_- 5 -【答案】【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若 与 共线，则 ，故正确；因为 ， ，故错误；因为 ，故正确；因为 ， ，则 化简为：，等式左右两边相等，故正确；综上，正确的序号为：；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知 为 的外心，且 ， ，则实数 _【答案】【解析】【分析】先点乘向量 ，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果.【详解】两边同点乘向量 ，可得，
6、，所以由向量投影得 ，所以 ，由正弦定理知： ，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.- 6 -二.选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分 20 分）13.若平面向量 和 互相平行，其中 ，则 （ ）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得 x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量 和 互相平行，所以 ，因为 则 或 ，选 B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在 中，角 所对的边分别为 ，则“ ”是“ ”的 ( ）A. 充分不必要条件 B. 必要不
7、充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“ ，得出 ，根据充分必要条件的定义可判断【详解】 中，角 所对的边分别为 ， ，或 根据充分必要条件的定义可判断：“ ”是“ ”的充分不必要条件 故选 A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题15.函数 ，若存在 ，使 ，那么（ ）- 7 -A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得 或 ，选 C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为 的函数 图像的两个端点为 ，向量 ， 是图像上任意一点，其
8、中 ， 。若不等式 恒成立，则称函数在 上满足“ 范围线性近似” ，其中最小的的正实数 称为该函数的线性近似阈值。下列定义在 上函数中，线性近似阈值最小的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义分别求线性近似阈值，再求其中最小值.【详解】因为 ，故 、 、 三点共线，又因为 ，则 、 横坐标相同；1对于选项（ ） ，因为 ， ，所以， ，设 ，则 ，所以 ，故 ；2对于选项（ ） ，因为 ， ， ，设 ，则 ，那么 ，故 ；3对于选项（ ） ，因为 ， ，则 ，设 ， ，则 ，故 ；- 8 -4对于选项（ ） ，因为 ， ，则 ，设 ， ，则 ，故 ；经比较， 最小，
9、故答案选 D；【点睛】本题考查利用二次函数性质、基本不等式以及三角函数有界性求函数最值，考查基本分析求解能力.三.解答题（本大题共 5 题，满分 76 分）17.已知不等式 的解集为（1）求实数 的值；（2）若函数 在区间 上递增，求关于 的不等式的解集。【答案】 （1） ；（2） ；【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程 的根，根据韦达定理解得实数 的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定 的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】 （1）由题意得 为方程 的根，所以 ，（2）因为函数 在区间 上递增，所以 ，因此由 得 , ,即 .【点睛】本题考查
10、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.18.已知函数 （ ， 是实数常数）的图像上的一个最高点是，与该最高点最近的一个最低点是 .- 9 -（1）求函数 的解析式及其单调递增区间；（2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，角 的取值范围是区间 。当 时，试求函数 的取值范围。【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）先根据配角公式化简函数解析式，再根据条件得周期解得 ，代入最高点坐标解得 c,最后根据正弦函数性质求增区间， （2）先根据向量数量积解得角 B，再根据三角形内角关系求角 的取值范围，最后根据正弦函数性质求函数值域.
11、【详解】 （1） ， . 和 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点， ，解得 .由 ，解得 . 函数 的单调递增区间是 .（2）在 中， ， . ，即 . . 当 时， ，考察正弦函数 的图像，可知， . ，即函数 的取值范围是 .【点睛】已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .- 10 -19.对于数列 ，定义 为数列 的一阶差分数列，其中 （ ） ，若，且 ， .（1）求证数列 为等差数列；（2）求数列 的通项公式；（3）若 （ ） ，求 ，其中： 。【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）结合条件求得 ，再根
12、据等差数列定义得结论， （2）根据等差数列通项公式求得 ，即得数列 的通项公式， （3）代入化简 ，并利用裂项相消法得 ，再根据极限定义得结果.【详解】 （1）因为 ，所以 ，故数列 为公差 的等差数列；（2） ；（3） ，则 ，；【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c- 11 -为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .20.平面直角坐标系中， 为原点，射线 与 轴正半轴重合，射线 是第一象限的角平分线，在 上有
13、点列 ，在 上有点列 ，已知 ， ， .（1）求点 ， 的值；（2）求 ， 的坐标；（3）求 面积的最大值，并说明理由。【答案】 （1） ；（2） ， ；（3） ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据向量的模的定义解得 ,根据向量坐标相等得 ， （2）根据等比数列定义得 ，根据等差数列定义得 ， （3）根据三角形面积公式得 关系式，再根据作差法确定数列单调性，根据单调性确定面积最大值.- 12 -【详解】 （1）由题意设 ；（2）因为 ，, ；（3） ，设 ，因为 ， ，为递增数列； 为递减数列，则 ，所以 ；【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递
14、增数列、递减数列或是常数列.用作商比较法，根据 与 1 的大小关系及 符号进行判断.结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件21.已知函数 ，其中（1）求出 ，并解方程 ；（2）设 ， ，证明 ，且 ；（3）设数列 中， ， ， ，求 的取值范围，使 对任意 成立。【答案】 （1）答案见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据行列式求得 ，代入化简得 ，解对数方程得结果， （2）化简不等式- 13 -得 ,结合条件得证，将自变量代入函数解析式化简可得 （3）分奇偶讨论，结合（2）对 a,x 分别赋值，得当 时，；当 时，据此可得数列周期性，再根据 单调性确定满足 的条件，解不等式可得结果.【详解】 （1）因为 ，所以 ，则 ；（2）因为 恒成立， 恒成立，故，所以 ，得证；（3）由（2）知， ，当 时， ；当 时， ，因此 ，又因为 在 上单调递增，所以若 ，则 恒成立，于是： ；【点睛】本题考查数列周期、函数单调性，考查综合分析与化简求解能力.属于难题.
