1、13.4.1 基本不等式的证明主备人： 学生姓名： 得分： 学习目标：1. 理解基本不等式的内容及证明.2. 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式学习难点：1. 基本不等式证明2. 运用基本不等式证明简单的不等式学习方法：自主预习，合作探究，启发引导1、导入亮标探究点一 基本不等式的证明思考 1 观察下列实验数据，你能得出两个正数 a， b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？a 30 59 92 70 25 11b 39 99 23 99 54 100ab 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17a b2 34
2、.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5a 68 58 11 29 20b 2 11 80 5 20ab 11.66 25.26 29.66 12.04 20a b2 35 34.5 45.5 17 20结论是：思考 2 要证明 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为 ，几何平均数为 22重要不等式如果 a， bR，那么 a2 b2 2ab(当且仅当 a b 时取“”)3基本不等式 aba b2(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号4基本不等式的常用推论(1)ab 2 (a， bR)；(a b2 ) a2 b22(2) 2( a， b 同号)；b
3、a ab(3)当 ab0 时， 2；当 ab .ab bc ca例 2 已知 a， b， c 都是正实数，且 a b c1，求证： 9.1a 1b 1c反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立跟踪训练 2 设 ba0，且 a b1，则此四个数 ，2 ab， a2 b2， b 中最大的是12_探究点二 基本不等式的应用例 3 已知函数 y x ， x(2，)，求此函数的最小值16x 2反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值
4、(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若3多次应用时，则每一个等号要同时取到跟踪训练 3 已知函数 y x ， x(，0)，求函数的最大值1x四、展示点评1两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即 .aba b22证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法3在不等式 a2 b22 ab 和 中， “当且仅当时，取号”的含义：一方面：a b2 ab当 a b 时， ；另一方面：当 时，也有 a b.a b2 ab a b2 ab4由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab 2）（ ；a2 b22(2) (a， b 均为正实数)；aba b2
5、 a2 b22(3) 2( a， b 同号)；ba ab(4)(a b) 14( a， b 均为正实数)；(5)a2 b2 c2 ab bc ca.5基本不等式的应用：证明不等式及解决简单的最大(小)值问题五、检测清盘1已知 a0， b0，则 2 的最小值是_1a 1b ab2已知 x， yR ，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3 y43设 a、 b 是实数，且 a b3，则 2a2 b的最小值是_4 . 设 a2，则 a 的最小值是_1a 25若 a， bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的不等式序号是_ a2 b22ab a b2 ab 21a 1b 2ab ba ab46函数 ylog 2 (x1)的最小值为_(x1x 1 5)7设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为_31a 1b8若 a0， a 恒成立，求 a 的取值范围xx2 3x 1
