1、1菱湖中学 2018 学年第一学期 12 月月考高三数学试题一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 ( )0652xA042yBBACU)(A. B. C. D.),3,(),3),(,),32,2. 已知复数 z满足 (i为虚数单位)，则 ( )(1i zA B C Di2ii3. 已知 “ ”是“ ”的 ( )Rba,01baA 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 10个面包分给五个人，使
2、每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 7是较小的两份之和，问最大 1份为 （ ） A. B. C. D. 35103153405.若实数 满足 的最大值是 ，则 的值是( ）,xy(),210azxyx aA. B. C. D. 52436.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 （ 为双21(0,)xyab 2c曲线的半焦距） ，则双曲线的离心率为 （ ）A B. C. D. 3727373737.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，sinfx(0)2gx2若对满足 ，有 ，则 （ ）1212()fxgx的 ， 12min3x=A.52 B. 3 C. 4 D. 68.
3、 设函数 若互不相等的实数 满足,1,4|)(xf rqp, ),()(rfqpf则 的取值范围是 （ ）rqp2A. B. C. D. )16,()17,9()16,9()235,17(9. 已知单位向量 、 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 的取值1e221ep1e2p范围为 （ ）A. B. C. D. ,0)3,(0,31)0,31)10. 在正方体 中，点 是平面 内的动点， 且点 满足；直线1ABCDP1ADP与平面 所成角的大小等于平面 与平面 所成角的锐二面角的1PBC1大小，则点 的轨迹是 （ ）A. 直线 B. 圆 C . 椭圆 D. 抛物线二、填空题：共 7 小题，多空题每
4、小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.11. 已知函数 的最小值是 ,则 的单调递axxf 32cossin)( ,02fx减区间为 ； 的最大值为 . f12. 二项式 的展开式的各项系数之和为 ，81()2x的系数为 2x13. 某几何体的三视图如图所示（图中对角线均为实线） ， ，则该 几何体中最长的一条棱长度为_，该几何体的体积是 _14已知袋子中有大小相同的红球 3 个，黑球 2 个，从中任取 2 个设 表示取到红球的个数，则 ， ED315如图，已知 分别是正方形 的边 的中点，现将正方形沿 折成FE,ABCD, EF的二面角，则异面直线 与 所成角的正切值是 06EF
5、16设抛物线 的焦点为 ,已知 为抛物线上的两个动点，且满足)0(2pxyFBA,过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 的1AFBAMMN|ABN最大值为 17. 已知 在 上恒成立，则实数 的最大值为 .2(),fxa|()|2fx1,a三、解答题：共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（本题满分 14 分）在 中， 分别为角 的对边，已知 .ABCcba,CBA， cos23()1ABC（1）求角 的值；（2）若 ，求 的取值范围.319 （本题满分 15 分）如图，三棱柱 的各棱长均为 ，侧面1CBA2底面 ，侧棱 与底面 所成的角为1BC60
6、（1）求直线 与底面 所成的角；1ABCEBCDF（第 15 题图）ABC1A1B（第 19 题）图）4（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 1CAPCPB1平面 ？若存在，求出 的长；若不存在，1请说明理由20.（本题满分 15 分） 设数列 满足：na21*13,.2naaN(1) 求数列 的通项公式；n(2) 设 ，求数列 的前 项和 .为 偶 数， 为 奇 数abn1,nbnS21 （本题满分 15 分）已知椭圆 C:21(0)xyab的左右焦点分别为 1F， 2，左顶点为 A,点 在椭圆 上，且 12PF的面积为 (2,)P（1）求椭圆 的方程；（2）过原点 O且与 x轴不重合的直
7、线交椭圆 C于 E， F两点，直线 AFE,分别与 y轴交于点 NM,求证：以 为直径的圆恒过焦点 1F， 2；5求 1FMN面积的取值范围22.（本题满分 15 分）已知函数 ,R.xfegab(1) 若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围；1,x2()fxm(2) 若对任意实数 ，函数 在 上总有零点，求实数 的取值范围.a()()Ffg,0b6菱湖中学 2018 学年第一学期高三数学12 月月考试题参考答案一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.B 9.
8、C 10.D二、填空题：共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.11. 12. 13. 5,;631;2571;014. 15. 16. 17. ;929374三、解答题：共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(本题满分 14 分)解：（1）由 ，得 ， 2 分cos23()1ABC2cos320A即 . 解得 4 分()(0因为 ，所以 6 分03（2） 8 分(sin)2(sini)bcRBCBC 9 分2i-故 （ ） 11 分sin()3bc故 (0,)B2(,)3B(3,2bc14 分19(本题满分 15 分)解：设 的中
9、点 ,连接 ，BCOB1侧面 底面 ，侧棱 与底面1A1ABCABC11P第19题zyxO7所成的角为 ， 2 分3BC13又 是菱形， 1BCO 底面 3 分A（1）以 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 , , , , , )03()1(B)0(C)31(A)0(1B)3,2(1C ,又底面 的法向量 ,1CA,n5 分 ,2sin1CA45所以直线 与底面 所成的角为 7 分EB（2）假设在线段 上存在点 ，设 = ,即1PC11A)0,13(P， 9 分)3,(1PC)3,0(设平面 的法向量 ，B1 ,(zyxm 03)1(01 zyxCPzyB令 ，则 ， ，z3211 分)1
10、,2(设平面 的法向量 ，则1AC),(zyxn031zyCnxA令 ，则 ， ， 13 分z3y1),3要使平面 平面 ，则 = PB11m,2(),(2 15 分3234C20(本题满分 15 分)(1) , 2113.2naa8则 时, , 2 分2n22131.naa相减得： 3 分1n, .4 分na32当 时， .5 分1.6 分na3（2） .7 分,nb为 奇 数为 偶 数当 为奇数时， 24113.2nnS.10 分12()()2n. .11 分14()3nn当 为偶数时， 24.(1)2nnS.14 分2(1)(1)n. .15 分24()3n21(本题满分 15 分)解：
11、（1） ， 2c， 2 分122PFSc又点 在椭圆 C上， ， 3 分(,)241a即 ，解得 28，或 （舍） 4 分4206a又 b， 4， 所以椭圆 C的方程为218xy； 5 分 9（2） (2,0)A， 1(,)F， 2(,0)，方法一：当直线 E的斜率不存在时， E， F为短轴的两个端点，则 (0,)M， (,)N， 1MN， 2，则以 为直径的圆恒过焦点 ， 2， 7 分当 EF的斜率存在且不为零时，设直线 EF的方程为 (0)ykx，设点 0,xy（不妨设 0x），则点 0,x，由 2184k，消去 得 2281k，所以 021k， 021ky， 所以直线 AE的方程为 2y
12、x， 9 分因为直线 与 轴交于点 M，令 0得 21ky，即点 2(0,)1k，同理可得点 2(,)Nk， 10 分1 122(,),(,)FMFk， 10FMN，1N，同理 N，则以 为直径的圆恒过焦点 1， 2， 11 分当 EF的斜率存在且不为零时， 222211| | | 411kkkMN k， 面积为 |4OFMN， 13 分又当直线 E的斜率不存在时， |， 1FN面积为 1|42OFMN， 1FN面积的取值范围是 ,) 15 分方法二：当 E， 不为短轴的两个端点时，设 00(,),2)Exyx，10则 0(,)Fxy，由点 E在椭圆 C上， 208xy， 6 分所以直线 A的
13、方程为 0yx，令 得 02yx，即点 02(,)yMx，同理可得点 02(,)yNx， 7 分以 N为直径的圆可化为2200288xy， 8 分代入 22008xy，化简得 04xy， 9 分令 2,4,yx解得 ,xy 10 分以 MN为直径的圆恒过焦点 1(2,0)F， 2(,)， 11 分0020268| |yyxx，又 02y， |4MN, 1F面积为 1|4OFMN， 13 分当 E， 为短轴的两个端点时， |， 1FN面积为 1|42OF， 1N面积的取值范围是 ,) 15 分22(本题满分 15 分)解：(1) 由题意得： ， 成立， 2 分2xmee,1令 ， ，则 ， 3
14、分2()xme,1()2x再令 ，()xn则 ，故当 时， ， 单调递增；()2xe2ln,1e()0x()n当 时， ， 单调递减， 5 分,ln()0()11从而 在 上有最大值 ，()nxe,1(ln2)l0所以 )在 上单调递减， 6 分(m所以 ，12()ex即 7 分12(,)em(2) 令 ， (xFxfgeab则 8 分()(0) 1a当 时 ， 0x则 在 上单调递减， 又()F,)()1Fb由 在 上总有零点，只需x(0)解得： 10 分1b a当 时 ，由 ()0Fx得 ： lnxa由 得 ：故 11 分min()(l)lxb令 naFa则 ()l0故函数 在 上单调递增， lb(,1)只需 (1)解得： 15 分b12
