1、1直角三角形与勾股定理一.选择题1.（2018江苏淮安3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ）A20 B24 C40 D48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AOBO，则 AB= =5，故这个菱形的周长 L=4AB=20故选：A【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般2.（2018山东东营市3 分）如图
2、所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A B C D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A.C 的最短距离为线段 AC 的长在 RtADC 中，ADC=90，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5，2所以 AC= ，故选：C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答3.(2018湖州3 分）如图，已知在ABC 中，BAC90，点 D 为
3、BC 的中点，点 E 在 AC 上，将CDE 沿DE 折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处，连结 AD，则下列结论不一定正确的是（ ）A. AE=EF B. AB=2DEC. ADF 和ADE 的面积相等 D. ADE 和FDE 的面积相等【答案】C【解析】分析：先判断出BFC 是直角三角形，再利用三角形的外角判断出 A 正确，进而判断出 AE=CE，得出 CE 是ABC 的中位线判断出 B 正确，利用等式的性质判断出 D 正确详解：如图，连接 CF，点 D 是 BC 中点， BD=CD，由折叠知， ACB= DFE， CD=DF， BD=CD=DF， BFC 是直角三角形
4、， BFC=90， B= BFD， EAF= B+ ACB= BFD+ DFE= AFE， AE=EF，故 A 正确，由折叠知， EF=CE， AE=CE， BD=CD，3B. C. D. DE 是 ABC 的中位线， AB=2DE，故 B 正确， BD=DF， AE=CE， S ADE=S CDE，由折叠知， CDE FDE， S CDE=S FDE， S ADE=S FDE，故 D 正确， C 选项不正确，故选：C点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键4. （ 2018广 西 北 海 3分 ） 如 图 ， 矩 形 纸 片 ABC
5、D， AB4， BC3， 点 P 在 BC 边 上 ， 将 CDP 沿 DP 折叠 ， 点 C落在点 E 处， PE.DE 分别交 AB 于点 O、 F，且 OP OF，则 cos ADF 的值为11 13 15 1713 15 17 19【答案】C【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值【解析】由题意得：Rt DCPRt DEP，所以 DC DE4， CP EPA.4在 Rt OEF 和 Rt OBP 中， EOF BOP， B E， OP OFRt OEFRt OBP(AAS)，所以 OE OB， EF BP设 EF 为 x，则 BP x， DF DE EF4 x，又因为 B
6、F OF OB OP OE PE PC， PC BC BP3 x5所以， AF AB BF4(3 x)1 x在 Rt DAF 中， AF2 AD2 DF2，也就是 (1 x)2 32 (4 x)23 3 3 17解之得， x 5，所以 EF 5， DF 4 5 5AD 15最终 ,在 Rt DAF 中， cos ADF DF 17【 点 评 】 本 题 由 题 意 可 知 ， Rt DCP Rt DEP 并推理出 R t OEF RtOBP， 寻 找 出 合 适 的 线 段 设 未 知 数 ， 运 用 勾 股 定 理 列 方 程 求 解 ， 并 代 入 求 解出 所 求 cos 值 即 可 得
7、 。5（2018 年湖南省娄底市）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sincos=（ ）A B C D【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求 sin 和 cos 的值，进而可求出 sincos 的值【解答】解：小正方形面积为 49，大正方形面积为 169，小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13，在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2，即 AC2+（7+AC） 2=132，整理得，AC 2+7AC60=0，解得 AC=5，AC=12（舍去），BC= =12，sin= =
8、 ，cos= = ，sincos= = ，故选：D6【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键6. （2018 湖南长沙 3.00 分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ）A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米【分析】直接利
9、用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解：5 2+122=132，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，这块沙田面积为： 550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米） 故选：A【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键二.填空题1. （2018湖北襄阳3 分）已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若CD= ， AD=1，AB=2AC，则 BC 的长为 2 或 2 【分析】分两种情况：当ABC 是锐角三角形，如图 1，当ABC 是钝角三角形，如图 2，分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可【解答】
10、解：分两种情况：当ABC 是锐角三角形，如图 1，CDAB，CDA=90，CD= ，AD=1，AC=2，AB=2AC，7AB=4，BD=41=3，BC= = =2 ；当ABC 是钝角三角形，如图 2，同理得：AC=2，AB=4，BC= = =2 ；综上所述，BC 的长为 2 或 2 故答案为：2 或 2 【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握2.（2018江苏徐州3 分）边长为 a 的正三角形的面积等于 【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，ADBC，BD=CD= a，AD= = a，面积则是：
11、a a= a2【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单3.（2018江苏徐州3 分）如图，RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 7 cm8【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE 的关系，根据三角形的周长公式，可得答案【解答】解：在 RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得 BC= =4由翻折的性质，得 CE=AEABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7故答案为：7【点评】本题考查了翻折的性
12、质，利用了勾股定理，利用翻折的性质得出 CE 与 AE 的关系是阶梯关键，又利用了等量代换4.（2018江苏无锡2 分）已知ABC 中，AB=10，AC=2 ，B=30，则ABC 的面积等于 15 或 10 【分析】作 ADBC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB.AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先在 RtABD 中求得 AD.BD 的值，再在 RtACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种情况分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作 ADBC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，如图 1，当 AB.AC 位于 AD 异侧时，在 RtABD
13、中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，在 RtACD 中，AC=2 ，CD= = = ，则 BC=BD+CD=6 ，S ABC = BCAD= 6 5=15 ；9如图 2，当 AB.AC 在 AD 的同侧时，由知，BD=5 ，CD= ，则 BC=BDCD=4 ，S ABC = BCAD= 4 5=10 综上，ABC 的面积是 15 或 10 ，故答案为 15 或 10 【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理5.（2018江苏无锡2 分）如图，已知XOY=60，点 A 在边 OX 上，OA=2过点
14、A 作ACOY 于点 C，以 AC 为一边在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PDOY 交 OX 于点 D，作 PEOX 交 OY 于点 E设OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得EP=OD=a，在 RtHEP 中，EPH=30，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过 P 作 PHOY 交于点 H，PDOY，PEOX，四边形 EODP 是平行四边形，HEP=XOY=6
15、0，EP=OD=a，RtHEP 中，EPH=30，EH= EP= a，a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，2a+2b510【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围6.（2018江苏淮安3 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=5，分别以点 A.B为圆心，大于
16、AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 【分析】连接 AD 由 PQ 垂直平分线段 AB，推出 DA=DB，设 DA=DB=x，在 RtACD 中，C=90，根据 AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；【解答】解：连接 ADPQ 垂直平分线段 AB，DA=DB，设 DA=DB=x，在 RtACD 中，C=90，AD 2=AC2+CD2，x 2=32+（5x） 2，解得 x= ，11CD=BCDB=5 = ，故答案为 【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角
17、三角形解决问题7.（2018江苏苏州3 分）如图，88 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这 个圆锥的底面半径为 r1；若用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r2，则 的值为 【分析】由 2r 1= 、2r 2= 知 r1= 、r 2=，据此可得 = ，利用勾股定理计算可得【解答】解：2r 1= 、2r 2= ，r 1= 、r 2= ， = = = = ，故答案为： 【点评】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理8.（2018江苏苏州3 分）
18、如图，在 RtABC 中，B=90，AB=2 ，BC= 将ABC绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到ABC，连接 BC，则 sinACB= 12【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，求出BM、CM，根据勾股定理求出 BC，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= =5，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，根据旋转得出 AB=AB=2 ，BAB=90，即CMA=MAB=B=90，CM=AB=2 ，AM=BC= ，BM=2 = ，在 RtBMC 中，由勾股定理得：BC
19、= = =5，S ABC = = ，5AN=2 2 ，解得：AN=4，sinACB= = ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键9.（2018江苏苏州3 分 ）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB为边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，DAP=60M，N分别是对角线 AC，BE 的中点当点 P 在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2（结果留根号） 13【分析】连接 PM、PN首先证明MPN=90设 PA=2a，则PB=82a，PM
20、=a，PN= （4a） ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接 PM、PN四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，DAP=60，APC=120，EPB=60，M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，CPM= APC=60，EPN= EPB=30，MPN=60+30=90，设 PA=2a，则 PB=82a，PM=a，PN= （4a） ，MN= = = ，a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，故答案为 2 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题10. （2018杭州4 分）折叠矩形纸
21、片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若AB=AD+2，EH=1，则 AD=_。【答案】 或 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题） 14【解析】 【解答】当点 H 在线段 AE 上时把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上四边形 ADFE 是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG 翻折，点 C 落在
22、直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上DC=DH=AB=AD+2在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD-1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点 H 在线段 BE 上时则 AH=AE-EH=AD+1在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD+1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3，AD=-1（舍去）故答案为： 或 3【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据的折叠，可得出四边形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从又AB
23、C=ACBBDECAD（2）AB=13，BC=10BD=CD= BC=5，AD 2+BD2=AB2AD=12BDECAD ，即 DE= 而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1） ，再根据的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。11 （2018湖州4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方
24、形 EFGH的而积为 5问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所15有可能值是 13 或 49 （不包括 5） 【分析】当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的面积为 13当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为49【解答】解：当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形EFGH 的面积为 13当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为
25、 49故答案为 13 或 49【点评】本题考查作图应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利12.（2018福建 A 卷4 分）如图，RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 是 AB 的中点，则CD= 3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：ACB=90，D 为 AB 的中点，CD= AB= 6=3故答案为：3【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键13.（2018福建 A 卷4 分）把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另
26、三个锐角顶点 B，C，D16在同一直线上若 AB= ，则 CD= 1 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出 DF，即可得出结论【解答】解：如图，过点 A 作 AFBC 于 F，在 RtABC 中，B=45，BC= AB=2， BF=AF= AB=1，两个同样大小的含 45角的三角尺，AD=BC=2，在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF= =CD=BF+DFBC=1+ 2= 1，故答案为： 1【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键14.（2018福建 B 卷4 分）如图，RtABC 中，ACB=90，
27、AB=6，D 是 AB 的中点，则CD= 3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：ACB=90，D 为 AB 的中点，CD= AB= 6=3故答案为：317【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键15.（2018福建 B 卷4 分）把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D在同一直线上若 AB= ，则 CD= 1 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出 DF，即可得出结论【解答】解：
28、如图，过点 A 作 AFBC 于 F，在 RtABC 中，B=45，BC= AB=2，BF=AF= AB=1，两个同样大小的含 45角的三角尺，AD=BC=2，在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF= =CD=BF+DFBC=1+ 2= 1，故答案为： 1【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键三.解答题1.（2018江苏苏州8 分）如图，已知抛物线 y=x24 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B的左侧） ，C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D（1）求线段 AD 的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线
29、的顶点为 C若新抛物线经过点 D，18并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表达式【分析】 （1）解方程求出点 A 的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x 2+bx+2，根据二次函数的性质求出点 C的坐标，根据题意求出直线 CC的解析式，代入计算即可【解答】解：（1）由 x24=0 得，x 1=2，x 2=2，点 A 位于点 B 的左侧，A（2，0） ，直线 y=x+m 经过点 A，2+m=0，解得，m=2，点 D 的坐标为（0，2） ， AD= =2 ；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x 2+bx+2，y
30、=x2+bx+2=（x+ ） 2+2 ，则点 C的坐标为（ ，2 ） ，CC平行于直线 AD，且经过 C（0，4） ，直线 CC的解析式为：y=x4，2 = 4，解得，b 1=4，b 2=6，新抛物线对应的函数表达式为：y=x 24x+2 或 y=x2+6x+2【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与 x 轴的交点的求法是解题的关键2.（2018江苏淮安12 分）如果三角形的两个内角 与 满足 2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，则B= 15 ；（2）如图，在 Rt
31、ABC 中，ACB=90，AC=4，BC=5若 AD 是BAC 的平分线，不难证明ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D） ，使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由19（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长【分析】 （1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得 CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF只要证明FCBFAC，可得CF2=
32、FBFA，设 FB=x，则有：x（x+7）=12 2，推出 x=9 或16（舍弃） ，再利用勾股定理求出 AC 即可；【解答】解：（1）ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，2B+A=60，解得，B=15，故答案为：15；（2）如图中，在 RtABC 中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD 是“准互余三角形” ，ABE 也是“准互余三角形” ，只有 2A+BAE=90，A+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得 CA2=CECB，20CE= ，BE=5 = （3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCFCF=CD=12，BCF
33、=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A.B.F 共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有 2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF 2=FBFA，设 FB=x，则有：x（x+7）=12 2，x=9 或16（舍弃） ，AF=7+9=16，在 RtACF 中，AC= = =20【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、 “准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题3.（2018江苏无
34、锡8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB=17，CD=10，A=90，cosB= ，求 AD 的长21【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90，ABC+ADC=180作 AEBC 于E，DFAE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10解 RtAEB，得出 BE=ABcosABE= ，AE= ，那么 AF=AEEF= 再证明ABC+ADF=90 ，根据互余角的互余函数相等得出 sinADF=cosABC= 解 RtADF，即可求出 AD= =6【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，A=90，C=180A=90，ABC+ADC=180作 AEBC 于 E，DFAE 于 F，
35、则 CDFE 是矩形，EF=CD=10在 RtAEB 中，AEB=90，AB=17，cosABC= ，BE=ABcosABE= ，AE= = ，AF=AEEF= 10= ABC+ADC=180，CDF=90，ABC+ADF=90，cosABC= ，sinADF=cosABC= 在 RtADF 中，AFD=90，sinADF= ，AD= = =6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出 AF= 以及 sinADF= 是解题的关键4.（2018江苏宿迁12 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E.F 分别在边 AB.CD上，将正方形 A
36、BCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D重合） ，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x，22（1）当 AM= 时，求 x 的值；（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值. 【分析】 （1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 RtAME 中，根据勾股定理得（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM 的周长
37、不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，根据折叠性质知 BE=ME，由等边对等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定 AAS 得 RtABMRtHBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL 得 RtBHPRtBCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出PDM 周长为定值 2.（3）过 F 作 FQAB，连接 BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 RtABMRtQFE，据全等
38、三角形的性质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 RtAEM 中，根据勾股定理得（1-x） 2+a2=x2,从而得AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S 与 x 的函数关系式；又由（1-x） 2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1） ，代入梯形面积公式即可转为关于 a 的二次函数，配方从而求得 S 的最小值.【详解】解：（1）由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形 ABCD 边长为 1，AE=1-x，在 RtAME 中，AE 2+AM2=ME2 ， 即（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM 的周长不会发生变化，且为
39、定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，23BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形 ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在 RtABM 和 RtHBM 中， ,RtABMRtHBM（AAS） ，AM=HM，AB=HB=BC，在 RtBHP 和 RtBCP 中， , RtBHPRtBCP（HL） ，HP=CP，又C PDM =MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.（3）解：过 F 作 FQAB，连接 B
40、M，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在 RtABM 和 RtQFE 中， ,RtABMRtQFE（ASA） ，AM=QE，设 AM 长为 a，在 RtAEM 中，AE 2+AM2=EM2,即（1-x） 2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,24又（1-x） 2+a2=x2, x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S= （ -a+ ）1= （a 2-a+1）= （a- ） 2+ ，0a1，当 a= 时，S 最小值 = . 【点睛】
41、二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）. 5.（2018江苏无锡10 分）已知：如图，一次函数 y=kx1 的图象经过点 A（3 ，m）（m0） ，与 y 轴交于点 B点 C 在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D若 AC=CD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（ ，0） ，求这条抛物线的函数表达式【分析】 （1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求 AC 和 m（2）由APQ=9
42、0，构造PQDAPE 构造方程求点 P 坐标可求二次函数解析式【解答】解：（1）过点 A 作 AFx 轴，过点 B 作 BFCD 于 H，交 AF 于点 F，过点 C 作CEAF 于点 E设 AC=n，则 CD=n点 B 坐标为（0，1） ，CD=n+1，AF=m+1CHAF，BC=2AC，即：整理得：n=RtAEC 中，CE 2+AE2=AC2， 5+（mn） 2=n225把 n= 代入5+（m ） 2=（ ） 2解得 m1=2，m 2=3（舍去） ，n=1把 A（3 ，2）代入 y=kx1 得 k=y= x1（2）如图，过点 A 作 AECD 于点 E设点 P 坐标为（2 ，n） ，由已知
43、 n0由已知，PDx 轴PQDAPE，解得 n1=5，n 2=3（舍去）设抛物线解析式为 y=a（xh） 2+k，y=a（x2 ） 2+5把 A（3 ，2）代入 y=a（x2 ） 2+5，解得 a=抛物线解析式为：y=【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量6.（2018江苏苏州10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点G，连接 OC（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=GE，求证：
44、CEO 是等腰直角三角形26【分析】 （1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据 AAS 证明CDACEA（AAS） ，可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180，则3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接 AC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，DCO=D=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，C
45、AO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90，在CDA 和CEA 中， ，CDACEA（AAS） ，CD=CE；（2）证法 一：连接 BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB 是O 的直径，ACB=90，CEAB，ACE=B，B=F，F=ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F=DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO 是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，27ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO 是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用7.（2018江苏苏州10 分）如图，直线 l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD是一块边长为 100 米的正方形草地，点
