1、1压轴大题高分练 1.解析几何(A 组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: + =1(ab0)经过点(2, ),离心率为 .2222 2(1)求 E 的方程.(2)过 E 的左焦点 F 且斜率不为 0 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 C,直线OC 与直线 x=-4 相交于点 D,若ADF 为等腰直角三角形,求 l 的方程.【解析】(1)依题意,得 解得42+22=1,=22,2=2+2, =22,=2,=2, 所以 E 的方程为 + =1.2824(2)易得 F(-2,0),可设直线 l 的方程为
2、x=ky-2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去 x,整理得(k 2+2)y2-4ky-4=0,由根与系数的关系,得 y1+y2= ,y1y2= ,-42+2所以 = , = -2= ,1+22 1+22 -42+2即 C ,( -42+2, 22+2)2所以直线 OC 的方程为 y=- x,令 x=-4,得 y=2k,即 D(-4,2k),所以直线 DF 的斜率为 =-k,所以直线 DF 与 l 垂直,故若ADF 为等腰直角三角形,只需|AF|=|DF|,即 = = ,解得 y1=2,又 + =1,所以 x1=0,所以 k=1,218214从而直线 l 的方程为 x-y+2=
3、0 或 x+y+2=0.2.已知圆(x+ )2+y2=16 的圆心为 M,点 P 是圆 M 上的动点,点 N( ,0),线段 PN 的垂直2平分线交 PM 于 G 点.(1)求点 G 的轨迹 C 的方程.(2)过点 T(4,0)作斜率不为 0 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D,连接 BD 交 x 轴于点 Q,求|QT|.【解析】(1)由题意知,线段 PN 的垂直平分线交 PM 于 G 点,所以|GN|=|GP|,所以|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=42 =|MN|,所以点 G 在以 M,N 为焦点,长轴长为 4 的椭圆上
4、2a=4,2c=2 ,b2=a2-c2=2,所以点 G 的轨迹 C 的方程为 + =1.2422(2)依题意可设直线 l 的方程为 x=my+4,将直线方程代入 + =1,2422化简得(m 2+2)y2+8my+12=0,设直线 l 与椭圆 C 的两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),3由 =64m 2-412(m2+2)0,得 m26, 且 y1+y2=- ,y1y2= , 因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D,则 D(x1,-y1),可设 Q(x0,0),所以 kBD= = ,1+2(2-1)所以 BD 所在直线方程为 y-y2= (x-my2-4),1+2(2-1)令 y=0,得 x0= ,212+4(1+2)1+2把代入,得 x0=1,所以 Q 点的坐标为(1,0),所以|QT|=3.
