1、1专题能力提升练 六 三角函数的概念、图象与性质(45分钟 80 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.(2018漳州一模)已知函数 f(x)=sin(2x+)(00) 个单位长度得到点 P,若 P位于函数 y=sin 2x的图象上,则 ( )A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为12 6 6C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为12 3 3【解析】选 A.由题意得,t=sin = ,当 s最小时,P所对应的点为 ,此12时 smin= - = ,故选 A.4 63【加固训练】已知函数 f(x)=sin ,其中 0.若 f(x)f 对 xR 恒成立,则 的最(+
2、6) (12)小值为 ( )A.2 B.4 C.10 D.16【解析】选 B.由三角函数的性质可知,当 x= 时,x+ =2k+ ,所以 =24k+4(kZ),6 2取 k=0 可得 的最小值为 4.5.(2018烟台一模)若函数 f(x)=4sin xsin 2 + +cos2x-1(0)在4上是增函数,则 的取值范围是 ( )A.0,1) B.C.1,+) D.(0,34【解析】选 D.因为 f(x)=4sin xsin 2 +cos 2x-1(2+4)=4sin x +cos 2x-11-(+2)2=2sin x(1+sin x)+cos 2x-1=2sin x,所以 是函数含原点的递增
3、区间,又因为函数在 上是增函数,所以 4即 32,34,又 w0,所以 00),函数 f(x)=mn+,直线 x=x1,x=x2是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x 1-x2|的最小值为 .2(1)求 的值.(2)求函数 f(x)的单调递增区间.(3)若 f()= ,求 sin 的值.23【解析】(1)已知向量 m=(2sin x,sin x),n=(cos x,-2 sin x)(0),所以函数 f(x)=mn+ =2sin xcos x+sin x(-2 sin x)+=sin 2x-2 sin2x+ =sin 2x+ cos 2x=2sin .(2+3)因为直线 x=x1,
4、x=x2是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x 1-x2|的最小值为 ,2所以函数 f(x)的最小正周期为 2=,即 =,得 =1;2 22(2)由(1)知,f(x)=2sin ,(2+3)8令 2k- 2x+ 2k+ (kZ),解得 k- xk+ (kZ),所以函数 f(x)的2 3 2单调递增区间为 ,kZ;(3)由已知条件,得 f()=2sin = ,23所以 sin = ,cos2 = ,13 89所以 cos 2 = ,(2+3)79所以 sin =sin(4+23-2)=-cos 2 =- .7911.已知函数 f(x)=sin xcos ,xR.(+6)(1)将 f(
5、x)的图象向右平移 个单位,得到 g(x)的图象,求 g(x)的单调递增区间.6(2)若 f()=- ,且 00)个单位长度,若所得图象过点 ,则 的最小值为 ( )(3,12)A. B. C. D.6 4 311【解析】选 C.移动后 y=sin 2(x-)=sin(2x-2)经过点 ,则 sin = ,(3,12) (23-2)12解之得 -2= +2k 或 -2= +2k,kZ,23 6 23 56所以 = -k 或 =- -k,kZ4因为 0,所以 的最小值为 .4【加固训练】已知函数 f(x)=sin(x+) 的图象在 y轴右侧的第一个最高点为 P,在原点右侧与 x轴的第一个交点为
6、Q ,则 f 的值为_. (6,1)【解析】f(x)=sin(x+),由题意得 = - ,所以 T=, 所以 =2,将点 P 代入6 (6,1)f(x)=sin(2x+),得 sin =1,所以 = +2k(kZ).(26+) 6又|0)的图象与 x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为(+6)的等差数列,若要得到函数 g(x)=Asin x 的图象,只要将 f(x)的图象2( )A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位6 612C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位【解析】选 D.正弦函数图象与 x轴相邻交点横坐标相差为半个周期,即 d= = ,又因为 d=,所以 =2,则 f(x)=As
7、in =Asin ,所以只要将函数 f(x)的图2 (+6) 2(+12)象向右平移 个单位就能得到 g(x)=sin x 的图象.3.(2018濮阳一模) 先将函数 f(x)=sin x的图象上的各点向左平移 个单位,再将各点的6横坐标变为原来的 倍(其中 N *),得到函数 g(x)的图象,若 g(x)在区间 上单调1 6,4递增,则 的最大值为_. 【解题指南】当图象是先平移再伸缩时,注意是 x前的系数改变,与 无关,函数在上单调递增,即先求 x+ 的范围,其是函数 y=sin x单调递增区间的子集,求出 6,4 6的范围,确定最大值.【解析】g(x)=sin 在区间 上单调递增,(+6
8、) 6,4所以有 即 12k-48k+ ,kZ,6+62-2,4+62+2, 43由 12k-48k+ 可得 k ,43 43当 k=1时, ,所以正整数 的最大值是 9.答案:94.如图,M(x M,yM),N(xN,yN)分别是函数 f(x)=Asin(2x+)(A0)的图象与两条直线l1:y=m(Am0), l2:y=-m的两个交点,|x M-xN|=_. 13【解题指南】设出另外两个交点和对称轴,根据对称性求解.【解析】如图所示,作曲线 y=f(x)的对称轴 x=x1,x=x2,点 M与点 D关于直线 x=x1对称,点 N与点 C关于直线 x=x2对称,所以 xM+xD=2x1,xC+
9、xN=2x2 ,所以 xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,又点 M与点 C,点 D与点 N都关于点 B对称,所以 xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB,所以 xM-xN=2(xB-x2)=- ,所以|x M-xN|= = .2答案:25.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- .12(1)若 00,02)距离为 ,且在 x= 时取得最大值 1.2 8(1)求函数 f(x)的解析式.(2)当 x 时,若方程 f(x)=a恰好有三个根,分别为 x1,x2,x3,求 x1+x2+x3的取值范0,98围.【解析】(1) = T= = =2,2 2所以 sin
10、=sin =1,(28+)15所以 +=2k+ ,kZ,4 2所以 =2k+ ,kZ,4因为 0 ,所以 = ,2 4所以 f(x)=sin .(2+4)(2)画出该函数的图象如图,当 a1 时,方程 f(x)=a恰好有三个根,且点(x 1,a)和(x 2,a)关于直线 x= 对称,点8(x2,a)和(x 3,a)关于直线 x= 对称,所以 x1+x2= ,x 3 ,所以 x 1+x2+ x358 4 98 54.7.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长
11、度.2(1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.(2)已知关于 x的方程 f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解 ,.求实数 m的取值范围;证明:cos(-)= -1.【解析】(1)将 g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)得到16y=2cos x的图象,再将 y=2cos x的图象向右平移 个单位长度后得到 y=2cos 的2图象,故 f(x)=2sin x,从而函数 f(x)=2sin x图象的对称轴方程为 x=k+ (kZ).2(2)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=5(25+15)= sin(x+)依题意,sin(x+)= 在区间0,2)内有两个不同的解 ,当且仅当 1,故 m的5取值范围是(- , ). 因为 , 是方程 sin(x+)=m 在区间0,2)内有两个不同的解,所以 sin(+)= ,sin(+)= .5 5当 1m 时,+=2 ,(2-)即 +=-(+);当- m1时,+=2 ,(32-)即 +=3-(+);所以 cos(+)=-cos(+),于是 cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=- + = -1.1-(5)2
