1、1专题能力提升练 十七 直线与圆(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.(2018南阳一模)直线 x+(1+m)y=2-m 和直线 mx+2y+8=0 平行,则 m 的值为( )A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-【解析】选 A.因为直线 x+(1+m)y=2-m 和直线 mx+2y+8=0 平行,所以 12-(1+m)m=0,解得 m=1 或-2,当 m=-2 时,两直线重合,舍去.2.已知命题 p:“m=-1”,命题 q:“直线 x-y=0 与直线 x+m2y=0 互相垂直”,则命题 p 是命题q 的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条
2、件 D.既不充分也不必要【解析】选 A.“直线 x-y=0 与直线 x+m2y=0 互相垂直”的充要条件是 11+(-1)m2=0m=1.所以命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.3.(2018莱芜一模)过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( )A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解析】选 A.因为过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,所以圆的一条切线方程为 y=1,切点之一为(1,1),显然 B、D 选项不过(1,1),B、D 不满足题意;
3、另一个切点的坐标在(1,-1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项 C 不满足,A 满足.4.在圆 x2+y2-4x-4y-2=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD的面积为 ( )A.5 B.10 C.15 D.20【解析】选 B.把圆的方程化为标准方程得:(x-2) 2+(y-2)2=10,则圆心坐标为(2,2),半径为 ,102根据题意画出图象,如图所示:由图象可知:过点 E 最长的弦为直径 AC,最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦,则AC=2 ,MB= ,ME= = ,10所以 BD=2BE=2 ,又 ACBD,所以四边形 ABCD 的面
4、积 S= ACBD= 2 2 =10 .12 12 105.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,向量 , 满足| + |=|- |,则实数 a 的值为 ( )A.1 B.2 C.1 D.2【解析】选 C.由 , 满足| + |=| - |,得 ,因为直线 x+y=a 的斜率是-1,所以 A,B 两点在坐标轴上并且在圆上;所以(0,1)和(0,-1)两点都适合直线的方程,故 a=1.6.若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,点 M(4,m)是抛物线上一点,则经过点 F,M 且与 l 相切的圆共 ( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4
5、 个【解析】选 D.因为点 M(4,m)在抛物线 y2=4x 上,所以可求得 m=4.由于圆经过焦点 F 且与准线 l 相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上,又因为圆经过抛物线上的点 M,所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上,即圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形易知对于点 M(4,4)和(4,-4),都各有两个交点,因此一共有 4 个满足条件的圆.7.(2018大庆二模)圆 x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直线 ax-2by+1=0(a0,b0)对称,3则 + 的最小值为 ( )A.3+2 B.9 C.16 D.18【解析】选 D.由圆的对称性可得,直线 ax
6、-2by+1=0 必过圆心(-2,1),所以 a+b= .12所以 + =2 (a+b)=2 2(5+4)=18,(5+4)当且仅当 = ,即 2a=b 时取等号.48.设直线 x-y+m=0(mR)与圆(x-2) 2+y2=4 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 x 轴的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若线段 CD 的长度为 ,则 m= ( )A.1 或 3 B.1 或-3C.-1 或 3 D.-1 或-3【解析】选 D.联立 ,得 2x2+2(m-2)x+m2=0,则 =-4(m 2+4m-4).设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=2-m,x1x2= ,所以|CD
7、|=|x 1-x2| =22= ,解得 m=-3 或 m=-1,此时 0 成立.(1+2)2-412 -2-4+49.已知直线 l:x+y-6=0 和曲线 M:x2+y2-2x-2y-2=0,点 A 在直线 l 上,若直线 AC 与曲线 M 至少有一个公共点 C,且MAC=30,则点 A 的横坐标的取值范围是( )A.(0,5) B.1,5 C.1,3 D.(0,3【解析】选 B.设 A(x0,6-x0),依题意有圆心到直线的距离 d=AMsin302,即(x 0-1)2+(5-x0)216,解得 x01,5.410.(2018北京高考)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin
8、)到直线 x-my-2=0的距离,当 ,m 变化时,d 的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.方法一:由已知 d= =|-2|1+2=|sin(+)|+| |1+2=3.|(+)- 21+2|当且仅当 =2,且 sin(+)=-1 时取=,此时 m=0,d=|cos -2|,cos 能取到-1,所以 d 的最大值为 3.方法二:由已知及 sin2+cos 2=1,点 P(cos ,sin )在圆 x2+y2=1 上.又直线 x-my-2=0 过定点(2,0),当 d 取得最大值时,即圆 x2+y2=1 上的动点 P 到动直线 x-my-2=0 距离最大,此时圆 x2+y
9、2=1 的圆心(0,0)到动直线 x-my-2=0 距离最大,数形结合,可知动直线为 x=2 时,圆心(0,0)到动直线 x-my-2=0 距离最大值为 2,所以圆 x2+y2=1 上的动点 P 到动直线 x-my-2=0 的距离最大值为 2+1=3,即 d 的最大值为 3.511.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 ,则直线 l 的斜率的取值范围是 ( )A.2- ,2+ B.-2- , -23C.-2- ,2+ D.-2- ,2- 【解析】选 A.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 可化为(x-2)2+(y-2)2=18,
10、则圆心为(2,2),半径为 3 ,则由圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 可得,圆心到直线 l:ax+by=0 的距离 d3 -2 = .即 ,|2+2|2+2 2则 a2+b2+4ab0,若 a=0,则 b=0,故不成立.故 a0,则上式可化为 1+ +4 0,由直线 l 的斜率 k=- ,1+ -4 0,(1)2(1)则上式可化简为 1+k2-4k0,则 k2- ,2+ ,所以 A 选项是正确的.312.(2018杭州一模)若对圆(x-1) 2+(y-1)2=r2(r0)上任意一点 P(x,y),|3x-4y+6|+|3x-4y
11、-9|的取值与 x,y 无关,则实数 r 的取值范围是( )A.r1 B.r1 C.1r2 D.r2【解析】选 B.因为圆(x-1) 2+(y-1)2=r2(r0),所以圆心为(1,1),半径为 r.6因为|3x-4y+6|+|3x-4y-9|=5 ,所以|3x-4y+6|+|3x-4y-9|表示到直线 3x-4y+6=0 和直线 3x-4y-9=0 的距离和的 5 倍.所以要使|3x-4y+6|+|3x-4y-9|的取值与 x,y 无关,即使圆上的点到两直线的距离和与点的位置无关.所以只需要两直线都与圆相离,即圆夹在两直线之间.所以圆心到两直线的距离都大于或等于半径.所以解得 r1.二、填空
12、题(每小题 5 分,共 20 分)13.已知直线 l 将圆 C:x2+y2-6x+6y+2=0 的周长平分,且直线 l 不经过第三象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围为_. 【解析】依题意,圆 C:(x-3)2+(y+3)2=16,易知直线 l 过圆 C 的圆心(3,-3);因为直线 l 不经过第三象限,结合正切函数图象可知,90135.答案:9013514.已知直线 l:mx-y+m=0,圆 C:(x-a)2+y2=4.若对任意 a1,+),存在 l 被 C 截得弦长为2,则实数 m 的取值范围是_. 【解析】方法一:由题意可得,圆心 C 到 l 的距离 d= = ,即= ,|+|2+1 3所以 m2= ,又因为 a1,所以 00),则直线 AB 的方程是 ax+(a+b)y-ab=0.因为若直线 AB与圆 x2+y2=1 相切,所以 d= =1,化简得 2a2+b2+2ab=a2b2,利用基本不等2+(+)2式得 a2b2=2a2+b2+2ab2 ab+2ab,即 ab2+2 ,从而得28|AB|= =ab2+2 ,当 b= a,即 a= ,b=(+)2+2时,|AB|取得最小值是 2+2 .4+22 2答案:2+2
