1、1专题能力提升练 十九 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题(45分钟 80 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.在同一平面内,下列说法:若动点 P到两个定点 A,B的距离之和是定值,则点 P的轨迹是椭圆;若动点 P到两个定点 A,B的距离之差的绝对值是定值,则点 P的轨迹是双曲线;若动点 P到定点 A的距离等于 P到定直线的距离,则点 P的轨迹是抛物线;若动点 P到两个定点 A,B的距离之比是定值,则点 P的轨迹是圆.其中错误的说法个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 D.平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹不一定是椭圆,如果距离之和等于两点间的距离,轨迹
2、表示的是线段,不表示椭圆,所以不正确;平面内与两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹当这个常数小于两定点的距离时是双曲线,否则不是,所以不正确;当定点位于定直线时,此时的点的轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线,只有当定点不在直线上时,轨迹才是抛物线,所以错误;若动点 P到两个定点 A,B的距离之比是定值,则点 P的轨迹可以是圆,也可以是直线,故不正确.2.设抛物线 y2=2x的焦点为 F,过点( ,0)的直线与抛物线相交于 A,B两点,与抛物线的准线相交于 C,|BF|=2,则BCF 与ACF 的面积之比 = ( )A. B. C. D.56 67【解析】选 B.所求面积比等于 = = ,由
3、|BF|=|BE|=x B+ =2,xB= ,B| 2+12 122,A(2,2),于是代入得 .3.(2018成都一模)已知 F是双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,P 是 y轴正半轴上一22点,以 OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 M.若点 P,M,F三点共线,且MFO的面积是PMO 的面积的 3倍,则双曲线 C的离心率为( )A. B. C. D.2【解析】选 D.以 OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线 y= x交于点 M,由MFO 的面积是PMO 面积的 3倍,可得|MF|=3|MP|,由 OMPF,设 F(c,0),由结论知道,焦点到相应渐近线的距离为
4、b,可得|MF|=b,则|PM|= ,在直角三角形 POF中,由射影定理可得,|OF|2=|MF|FP|,即为 c2=b b= (c2-a2),4343则 c2=4a2,即有 e=2.34.(2018兰州二模)已知点 A(-1,0),B(1,0)为双曲线 - =1(a0,b0)的左右顶点,点2222M在双曲线上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120 ,则该双曲线的方程为 ( )A.x2- =1 B.x2-y2=124C.x2- =1 D.x2- =123 22【解析】选 B.由点 M在双曲线上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点 M作 MNx
5、轴,垂足为 N,则NBM=60,如图所示:在 RtBNM 中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60= a,即 M(2a, a),代入双曲线方程得 4- =1,即 b2=a2.322因为点 A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左右顶点,所以 a=b=1,所以双曲线的方程为 x2-y2=1.5.抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 L,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB= .3设线段 AB的中点 M在 L上的投影为 N,则 的最大值是 ( )|A. B.1 C. D.23 32 16【解析】选 B.过 A,B作准线
6、 L的垂线,垂足分为为 Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF,BF,4由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形 ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 60=a2+b2-ab,配方得,|AB| 2=(a+b)2-3ab,又因为 ab ,所以(a+b) 2-3ab(a+b) 2- (a+b)2= (a+b)2,34 14得到|AB| (a+b).所以 1,12 |即 的最大值为 1.|6.设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点 F,过点 F作与 x轴垂直的直线 l交两渐近线于2222A,B两点,且
7、与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O为坐标原点,若= + (,R),= ,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.3 D.2【解析】选 D.双曲线的渐近线为 y= x,设焦点 F(c,0),则A ,B ,P ,(,)因为 = + ,5所以 = ,所以 +=1,-= ,解得:= ,= ,-2又由 = ,得: = ,2-242解得 = ,2214所以 e=2.二、填空题(每小题 5分,共 10分)7.已知椭圆 + =1(m,n为常数,mn0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P是以椭圆短轴为直22径的圆上任意一点,则 =_. 【解析】如图,F 1(-c,0),F2(c,0),设 P(x0,y0)
8、,则 + =b2,2020所以 =(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)= + -c2=b2-c2=2n-m.2020答案:2n-m8.圆 x2+y2=1的切线与椭圆 + =1交于两点 A,B,分别以 A,B为切点的 + =1的切线2423 2423交于点 P,则点 P的轨迹方程为_. 【解析】设圆的切线方程为 y=kx+b,A(x1,x2),B(x2,y2),则 1+k2=b2,6椭圆的切线 PA,PB的方程分别为 3x1x+4y1y=12,3x2x+4y2y=12,则 PA,PB的交点的纵坐标 yP= = = ,代入 3x1x+4y1y=12得PA,PB的交点的横坐标 xP= = =-
9、 ;4即点 P的参数方程为=-4,=3, 利用 1+k2=b2消去 k,b得 + =1.21629答案: + =121629三、解答题(每小题 10分,共 40分)9.(2018遂宁一模)已知点 M(x,y)与定点 F2(1,0)的距离和它到直线 x=4的距离的比是常数 .12(1)求点 M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.(2)若点 F1的坐标为(-1,0),过 F2的直线 l与点 M的轨迹交于不同的两点 A,B,求F 1AB面积的最大值.【解析】(1)由题意可有 = ,化简可得点 M的轨迹方程为 +12 24=1. 23其轨迹是焦点在 x轴上,长轴长为 4,短轴长为 2 的椭圆.(2)设
10、A(x1,y1),B(x2,y2), = |F1F2|y1-y2|=|y1-y2|,127由题意知,直线 l的方程为 x=my+1,由 得(3m 2+4)y2+6my-9=0,=+1,24+23=1则 y1+y2= ,y1y2= , -632+4又因为直线 l与椭圆 C交于不同的两点,故 0,即(6m) 2+36(3m2+4)0,mR,则=|y1-y2|= (1+2)2-412= ,122+132+4令 t= (t1),则 = = ,1232+14+13令 f(t)=t+ ,由函数的性质可知,函数 f(t)在 上是单调递增函数,即当 t133,+)时,f(t)在1,+)上单调递增,因此有 f(
11、t)f(1)= ,43所以 3,故当 t=1,即 m=0时, 最大,最大值为 3.10.(2018茂名一模)已知椭圆 C1: + =1(ab0)的一个焦点为 F1(0, ),且经过点 P22228.(1)求椭圆 C1的标准方程.(2)已知椭圆 C2的中心在原点,焦点在 y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆 C1的长轴和短轴的长的 倍(1) ,过点 C(-1,0)的直线 l与椭圆 C2交于 A,B两个不同的点,若 =2,求OAB 面积取得最大值时直线 l的方程.【解析】(1)方法一:由题意知,椭圆 C1的另一个焦点为 F2(0,- ),且PF 1F2为直角三角形,|PF1|= ,|F1F2|=2
12、,43所以|PF 2|= = .由椭圆的定义得 2a=|PF1|+|PF2|= =6,即 a=3,又由 b2+c2=a2得,b=2,所以椭圆 C1的标准方程为 + =1.2924方法二:由题意知,椭圆 C1的另一个焦点为 F2(0,- ),由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|= + =6,即 a=3,43又由 b2+c2=a2得,b=2.所以椭圆 C1的标准方程为 + =1.2924方法三:把点 P 代入方程 + =1得,2222+ =1, 521692又因为 b2+5=a2, 9由得 a=3,b=2,所以椭圆 C1的标准方程为 + =1.2924(2)设椭圆 C2的方程为 + =1,A
13、(x1,y1),B(x2,y2).因为 1,所以点 C(-1,0)在椭圆内部,直线 l与椭圆必有两个不同的交点.当直线 l垂直于 x轴时, = (不是零向量),不符合条件.故设直线 l方程为 y=k(x+1)(A,B,O三点不共线,故 k0),由 得 y2- y+9-36 2=0,18所以 y1+y2= ,因为 =2 ,而点 C(-1,0), 所以(-1-x 1,-y1)=2(x2+1,y2),所以 y1=-2y2,即 y1+y2=- y2,所以 y2= ,-189+42OAB 的面积为 SOAB =SAOC +SBOC= 1|y1|+ 1|y2|= |y1-y2|12 12 12= |y2|
14、= = = ,32 32 279|+4| 94上式取等号的条件是|k| 2= ,即 k= 时,OAB 的面积取得最大值 .94 3210所以直线 l的方程为 y= (x+1)或 y=- (x+1).32 3211.已知 F(2,0)是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,F 关于 y轴的对称点为 F,曲线 W上任意一点 Q满足:直线 FQ和直线 FQ 的斜率之积为- .34(1)求曲线 W的方程.(2)过 F(2,0)且斜率为正数的直线 l与抛物线交于 A,B两点,其中点 A在 x轴上方,与曲线W交于点 C,若FBF 的面积为 S1,FCF 的面积为 S2,当 = 时,求直线 l的方程.1279
15、【解析】(1)由题意可知:F(-2,0),设曲线 W上任意一点坐标 Q(x,y),则:kFQ= ,kFQ = (x2),又 kFQkFQ =- ,34所以 =- ,34整理得: + =1,2423所以曲线 W的方程为 + =1(x2).2423(2)F(2,0)是抛物线 y2=2px的焦点,所以 =2,p=4,则抛物线的方程为 y2=8x,设直线 l的方程为 y=k(x-2),(k0),B(xB,yB),C(xC,yC),将直线 l的方程代入曲线 W方程,整理得:(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以 2+xC= ,所以 xC= ,16242+3 82-642+3所以 yC
16、=k(xC-2)=- ,又因为 = ,可得: = ,所以 B1242+3 1279 7911,又因为 B在抛物线 y2=8x上,=8 ,整理得:(9k 2+5)(16k2-9)=0,又 k0,所以 k= ,34所以直线 l的方程为 y= x- .343212.(2018衡水一模)已知中心在原点 O,焦点在 x轴上,离心率为 的椭圆过点.(2, 73)(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与 y轴的非负半轴交于点 B,过点 B作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于 P,Q两点,连接 PQ,求BPQ 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为 + =1(ab0),2222则 =223,22+792=
17、1,故 所以椭圆方程为 +y2=1.29(2)由题意可知,直线 BP的斜率存在且不为 0,故可设直线 BP的方程为 y=kx+1,由对称性,不妨设 k0,12由 消去 y得(1+9k 2)x2+18kx=0,=+1,2+92-9=0,则|BP|= ,将式子中的 k0换成- ,得:|BQ|= ,1+2 181+92 181+22+9SAPQ = |BP|BQ|12= 12182+11+92 182+12+9= 181+92 12+11811+92=2+1 12+1 162(1+92)(1+92)= .设 k+ =t,则 t2,故 SBPQ = = = ,取等条件为 9t= ,即 t= ,1629
18、2+64 64 83即 k+ = ,解得 k= 时,S BPQ 取得最大值 .83 4 73(建议用时:50 分钟)1.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F到其准线的距离为 2,过点 E(4, 0)的直线 l与抛物13线 C交于 A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为 ( )A.3+2 B.7C.3+8 D.9【解析】选 C.由抛物线 C的焦点 F到其准线的距离为 2,得 p=2,设直线 l的方程为 x=my+4,与 y2=4x联立得 y2-4my-16=0,设 A ,B ,则 y1y2=-16,所以|AF|+2|BF|= +1+2214 (224+1)= + +32 +3=3
19、+8 (当且仅当 = ,即 =2 时,取等号).214222 214222 21222.抛物线 y=x2与直线 x=0,x=1及该抛物线在 x=t(00)上一点 P的纵坐标为 4,且点 P到焦点 F的距离为 5.(1)求抛物线 E的方程.(2)设斜率为 k的两条平行直线 l1,l2分别经过点 F和 H(0,-1),如图. l1与抛物线 E交于A,B两点, l2与抛物线 E交于 C,D两点.问:是否存在实数 k,使得四边形 ABDC的面积为 4+4?若存在,求出 k的值;若不存在,请说明理由.16【解析】(1)由抛物线定义知,点 P到抛物线 E的准线的距离为 5.因为抛物线 E的准线为 y=-
20、,所以 4+ =5,解得 p=2,所以抛物线的方程为 x2=4y.(2)由已知得,直线 l1:y=kx+1.由 消去 y得 x2-4kx-4=0, =+1,2=4, 这时,=16(k 2+1)0恒成立,|AB|= =4(k2+1).同理,直线 l2:y=kx-1,由 消去 y得 x2-4kx+4=0, 由 =16(k 2-1)0得 k21,|CD|= =4 ,又因为直线 l1,l2间的距离 d= ,22+1则四边形 ABDC的面积 S= d(|AB|+|CD|)12=4( + ).解方程 4( + )=4( +1)得,k 2有唯一实数解 2 (满足大于 1),所以满足条件的 k的值为 .6.(
21、2018淮南一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成2222等腰直角三角形,直线 x+y+1=0与以椭圆 C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆 C的方程.(2)设 P为椭圆 C上一点,若过点 M(2,0)的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 S和 T,满足+ =t (O为坐标原点),求实数 t的取值范围.【解析】(1)由题意,以椭圆 C的右焦点为圆心,以椭圆的长轴长为半径的圆的方程为(x-c)172+y2=a2,所以圆心到直线 x+y+1=0的距离 d= =a(*).因为椭圆 C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,所以
22、b=c,a= b= c,代入(*)式得 b=c=1,所以 a= b= ,故所求椭圆方程为 +y2=1.22(2)由题意知直线 l的斜率存在,设直线 l方程为 y=k(x-2),设 P(x0,y0),将直线方程代入椭圆方程得:(1+2k 2)x2-8k2x+8k2-2=0,所以 =64k 4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+80,所以 k2 ,12设 S(x1,y1),T(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,821+22由 + =t ,当 t=0,直线 l为 x轴,P 点在椭圆上符合题意;当 t0,得所以 x0= ,y0= ,821+22将上式代入椭圆方程得: + =1,3242(1+22)21622(1+22)2整理得:t 2= ,由 k2 知,0t 24,所以 t(-2,0)(0,2),12综上可得 t(-2,2).
