1、1专题 7 解析几何真题引领洞悉考情1. (2018全国卷)直线 x+y+2=0分别与 x轴,y 轴交于 A,B两点,点 P在圆+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是 ( )(-2)2A. B.2,6 4,8C. D. 2,32 22,32【解析】选 A.由 A(-2,0),B(0,-2),则三角形 ABP的底边|AB|=2 ,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为 d= =2 ,又因为半径为 r= ,所以点 P到直线 x+y+2=0的距离的最大值为 2 + =3 ,最小值为 2 - = ,则三角形 ABP的面积的最大值为 Smax= 2 3 =6,最小值为 Smin= 2 =2,故AB
2、P 面积的取值范12 12围为2,6.2.(2018全国卷)已知椭圆 C: + =1的一个焦点为 ,则 C的离心率为2224 (2,0)( )A. B. C. D.13 12【解析】选 C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则 c=2,所以 a2=b2+c2=8,a=2 ,所以离心率 e= .3.(2018全国卷 I)已知双曲线 C: -y2=1,O为坐标原点,F 为 C的右焦点,过 F的直线与23C的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则 =( )2A. B.3 C.2 D.432【解析】选 B.渐近线方程为: -y2=0,即 y= x,23所以MON= .3因为OMN 为
3、直角三角形,假设ONM= ,如图,2所以 kMN= ,直线 MN方程为 y= (x-2).联立=-33,=3(-2),所以 N ,即 ON= ,因为MON= ,(32,- 32) 3所以|MN|=3.4.(2017全国卷)若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆 (x-2)2+y2=4所截2222得的弦长为 2,则 C的离心率为 ( )A.2 B. C. D.【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.3【解析】选 A.圆心到渐近线 bxay=0的距离为 = ,所以 = c=2ae=2.22-1 25.(
4、2017全国卷)已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点,过 F作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C交于 A,B两点,直线 l2与 C交于 D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( )A.16 B.14 C.12 D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题.【解析】选 A.方法一:设直线 l1方程为 y=k1(x-1),联立方程 2=4,=1(-1)得 x2-2 x-4x+ =0,21 21 21设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以 x1+x2=- = ,-221-421同理直线 l2与抛
5、物线的交点满足 x3+x4= ,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x2+x3+x4+2p= + +4= + +82 +8=16,421422162122当且仅当 k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设 AB倾斜角为 .作 AK1垂直于准线,垂足为 K1,AK2垂直 x(00,b0)的右顶点为 A,以 A为圆心,b 为半2222径作圆 A,圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M,N两点.若MAN=60,则 C的离心率为_. 【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,=a, = =
6、b,5因为MAN=60,所以 = b,= = ,|2-|2 2-342所以 tan = = ,|322-342又因为 tan = ,所以 = ,解得 a2=3b2,322-342e= = = .1+22 1+13答案:7.(2017全国卷)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与22椭圆 + =1有公共焦点,则 C的方程为 ( )21223A. - =1 B. - =128210 2425C. - =1 D. - =12524 2423【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选 B.由题意可得: = ,c=3,又 a2+b2=
7、c2,解得 a2=4,b2=5,则 C的方程为 - 246=1.25【光速解题】根据渐近线方程可判断 a0,所以-m 2n3m2,由双曲线性质知:c 2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中 c是半焦距,所以焦距2c=22|m|=4,解得|m|=1,所以-1n3.10.(2015全国卷) 一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在 x轴的正半轴上,21624则该圆的标准方程为_. 【解题导引】求出椭圆的四个顶点坐标,根据圆心位置判断圆经过的三点,再用待定系数法求解.【解析】由题意知,椭圆上、下顶点的坐标为(0,2),(0,-2),左、右顶点的坐标为(-4,0),(4,0),由圆心在 x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0),设圆的标准方程为(x-m)72+y2=r2,则有 解得所以圆的标准方程为 +y2= .答案: +y2=11.(2015全国卷)已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( )A. B. C. D.53 213 43【解析】选 B.圆心在直线 BC的垂直平分线即 x=1上,设圆心 D(1,b),由 DA=DB得|b|= ,解得 b= ,所以圆心到原点的距离为 d= = .213
