1、12.7.2 圆锥曲线方程性质及与弦有关的问题考题预测精准猜押一、选择题1.已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交2222于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =124212 212C. - =1 D. - =12329 23【解析】选 C.因为双曲线的离心率为 2,所以 =2,c=2a,b= a,不妨令 A(2a,3a), B(2a,-33a),双曲线其中一条渐近线方程为 y= x,所以 d1= =, d2= = ;依题意得: +
2、23-32 23+32 23-32=6,解得:a= ,b=3,所以双曲线方程为: - =1.23+32 292.已知双曲线 - =1(b0)的左顶点为 A,虚轴长为 8,右焦点为 F,且F 与双曲线的渐近2922线相切,若过点 A 作F 的两条切线,切点分别为 M,N,则|MN|=( )A.8 B.4 C.2 D.43【解析】选 D.由题意知 2b=8,所以 b=4,A(-3,0),F(5,0),因为 F 到双曲线的渐近线距离为 b,所2以F:(x-5) 2+y2=16,设 MN 交 x 轴于 E,则由 RtFMARtFEM 知,EF= = =2,2423+5所以 AE=8-2=6,ME2=A
3、EEF=12,所以 MN=2ME=4 .3.已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左,右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率2222为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.23 12 13 14【解析】选 D.由题意直线 AP 的方程为 y= (x+a),PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,所以 PF2=2c,PF 2x=60,故 P(2c, c),代入 y= (x+a)得, (2c+a)= c,解得 e= = .144.已知双曲线 - =1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F2,直
4、线 l 经过点 F2且与该双曲线2222的右支交于 A,B 两点,若ABF 1的周长为 7a,则该双曲线离心率的取值范围是 ( )A. B.(112, 7)C. D.72, 7【解析】选 A.因为直线 l 经过双曲线的右焦点,所以AF 1B 的周长为 4a+2|AB|,因为|AB| ,所以 4a+2|AB|4a+ ,即:4a+ 7a,即 4b23a 2,4(c2-a2)3a 2,22 42 423解得 e ,所以双曲线离心率的取值范围是 .二、填空题5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA l,A 为垂足,若直线 AF 的斜率 k
5、=- ,则线段 PF 的长为_. 【解析】因为抛物线的方程为 y2=6x所以焦点 F ,准线的方程为 x=- .(32,0) 32因为直线 AF 的斜率 k=-所以直线 AF 的方程为 y=- ,3(-32)当 x=- 时,y=3 ,即 A .32 (-32,33)因为 PA l,A 为垂足,所以 P 点的纵坐标为 3 ,代入到抛物线方程得,P 点的坐标为.所以|PF|=|PA|= - =6.92(-32)答案:66.已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.若AMB=90,则 k=_. 【解析】由抛物线的方程 y2=4x 可
6、知其焦点 F 的坐标为(1,0),所以直线 AB 的方程为y=k(x-1),由 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= ,x1x2=1,因为AMB=90,所以 =(x1+1,y1-1)(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)4=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)-1k(x2-1)-1=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2) +(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得 k=2.答案:2三、解答题7.如图,已知圆 G:(x-2)2+y2= 是椭圆
7、 T: + =1(00,AB 与圆 G 切于点 D,BC 交 x 轴于点 H,连接 DG,由 = ,得 = ,解得 = ,23604009 +20 20595又点 B 在椭圆上,故 + = + =1,解得 b2=1,64916 49故所求椭圆 T 的标准方程为 +y2=1.216(2)设过点 M(0,1)与圆(x-2) 2+y2= 相切的直线方程为 y-1=kx,49则 = ,即 32k2+36k+5=0,23|2+1|1+2设 MF,ME 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2=- ,k1k2= ,98将 y-1=kx,代入 +y2=1,得(16k 2+1)x2+32kx=0,解得 x=- 或 0(舍去),216 32162+1设 F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),则 x1=- ,x2=- ,3211621+13221622+1于是直线 EF 的斜率为 kEF= = = ,22-112-12+11-161234从而直线 EF 的方程为 y+ -1= ,34(+ 3211621+1)将上式化简得 y= x- ,3473则圆心 G(2,0)到直线 EF 的距离 d= = ,236故直线 EF 与圆 G 相切.
