1、1专题 30 电磁感应中的动力学问题这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应 电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的 力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。一、电磁感应中的动力学问题分析1安培力的大小：由感应电动势 E BLv，感应电流 rREI和安培力公式 F BIL 得 rRvLB2。2安培力的方向判断：（1）先用右手定则确定感应电流方向， 再用左手定则确定安培力方向。 （2）根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线的运动方向相反。3导体两
2、种状态及处理方法（1）导体 的平衡态静止状态或匀速直线运动状态。处理方法：根据平衡条件（合外力等于零）列式分析。（2）导体的非平衡态加速度不为零。处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。4电磁感应中的动力学问题中两大研究对象及其关系电磁感应中导体棒既可看作电学对象（因为它相当于电源） ，又可看作力学对象（因为感应电流产生安培力） ，而感应电流 I 和导体棒的速度 v 则是联系这两大对象的纽带： 5电磁感应中动力学问题分析思路解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是：“先电后力” ，即：先做“源”的分析分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数 E和 r；再进行“路”的分析
3、分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解2安培力；然后是“力”的分析分析研究对象（常是金属杆 、导体线圈等）的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。【题 1】如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为 的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻。导体棒 a 和 b 放在导轨上，与导轨垂直并良好接触斜面上水平虚线 PQ 以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场现对 a 棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的 b 棒恰好静止。当 a 棒运动到磁场的上边界 PQ 处时，撤去拉力，
4、此时 b 棒已滑离导轨。当 a 棒再次滑回到磁场上边界 PQ 处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，已知 a 棒、 b 棒和定值电阻的阻值均为R， b 棒的质量为 m，重力加速度为 g，导轨电阻不计。求：（1） a 棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中， a 棒中的电流 Ia与定值电阻 R 中的电流 IR之比；（2） a 棒的质量 ma；（3） a 棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力 F.【答案】 （1）2 1 （2） m （3） mgsin32 72（2） a 棒在 PQ 上方滑动过程中机械能守恒，设 a 棒在 PQ 处向上滑动的速度大小为 v1，其与在 PQ 处向下滑动的速度大小 v2相等，即 v
5、1 v2 v 设磁场的磁感应强度为 B，导体棒长为 L， a 棒在磁场中运动时产生的感应电动势为（1） a 棒在磁场中沿导轨向上运动时，设 b 棒中的电流为 Ib，有 IRR IbR Ia IR Ib 由解得 IaIR 21（2） a 棒在 PQ 上方滑动过程中机械能守恒，设 a 棒在 PQ 处向上滑动的速度大小为 v1，其与在 PQ 处向下滑动的速度大小 v2相等，即 v1 v2 v 设磁场的磁感应强度为 B，导体棒长为 L， a 棒在磁场中运动时产生的感应电动势为F Ia LB magsin3联立以上各式解得 F mgsin 。 72【题 4】如图，两根足够长的平行金属导轨间距 l0.50
6、 m，倾角 53，导轨上端串接电阻R0.05 .在导轨间长 d 0.56 m 的区域内，存在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度 B2.0 T 的匀强磁场，质量 m4.0 kg 的金属棒 CD 水平置于导轨上，用轻质细绳跨过定滑轮与拉杆 GH（ GH 杆的质量不计）相连。某同学用 F80 N 的恒力竖直向下拉动 GH 杆，使 CD 棒从图中初始位置由静 止开始运动，刚进入磁场时速度为 v2.4 m/s，当 CD 棒到达磁场 上边界时该同学松手。 g10 m/s2，sin 530.8，不计其它电阻和一切摩擦，求：（1） CD 棒的初始位置与磁场区域下边界的距离 s；（2）该同学松手后， CD 棒能继
7、续上升的最大高度 h；（3）在拉升 CD 棒的过程中，该同学所做的功 W 和电阻 R 上产生的热量 Q。【答案】 （1）0.24 m（2）0.288 m（3）26.88 J（2）刚进入磁场时产生的感应电动势为： E Blv20.52.4 V2.4 V由闭合电路欧姆定律有： I A48 AER 2.40.05又： F 安 BIl2480.5 N48 N因为： F mgsin F 安 400.8 N48 N80 N所以 CD 棒在磁场中做匀速直线运动离开磁场后， CD 棒沿导轨向上做匀减速运动由 v2 2gxsin 代入数据解得： x0.36 mCD 棒还能继续上升的最大高度为： h xsin 0
8、.288 m（3）该同学所做的功为： W F（ s d）代入数据解得： W64 J4由能量转化和守恒定律得： F（ s d） mg（ s d）sin h Q代入数据解得： Q26.88 J 【题 5】如图， MN、 PQ 为光滑平行的水平金属导轨，电阻 R3.0 ，置于竖直向下的有界匀强磁场中， OO为磁场边界，磁场磁感应强度 B1.0 T，导轨间距 L1.0 m，质量 m1.0 kg 的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好，导体棒接入电路的电阻为 r1.0 。 t0 时刻，导体棒在水平拉力作用下从 OO左侧某处由静止开始以加速度 a01.0 m/s2做匀加速运动， t02.0 s 时刻棒进入
9、磁场继续运动，导体棒始终与导轨垂直。（1）求 0 t0时间内棒受到拉力的大小 F 及 t0时刻进入磁场时回路的电功率 P0。（2）求导体棒 t0时刻进入磁场瞬间的加速度 a；若此后棒在磁场中以加速度 a 做匀加速运动至 t14 s 时刻，求 t0 t1时间内通过电阻 R 的电荷量 q。（3）在（2）情况下，已知 t0 t1时间内拉力做功 W5.7 J，求此过程中回路中产生的焦耳热 Q。【答案】 （1）1.0 W（2）1.25 C（3）3.2 J（2）回路在 t0时刻产生的感应电流 I 0.5 AER r棒在 t0时刻受到的安培力 F 安 BIL0.5 N根据牛顿第二定律有 F F 安 ma代入
10、数据解得 a0.5 m/s 2t0 t1时间内位移 x v0（ t1 t0） a（ t1 t0） 25 m12流过电阻 R 的电荷量 q I t 1.25 C R r BLxR r（3） t1时刻棒的速度 v v0 a（ t1 t0）5由动能定理有 W W 安 mv2 mv0212 12Q W 安代入数据解得 Q3.2 J。【题 6】水平面（纸面）内间距为 l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l 的金属杆置于导轨上。 t0 时，金属杆在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动。 t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好
11、能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为 。重力加速度大小为 g。求（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；（2）电阻的阻值。【答案】 （1） Blt0 gmF（2）B2l2t0m（2）设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为 I，根据欧姆定律 I ER式中 R 为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为 F 安 BlI 因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得 F mg F 安 0 联立式得 R 。B2l2t0m考法 2 双杆模型1模型分类：“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静” ，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问
12、题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。2分析方法：通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或6者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。3两类双杆模型对比类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法不受外力杆 MN 做变减速运动，杆 PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动将两杆视为整体，不受外力， 最后 a0受到恒力开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动将两杆视为整体，只受外力 F，最后 aF2m【题 7】 （1）如图
13、，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为 B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为 l，两根质量均为 m、电阻均为 R 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在 t0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为 F 的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。（2）如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒 ab和 cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有 竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒 cd 静止，
14、棒 ab 有指向棒 cd 的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。【答案】 （1）见解析（2）见解析感应电流为 I E2R对甲和乙分别由牛顿第二定律得 F F1 ma1， F1 ma2当 v1 v2定值（非零） ，即系统以恒定的加速度运动时 a1 a27解得 a1 a2 F2m可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。（2）导体棒 ab 运动，回路中有感应电流分析两导体棒的受力情况分析导体棒的运动情况即可得出结论。ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。 ab棒受到与运动方向相反的安
15、培力作用做减速运动， cd 棒则在安培力作用下做加速运动，在 ab 棒的速度大于 cd 棒的速度时，回路中总有感应电流， ab 棒继续减速， cd 棒继续加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度 v 水平向右做匀速运动。考法 3 含电容器问题 这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。【题 8】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为 ，间距为 L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为 C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为 m 的
16、金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。【答案】 （1） Q CBLv（2） gt（2）设金属棒的速度大小为 v 时经历的时间为 t，通过金属棒的电流为 i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为 F1 BLi 8设在时间间隔（ t， t t）内流经金属棒的电荷量为 Q，按定义有 i Q 也是平行板电容 Q t器两极板在时间间隔（ t， t t）内增加的电荷量
17、。由式得 Q CBL v 式中， v 为金属棒的速度变化量。按定义有 a v t金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为 F2 F N 三、变化磁场类动力学问题磁场变化类电磁感应问题的解题方法（1）用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，用楞次定律判断方向。（2）用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。（3）分析计算感应电流所受安培力，研究导体受力情况和运动情况。（4）根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。【题 9】电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线 MN 右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，一边长为 L 的正方形单匝金属线框 abcd 放在光滑水平面上，电阻为 R，质
18、量为 m， ab 边在磁场外侧紧靠 MN 虚线边界。 t0 时起磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律是B B0 kt（ k 为大于零的常数） ，空气阻力忽略不计。（1）求 t0 时刻，线框中感应电流的功率 P；（2）若线框 cd 边穿出磁场时速率为 v，求线框穿出磁场过程中，安培力对线框所做的功 W 及通过导9线截面的电荷量 q；（3）若 用相同的金属线绕制相同大小的 n 匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为 M 的负载物，证明：载物线框匝数越多， t0 时线框加速度越大。【答案】 （1） （2） （3）见解析k2L4R B0L2R【解析】 （1） t0 时刻线框中的感应电动势 E0 L2 B t功率 PE02R解得 P 。k2L4R
