1、1第 3 讲 不等式及线性规划配套作业一、选择题1已知 a b0，则下列不等式中恒成立的是( )A.a b B.a b1b 1a 1a 1bC. D. abba b 1a 1 a b2答案 A解析 因为 a b0，所以 ，根据不等式的性质可得 a b ，故 A 正确；对1a 1b 1b 1a于选项 B，取 a1， b ，则 a 1 2， b 2 ，故 a b 不成立，故12 1a 11 1b 12 52 1a 1bB 错误；根据不等式的性质可得 ，故 C 错误；取 a2， b1，可知 D 错误ba b 1a 12如果 ax2 bx c0 的解集为 x|1 x3，那么对于函数 f(x) ax2
2、bx c 应有( )A f(5) f(1) f(2)B f(1) f(5) f(2)C f(1) f(2) f(5)D f(2) f(1) f(5)答案 A解析 由题意知 a0，且 ax2 bx c0 对应的两根分别为 x11 和 x23， f(x) ax2 bx c 图象的对称轴为 x1，所以 f(5) f(1) f(2)3当 x0 时，函数 f(x) 有( )2xx2 1A最小值1 B最大值1C最小值 2 D最大值 2答案 A解 析 x0， f(x) 2xx2 1 2x 1x 1，2 x ( 1x)2 2 x ( 1x)当且仅当 x ，即 x1 时“”成立，故选 A.1x4(2018湖南模
3、拟)若实数 a， b 满足 ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B2 C2 D42 2答案 C2解析 由题设易知 a0， b0， 2 ，即 ab2 ，当且仅当Error!时，ab1a 2b 2ab 2取等号，选 C.5实数 x， y 满足Error!则使得 z2 y3 x 取得最小值的最优解是( )A(1,0) B(0，2) C(0,0) D(2,2)答案 A解析 约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0,0)，(1,0)，(2,2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数 z2 y3 x 中，易得在(1,0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1,0)6(201
4、8兰州诊断)当实数 x， y 满足不等式组Error!时，恒有 ax y2 成立，则实数 a 的取值范围是( )A( ，1 B(0,1C( 1,1 D(1,2)答案 A解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 ax y z，结合图形观察得知，要使当直线 ax y z 经过该平面区域内的点时，相应直线在 y 轴上的截距均不超过 2，此时实数 a 的取值范围是(，1，故选 A.7(2018郑州预测二)设实数 x， y 满足不等式组Error!则 x2 y2的取值范围是( )A1,2 B1,4 C ，2 D2,42答案 B解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到 x
5、2 y2可视为该平面区域内的点( x， y)与原点的距离的平方，结合图形可知， 的最小值等于原点与点x2 y2(0,1)间的距离，即等于 1； 的最大值等于原点与点(0,2)间的距离，即等于 2，因x2 y2此 x2 y2的取值范围是1,4，故选 B.8设 x， y 满足约束条件Error!则 的取值范围是( )x 2y 3x 1A1,5 B2,6 C2, 10 D3,11答案 D解析 根据已知条件作出可行域如图：3化简 1 12 ， 在坐标系中的意义为点( x， y)与x 2y 3x 1 2y 2x 1 y 1x 1 y 1x 1(1，1)所成直线的斜率，取 4x3 y12 与 y 轴交点为
6、 A， y x 与 4x3 y12 交点为B，(1，1)为点 C，易知 A(0,4)， B ，(127， 127) kCA 5，yA yCxA xC 4 10 1kCB 1， kCB， kCAyB yCxB xC127 1127 1 y 1x 1 1,5y 1x 1 12 3,11故选 D.x 2y 3x 1 y 1x 19在 R 上定义运算： ad bc，若 1 任意实数 x 恒成立，则实数|a c b d| |x 1 a 1 a 2 x |a 的最大值为( )A B C. D.12 32 12 32答案 D解析 由定义知， 1 等价于 x2 x( a2 a2)1，|x 1 a 1 a 2
7、x | x2 x1 a2 a 对任意实数 x 恒成立， x2 x1 2 ，(x12) 34 34 a2 a ，解得 a ，34 12 32则实数 a 的最大值为 .故应选 D.3210已知 x， y 满足Error!则 z8 x y的最小值为( )(12)A1 B. C. D.324 116 132答案 D解析 可行域如图中阴影部分所示，而 z8 x y(12)42 3 x y，欲使 z 最小，只需使3 x y 最小即可由图知当 x1， y2 时，3 x y 的值最小，且3125，此时 23 x y最小，最小值为 .故选 D.13211(2018湖南长郡中学模拟)不等式 x22 x 对任意 a
8、， b(0，)恒成ab 16ba立，则实数 x 的取 值范围是( )A(2,0) B(，2)(0，)C(4,2) D(，4)(2，)答案 C解析 因为 2 8，当且仅当 a4 b 时等号成立，由题意知 x22 x8ab 16ba ab16ba恒成立，由此解得4 x2.故选 C.二、填空题12(2018天津河西一模)若关于 x 的不等式 4x2 x1 a0 在1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_答案 (，0解析 4 x2 x1 a0 在1,2上恒 成立，4 x2 x1 a 在1,2上恒成立令 y4 x2 x1 (2 x)222 x11(2 x1) 21.1 x2，22 x4.由二次函数的性
9、质，可知当 2x2，即 x1 时， y 有最小值0， a(，013(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为_答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：5由 z3 x2 y 可得 y x z，画出直线 y x，将其上下移动，结合 的几何意32 12 32 z2义，可知当直线过点 B 时， z 取得最大值，由Error!解得 B(2,0)，此时 zmax3206.14(2018西安二模)已知 a0，实数 x， y 满足约束条件Error!若 z2 x y 的最小值为 1，则 a_.答案 12解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由 a0 可知z2 x y 经过点(1，2 a)时取得最小值，且 zmin22 a1，解得 a .1215已知 x， yR 且满足 x22 xy4 y26，则 z x24 y2的取值范围为_答案 4,12解析 2 xy6( x24 y2)，而 2xy ， 6( x24 y2) ，x2 4y22 x2 4y22 x24 y24(当且仅当 x2 y 时取等号)又( x2 y)262 xy0，即 2xy6， z x24 y262 xy12(当且仅当 x2 y 时取等号)综上可知4 x24 y212.
