1、1第 2讲 椭圆、双曲线、抛物线配套作业一、选择题1(2018太原模拟)若双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程x2a2 y2b2 3为( )A y x B y2 x2C y x D y x12 22答案 A解析 由于双曲线 1 的离心率为 ，故x2a2 y2b2 3e2 1 3， ，故其渐近线方程为 y x，故选 A.c2a2 a2 b2a2 b2a2 ba 2 22若圆锥曲线 C： x2 my21 的离心率为 2，则 m( )A B. C D.33 33 13 13答案 C解析 因为圆锥曲线 C的离心率为 2，故为双曲线，所以 m0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A，
2、B两点，且x24 y2b2|AB|6，这样的直线可以作 2条，则 b的取值范围是( )A(0,2 B(0,2) C(0， D(0， )6 6答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能做一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A、 B两点，| AB|6，且可做两条，则要求0，故 b的取值范围为(0， )，故选 D.2b2a 66已知抛物线 y24 x的焦点为 F，过焦点 F的直线交抛物线于 A， B两点， O为坐标原点，若 AOB的面积为 2 ，则| AB|( )6A24 B8 C12 D16答案 A解析 由题意可知斜率 k存在，设直线斜率为 k，即 y k
3、(x1)与 y24 x联立得，k2x2(2 k24) x k20， x1 x2 ， x1x21.2k2 4k2 O到 AB的距离 d ，|k|1 k2|AB| x1 x2 p ，4k2 4k22 ，612 |k|1 k2 4k2 4k2 k2 ，| AB| 24.故选 A.1545 4157已知双曲线 y21 的右焦点是抛物线 y22 px(p0)的焦点，直线 y kx m与x23抛物线相交于 A， B两个不同的点，点 M(2,2)是 AB的中点，则 AOB(O为坐标原点)的面积是( )A4 B3 C. D23 13 14 3答案 D解析 双曲线右焦点为(2,0)，抛物线焦点为(2,0)， y
4、28 x，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!3得( y1 y2)(y1 y2)8( x1 x2)， 2.y1 y2x1 x2 8y1 y2 84直线 AB斜率为 2，又过点 M(2,2)，直线 AB方程为 y2 x2.将直线 AB方程与 y28 x联立得：x24 x10， x1 x24， x1x21，| AB| k2 1 x1 x2 2 4x1x2 2 .5 16 4 15又 O到 AB的距离 d .25 255 S AOB 2 2 .故选 D.12 15 255 3二、填空题8过抛物线 y x2的焦点 F作一条倾斜角为 30的直线交抛物线于 A， B两点，则14|A
5、B| _.答案 163解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由于抛物线 y x2的焦点坐标为(0,1)，所以直线14AB的方程为 x y ，与抛物线方程联立得 3y210 y30，则 y1 y2 ，所以3 3103|AB| AF| BF| y11 y21 2 .103 1639已 知双曲线 E： 1( a0， b0)若矩形 ABCD的四个顶点在 E上， AB， CDx2a2 y2b2的中点为 E的两个焦点，且 2|AB|3| BC|，则 E的离心率是_答案 2解析 由已知得| AB| CD| ，2b2a|BC| AD| F1F2|2 c.因为 2|AB|3| BC|，所以 6 c
6、，4b2a又 b2 c2 a2，所以 2e23 e20，解得 e2 或 e (舍去)1210已知椭圆 1 上的两点 A， B关于直线 2x2 y30 对称，则弦 AB的中点x216 y24坐标为_4答案 (2，12)解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，弦 AB的中点 M(x0， y0)，由题意得Error!两式相减得 0，因为点 A， B关于直线 2x2 y30 对称，所以2x0 x1 x216 2y0 y1 y24kAB 1，故 0，即 x04 y0.又点 M(x0， y0)在直线 2x2 y30 上，所y1 y2x1 x2 x08 y02以 x02， y0 ，即弦 AB的
7、中点坐标为 .12 (2， 12)三、解答题11(2018南昌模拟)已知圆 M： x2 y2 r2(r0)与直线 l1： x y40 相切，设3点 A为圆上一动点， AB x轴于 B，且动点 N满足 2 ，设动点 N的轨迹为曲线 C.AB NB (1)求曲线 C的方程；(2)直线 l与直线 l1垂直且与曲线 C交于 P， Q两点，求 OPQ面积的最大值解 (1)设 A(x0， y0)， B(x0,0)， N(x， y)，由已知得 r 2，故圆 M： x2 y24.41 3又 (0， y0)， ( x0 x， y)，且 2 ，AB NB AB NB 所以Error! 又 A点在圆上，所以 x24
8、 y24，即动点 N的轨迹方程为 y21.x24(2)设 直线 l的方程为 x y n0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由Error!得 13x283nx4 n240，3且 192 n2413(4 n24)16( n213)0，解得 n21，所以 k0，则 k .34所以直线 l的方程为 3x4 y40.(2)由题可得， P(x1,4)， Q(x2,4)易得直线 y4 与抛物线 C的交点为(4,4)和(4,4)，因为线段 AB位于直线 y4 的下方，所以 ，所以当 t 时， g( t)单调递减，又当0，916) 23916 0， 916)t0 时， g(0)0)，x2m y2m
9、2 e2 1 ， e .c2a2 b2a2 12 22(2)由题意，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y k(x2)1，联立 x22 y2 m(m0)，得(12 k2)x24 k(12 k)x2(2 k1) 2 m0( m0)， x1 x2 4， k1，4k 2k 11 2k2此时，由 0得 m6，则直线 AB的方程为 x y30，则直线 CD的方程为 x y10，则Error! 3y22 y1 m0，y3 y4 ，23故线段 CD的中点 N为 ，(23， 13)由弦长公式可得到|AB| |x1
10、x2| ，1 k2 212 m 63|CD| |y3 y4|1 1 2 |AB|，212m 83若存在圆，则圆心在直线 CD上线段 CD的中点 N到直线 AB的距离 d ，|13 3|2 423|NA|2| NB|2 2 2 ，(423) (|AB|2 ) 6m 49又 2 2 .(|CD|2 ) 14(212m 83 ) 6m 49存在这样的 m6，使得 A， B， C， D在同一个圆上14(2018莱芜模拟)在平面直角坐标系中，圆 O交 x轴于点 F1， F2，交 y轴于点B1， B2.以 B1， B2为顶点， F1， F2分别为左、右焦点的椭圆 E恰好经过点 .(1，22)(1)求椭圆
11、E的标准方程；(2)设经过点(2,0)的直线 l与椭圆 E交于 M， N两点，求 F2MN面积的最大值解 (1)设椭圆 E的标准方程为 1( ab0)，焦距为 2c，则x2a2 y2b2b c， a2 b2 c22 b2，7椭圆 E的标准方程为 1.x22b2 y2b2又椭圆 E过点 ， 1，解得 b21.(1，22) 12b2 12b2椭圆 E的标准方程为 y21.x22(2)由于点(2,0)在椭圆 E外，直线 l的斜率存在设直线 l的 斜率为 k，则直线 l： y k(x2)，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)由Error! 消去 y得，(12 k2)x28 k2x8 k220.
12、由 0得 0 k2 ，从而 x1 x2 ， x1x2 ，12 8k21 2k2 8k2 21 2k2| MN| |x1 x2|2 .1 k2 1 k22 4k2 1 2k2 2点 F2(1,0)到直线 l的距离 d ，3|k|1 k2 F2MN的面积 S |MN|d3 .12 k2 2 4k2 1 2k2 2令 12 k2 t，则 t1,2)， S3 3 t 1 2 tt2 t2 3t 2t23 3 ， 1 3t 2t2 2(1t 34)2 18当 ，即 t 时， S有最大值，1t 34 43(43 1， 2 )Smax ，此时 k .324 66当直线 l的斜率为 时，可使 F2MN的面积 最大，其最大值为 .66 324
