1、9.3 圆的方程,-2-,知识梳理,考点自诊,1.圆的定义及方程,2.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0), (1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆内.,定点,定长,(a,b),r,= ,-3-,知识梳理,考点自诊,1.圆心在过切点且垂直于切线的直线上. 2.圆心在任一弦的垂直平分线上. 3.两圆相切时,切点与两圆心三点共线. 4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(
2、y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPAkPB=-1,由斜率公式代入整理即可),-4-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条. ( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆. ( ),(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2
3、-4F0. ( ),-5-,知识梳理,考点自诊,2.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( ) A.(x-1)2+y2=1 B.x2+(y+1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=1,C,解析:由题得圆心坐标为(0,1),所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C.,3.(2018河南南阳联考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( ) A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5,A,
4、解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1),半径为 ,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2 =5,故选A.,-6-,知识梳理,考点自诊,4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( ) A.(-,-2) B.(-,-1) C.(1,+) D.(2,+),D,解析:曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a2.,5.(2018四川成都三诊,14)在平面直角坐标系中,已知三点O(0,0), A(
5、2,4),B(6,2),则三角形OAB的外接圆方程是 .,x2+y2-6x-2y=0,解析:设三角形OAB的外接球方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由点O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圆上可得,故三角形OAB的外接球方程为x2+y2-6x-2y=0.,-7-,考点1,考点2,考点3,求圆的方程 例1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . (2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为 .,(x-3)2+y2=2,x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0,-8-,
6、考点1,考点2,考点3,解析: (1)方法一 由已知得kAB=0,所以线段AB的中垂线方程为x=3. 过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,-9-,考点1,考点2,考点3,(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0. 设x1,x2是方程的两根, 由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36, 得D2-4F=36, 由解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0. 故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.,-10
7、-,考点1,考点2,考点3,思考求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,-11-,考点1,考点2,考点3,C,x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,(2)方法一 所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
8、设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与y轴相切,半径r=3|a|,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9, 即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,与圆有关的轨迹问题 例2(1)(2018广东广州期末,6)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ的中点M的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 (2
9、)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.则动点M的轨迹C的方程为 .,C,x2+y2=4,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法? 解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把
10、方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为 .,(x-1)2+(y-3)2=2,解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,-20-,考点1,考点2,考点3,与圆有关的最值问题(多考向
11、) 考向1 斜率型最值问题 例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值.,-21-,考点1,考点2,考点3,考向2 截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.,思考如何求解形如ax+by的最值问题?,-22-,考点1,考点2,考点3,考向3 距离型最值问题 例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.,解 如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.,-23-,考点1,考点2,考点3,思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,-24-,考点1,考点2,
12、考点3,考向4 建立目标函数求最值问题 例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 .,x+y-2=0,-25-,考点1,考点2,考点3,思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值? 解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题; 形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; 形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出
13、关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.,-26-,考点1,考点2,考点3,D,0,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上, 直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行, 动点P在直线a上,动点Q在直线b上, 所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上, 设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,求半
14、径常有以下方法: (1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径; (2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.,1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式. 2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质. 3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.,-31-,易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,-32-,-33-,反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致忘记除去两个特殊点. 2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.,
