1、9.6 双曲线,-2-,知识梳理,考点自诊,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0. (1)当 时,点P的轨迹是双曲线; (2)当 时,点P的轨迹是两条射线; (3)当 时,点P不存在.,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,-3-,知识梳理,考点自诊,-4-,知识梳理,考点自诊,3.双曲线的性质,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0,
2、-a),(0,a),-5-,知识梳理,考点自诊,a2+b2,2a,2b,-6-,知识梳理,考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,-8-,知识梳理,考点自诊,-9-,知识梳理,考点自诊,2.若双曲线E: 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3,B,解析:根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=23=6,所以|PF2|-3|=6,所以|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去),故选B.,-10-,知识梳理,考点自诊,D,-11-,知识梳理,考点自诊,-12-,考点1,考点2,考点3,双曲线的定义,考点4,-13-
3、,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由题可得,|PF1|-|PF2|=2a=6,|F1F2|=10. 因为|PF1|PF2|=32, 所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|=100=|F1F2|2, 所以PF1PF2,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,思考如何灵活运用双曲线的定义或者解焦点三角形? 解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的
4、联系.,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018安徽合肥冲刺,15)如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上任一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是 万元.,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,双曲线的标准方程 例2(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相
5、外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .,D,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为 (x-1).,考
6、点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,双曲线的几何性质(多考向) 考向1 求双曲线的渐近线方程,A,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 求双曲线的离心率,D,2,+),思考求双曲线的离心率有几种方法?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,
7、考点4,考向3 由离心率或渐近线求双曲线方程,B,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求双曲线方程的一般思路是怎样的? 解题心得1.求出a,c,代入公式 ; 2.只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式),即可得e(e的取值范围). 3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用解三角形或不等式等知识解决问题.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,D,-31-,考点1,考
8、点2,考点3,考点4,C,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,双曲线与圆的综合问题,C,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:线段PF1的垂直平分线恰好过点F2, |PF2|=|F1F2|=2c. 直线PF1与以a为半径的圆O相切于点A, |OA|=a. 设PF1的中点为M, 由中位线定理可得|MF2|=2a,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何解答双曲线与圆的综合问题? 解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件、如垂直关系、线段或角的
9、等量关系等.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,E为PF的中点.令右焦点为F,则O为FF的中点, 则PF=2OE=a. E为切点,OEPF,PFPF. PF-PF=2a, PF=PF+2a=3a. 在RtPFF中,PF2+PF2=FF2, 即9a2+a2=4c2=4(a2+b2),-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负. 2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+).,4.若利用弦长公式计算,在设直
10、线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.,-41-,求圆锥曲线的离心率 圆锥曲线的离心率是高考中常考的问题,通常有两类:一是求离心率的值;二是求离心率的取值范围.由于它涉及圆锥曲线较多的基本量,以及方程与曲线问题、方程组与不等式的求解问题,因此解题过程比较复杂,通过本专题让学生领悟其解题方法.,-42-,典例1(2015全国,理11)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为(
11、 ),答案:D 解析:,-43-,答案:A,-44-,答案:A 解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0, 分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.,-45-,答案:A,-46-,答案:A 解析:设|F1F2|=2c,设AB与x轴相交于M点,-47-,-48-,-49-,-50-,反思提升离心率是圆锥曲线的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式 求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而得出离心率.求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点.,
