1、1课时规范练 22 解三角形基础巩固组1.(2018 山西吕梁一模,4)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= ,c=3,cos A=,则6b= ( )A.3 B.1C.1 或 3 D.无解2.在 ABC 中,已知 acos A=bcos B,则 ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.(2018 湖南长郡中学四模,11)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则角 C=( )2A. B.56 6C. D
2、.4 34.在 ABC 中, B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A= ( )4A. B.31010 1010C.- D.-1010 310105.(2018 湖南长郡中学五模,11)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =- ,则角 3A 的最大值为( )A. B.6 4C. D.3 26.(2018 河北衡水中学三模,14)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B=bcos A,则 sin B-cos C 的最大值是 . 27.(2018 北京,文 14)若 ABC 的面积为 (a2+c2-b2),且 C 为钝角,则
3、 B= ;的取值范围34是 . 8.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = .9.(2018 河北唐山一模,16)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 S ABC= ,则 的最大24 +值是 . 10.在 ABC 中, A=60,c=a.(1)求 sin C 的值;(2)若 a=7,求 ABC 的面积 .2综合提升组11.(2018 河北衡水中学考前仿真,11)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为
4、 a,b,c,已知 a=5,ABC 的面积 S ABC= ,且 b2+c2-a2=accos C+c2cos A,则 sin B+sin C=( )2534A.3 B. C. D.3932 3 312.(2018 河北衡水中学月考,12)已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且( a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若 a+b=2,则 c 的取值范围为( )A.(0,2) B.1,2)C. D.(1,212,213.(2018 河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸 A、 B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从点 C 可以观察到点 A、
5、B;找到一个点 D,从点 D 可以观察到点 A、 C;找到一个点 E,从点 E 可以观察到点 B、 C;并测量得到一些数据: CD=2,CE=2 , D=45, ACD=105, ACB=48.19, BCE=75,3 E=60,则 A、 B 两点之间的距离为 . 其中 cos 48.19取近似值 14.(2018 湖南长郡中学三模,17)在 ABC 中, B= ,BC=2,3(1)若 AC=3,求 AB 的长;(2)若点 D 在边 AB 上, AD=DC,DE AC,E 为垂足, ED= ,求角 A 的值 .62创新应用组315.(2018 江苏,13)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的
6、边分别为 a,b,c, ABC=120, ABC 的平分线交 AC于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 . 16.已知岛 A 南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉私艇 .岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h 能截住该走私船?(参考数据: 38=5314,22=3314)4课时规范练 22 解三角形1.C 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 b2-4b+3=0,解得 b=1 或 b=3.故选 C.2.D a cos A=bcos B, si
7、n Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,A=B ,或 2A+2B=180,即 A+B=90, ABC 为等腰三角形或直角三角形 .故选 D.3.B sin B+sin A(sin C-cos C)=0, sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0cos Asin C+sin Asin C=0cos A+sin A=0A= ,34由正弦定理得 sin C= ,C C= ,选 B.2= 234 12 (0,2) 64.C (方法一)设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC= AD,AB= AD
8、.由余弦定理,得 cos BAC=2+2=5 22+2-22= =- .22+52-92225 1010故选 C.(方法二)如图,在 ABC 中, AD 为 BC 边上的高,由题意知 BAD= .4设 DAC= ,则 BAC=+ .4BC= 3AD,BD=AD.DC= 2AD,AC= AD.5 sin = ,cos = . cos BAC=cos =cos cos -sin 25=255 15=55 (+4) 4 sin (cos - sin )= =- ,故选 C.4=22 22(55-255) 10105.A 由题意结合正弦定理得 =- , 3所以 tan C=-3tan B,因此 B,C
9、 中有一钝角,角 A 必为锐角, tan A=-tan(B+C)=- 0,+1-= 21+32 tan B0,tan A 0, 0 3233+12 8. 在 ABC 中, AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且 + ACB= .2315由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos( - ),解得 cos = ,则 sin = ,516 23116所以 tan = .=23159.2 S ABC= (a2+b2-2abcos C)= absin C,224=14a 2+b2=2ab(sin C+cos
10、 C).=2(sin C+cos C)=2 sin 2 ,当且仅当 C= 时取等号 .+=2+2 2 (+4) 2 410.解 (1)在 ABC 中,因为 A=60,c=a,所以由正弦定理得 sin C= . =3732=3314(2)因为 a=7,所以 c= 7=3.37由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b3 ,解得 b=8 或 b=-5(舍) .12所以 ABC 的面积 S= bcsin A= 83 =6 .12 12 32 311.C (方法一) b 2+c2-a2=accos C+c2cos A, cos A= ,+22 =+2 cos A= ,A
11、= .S ABC= bcsin A= ,bc=25.+2 =(+)2 =12 3 12 2534a 2=b2+c2-2bccos A,b 2+c2=a2+bc=50,则( b+c)2=100,b+c=10,b=c= 5, ABC 为等边三角形, sin B+sin C= .3(方法二) b 2+c2-a2=accos C+c2cos A,6b 2+c2-a2=ac +c22+2-22 2+2-22= =bc,(2+2-2+2+2-2)2 =222 cos A= ,A= .2+2-22 =12 3S ABC= bcsin A= ,bc=25.12 2534a 2=b2+c2-2bccos A,b
12、 2+c2=a2+bc=50,则( b+c)2=100,b+c=10,b=c= 5, ABC 为等边三角形, sin B+sin C= .312.B 由题意可得: ,2+2-22 + =12且 cos C= =1,2+2-22 ,+ =+ =据此可得:cos C= ,12即 ,a2+b2-c2=ab,2+2-22 =12据此有: c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4 -3 =1,(+2 )2当且仅当 a=b=1 时等号成立;三角形满足两边之和大于第三边,则 ca+b=2,综上可得: c 的取值范围为1,2) .13. 依题意知,在 ACD 中, A=30,由正弦定理得 A
13、C= =2 .104530 2在 BCE 中, CBE=45,由正弦定理得 BC= =3 .6045 2在 ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=10,AB= .1014.解 (1)设 AB=x,则由余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 32=x2+22-2x2cos ,3解得 x= +1,所以 AB= +1.6 6(2)因为 ED= ,62所以 AD=DC= .= 62在 BCD 中,由正弦定理可得: ,=因为 BDC=2 A,所以 .22= 623所以 cos A= ,所以 A= .22 4715.9 由题意可知, S ABC=S
14、 ABD+S BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得 acsin 120=a1sin 60+c1sin 60,化简得 ac=a+c, =1.因此 4a+c=(4a+c)1+1=5+ 5 +2 =9,(1+1) +4 4当且仅当 c=2a=3 时取等号,故 4a+c 的最小值为 9.16. 解 设缉私艇在 C 处截住走私船, D 为岛 A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为 x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意, BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14.又由正弦定理得 sin ABC= , =5327 =5314所以 ABC=38.又 BAD=38,所以 BC AD.故缉私艇以 14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 h 截住该走私船 .
