1、1育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（普理）时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列选项中，说法正确的是( )A 命题“若 am2 bm2，则 a b”的逆命题是真命题B 设 a， b 是向量，命题“若 a b，则| a| b|”的否命题是真命题C 命题“ p q”为真命题，则命题 p 和 q 均为真命题D 命题“ x R， x2 x0”的否定是“ xR， x2 x0”2.“对 xR，关于 x 的不等式 f(x)0 有解”等价于( )A x0R，使得 f(x0)0 成立 B x0R，使得 f(x0)0 成
2、立C xR， f(x)0 成立 D xR， f(x)0 成立3.若双曲线 C 以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则 C 的方程是( ) A y21 B y21 C 1 D 14.已知方程 mx2 my2 n，若 mnb0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心率为( )A B C D7.已知命题 p： x ，cos 2xcos x m0 的否定为假命题，则实数 m 的取值范围是( )2A B C 1,2 D8.已知命题 p： xR， x212 x；命题 q：若 mx2 mx10 恒成立，则4 m0，那么( )A “ p”是假命题 B “ q”是真命题 C “ p q”为真命题 D
3、“ p q”为真命题9.设 F 为抛物线 C： y23 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为( )A B C D10.已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则 的最小值为( ) A 1 B 0 C 2 D 11.椭圆 1 的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y轴上，那么| PF1|是| PF2|的( ) A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍12.已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交于 A， B
4、两点，连接 AF， BF.若| AB|10，| BF|8，cos ABF ，则 C 的离心率为( )A B C D二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 p： x2 或 x ； q： x2 或 x1，则 p 是 q 的_条件14.已知椭圆 C： y21 的弦 AB 过点(1,0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是_15.已知命题：“ x1,2，使 x22 x a0”为真命题，则 a 的取值范围是_16.过抛物线 x22 py(p0)的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A， B 两点， A， B 在3x 轴上的正射影分别为 D， C.若梯形 ABCD 的面积为 12
5、 ，则 p_.三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.已知命题 p：函数 f(x) x22 mx4 在2，)上单调递增，命题 q：关于 x 的不等式 mx24( m2) x40 的解集为 R.若 p q 为真命题， p q 为假命题，求 m 的取值范围18.求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)已知焦点 F1(0，6)， F2(0,6)，双曲线上的一点 P 到 F1， F2的距离的差的绝对值等于8； (2)与椭圆 1 共焦点且过点(3 ， )19.如图，直线 l： y x b 与抛物线 C： x24 y 相切于点 A.(1)求实数 b 的值；(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的
6、准线相切的方程420.设 F1， F2分别为椭圆 C： 1( ab0)的左，右焦点，过 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60， F1到直线 l 的距离为 2 .(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 2 ，求椭圆 C 的方程21.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)( O 为原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l1： y kx 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2，求 k 的取值范围22.已知椭圆 E： 1( ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 l： y x3 与椭圆
7、E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、 B，且与直线 l 交5于点 P.证明：存在常数 ，使得 PT 2 PA PB，并求 的值6答案解析1.D【解析】 xR ， x2 x0 的否定是 xR， x2 x0.2.A【解析】由命题的转化关系易知 A 正确3.B【解析】 F(0，1)，长轴端点(0，2)，双曲线中 a1， c2， b23，又焦点在 y 轴上，故选 B.4.C【解析】方程 mx2 my2 n 可化为 1.当 mn0， b0)2 a8,2 c12， a4， c6， b26 24
8、 220.所求双曲线的标准方程为 1.(2)椭圆 1 的焦点为(2 ，0)，(2 ，0)依题意，所求双曲线的焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为 1，则a2 b220.又双曲线过点(3 ， )， 1. a2202 ， b22 .所求双曲线的标准方程为 1.19.解 (1)由 得 x24 x4 b0.(*)直线 l 与抛物线 C 相切， (4) 24(4 b)0，解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*)即为 x24 x40.解得 x2，将其代入 x24 y，得 y1.故点 A(2,1)圆 A 与抛物线 C 的准线相切，圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y1 的距离
9、，即 r|1(1)|2.圆 A 的方程为( x2) 2( y1) 24.20.(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1到直线 l 的距离 c2 ，故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.11(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知 y10，直线 l 的方程为 y (x2)联立 得(3 a2 b2)y24 b2y3 b40，解得 y1 ， y2 .因为 2 ，所以 y12 y2.即 2 ，得 a3.而 a2 b24，所以 b .故椭圆 C 的方程为 1.21.(1)设双曲线方程为 1( a0， b0)由已知得 a ， c2，再由 a2 b22 2，得 b21.所以双曲线 C 的方程为 y21.(2)将 y kx 代入 y21，得(13 k2)x26 kx90.由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得即 k2 且 k22，得 xAxB yAyB2，而xAxB yAyB xAxB( kxA )(kxB )( k21) xAxB k(xA xB)2( k21) k 2 .12于是 2，即 0.解此不等式，得 0，解得 m .由得 x1 x2 ， x1x2 .所以| PA| ，同理，| PB| ，所以| PA|PB| m2.故存在常数 ，使得| PT|2 |PA|PB|.
