1、第三章 函数,第11讲 反比例函数,知识梳理,1. 反比例函数的有关概念：形如y= (k是常数，k0)的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数.,(1)反比例函数有三种表达式：y= ;y=kx-1;xy= k(其中k0). (2)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即图象的两个分支无限接近坐标轴，所以x0,y0.,2. 反比例函数的图象和性质：,反比例 函数,y= (k0),k的符号,k0 k0,图象,性质,当k0时，函数的图象 分布在第_象限， 在每个象限内，曲线从 左往右下降，也就是在 每个象限内，y随x的增 大而_.,一、三,减小,当k0时，函数的图 象分布在第_ 象限，在每个象限
2、内，曲线从左往右 上升，也就是在每 个象限内，y随x的 增大而_.,二、四,增大,3. 反比例函数y= (k0)中比例系数k的几何意义：,如图1-11-1，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PN，PM,所得矩形PMON的面积S=PMPN=|x|y|=|xy|=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为|k|. 同时，PON, POM的面积均为 |k|.,图1-11-1,易错题汇总,1. 当x0时，函数y=- 的图象在( ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限,C,2. 如图1-11-2，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 的图象过点
3、A，则k的值是_.,-4,图1-11-2,3. 已知反比例函数y= 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是_. 当x0时，y随x的增大而_;当x0时，y随x的增大而_.,m-2,增大,增大,4. 在函数y= (k0)的图象上有三个点(-2，y1)，(-1，y2)，( ，y3)，函数值y1，y2，y3的大小比较为_.,y3y1y2,考点一:反比例函数的图象和性质,（2018广东）如图1-11-3，已知等边 三角形OA1B1，顶点A1在双曲线y= （x0）上，点B1的坐标为（2，0） 过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2，过A2作 A2B2A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边B1A2B2；过B
4、2作 B2A3B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3， 得到第三个等边B2A3B3；以此类推，则点B6的坐标 为 ,（26，0）,图1-11-3,考点突破,考点二:反比例函数的综合应用,2. （2017深圳）如图1-11-4，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D （1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y= （x0）的表达式； （2）求证：AD=BC,图1-11-4,解：（1）将点A（2，4）代入y= ，得m=24=8， 反比例函数的解析式为y= . 将点B（a，1）代入y= ，得a=
5、8.B（8，1）. 将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得 解得 一次函数解析式为y=-12x+5. （2）直线AB的解析式为y=-12x+5， C（10，0），D（0，5）.如答图1-11-1, 过点A作AEy轴于点E， 过点B作BFx轴于点F. 点A（2，4），B（8，1）, E（0，4），F（8，0）.AE=2，DE=1，BF=1，CF=2. 在RtADE与RtCBF中,AE=CF,AED=CFB=90,DE=BF, RtADERtCBF(SAS).AD=BC,2k+b=4, 8k+b=1.,k=-12, b=5.,答图1-11-1,3. （2018广州）一次函数y=ax+
6、b和反比例函数y= 在同一直角坐标系中的大致图象是( ),A,A B C D,4. 如图1-11-5，P1是反比例函数y= （k0）在第一象限图象上的一点， 点A1的坐标为（2，0） （1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时， P1OA1的面积将减小（填“增大”“减小” 或“不变”）； （2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形， 求此反比例函数的解析式及点A2的坐标,图1-11-5,解：（2）如答图1-11-2,过点P1作P1COA1，垂足为点C. P1OA1是边长为2的等边三角形， OC=1，P1C=2 = .P1（1， ） 代入y= ，得k= . 反比例函数的解析式为y= 如答图1-1
7、1-2,作P2D A1A2，垂足为点D 设A1D=a，则OD=2+a，P2D=3a. P2（2+a，3a） P2（2+a，3a）在反比例函数的图象上， 代入y= ，得（2+a）3a=3. 化简,得a2+2a-1=0.解得a=-12 a0，a=-1+2A1A2=-2+22. OA2=OA1+A1A2=22，所以点A2的坐标为（22，0）,答图1-11-2,5. (2017广东)如图1-11-6，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x(k10)与双曲线y= (k20)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 ( ),A,A.(-1，-2) B.(-2，-1) C.(-1，-1)
8、 D.(-2，-2),图1-11-6,6. (2015广东)如图1-11-7，反比例函数y= (k0，x0)的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作ABx轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. (1)求k的值； (2)求点C的坐标； (3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点的距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.,图1-11-7,解：(1)A(1，3)，AB=3，OB=1. AB=3BD，BD=1. D(1，1). 将点D坐标代入反比例函数解析式，得k=1. (2) 由 (1) 知k=1，反比例函数的解析式为y=1x. 联立 解得 ，或 (3)如答图1-11
9、-3，作点C关于y轴的对称点C，连接CD交y轴于点M，则d=MC+MD最小. C . 设直线CD的解析式为y=k1x+b， 解得 y=(3-2 )x+2 -2. 当x=0时，y=2 -2， M(0，2 -2),y=3x， y= ，,x0，C,答图1-11-3,图1-11-8,7. （2018临沂）如图1-11-8，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2= 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1当y1y2时，x的取值范围是( ) A.x-1或x1 B-1x0或x1 C-1x0或0x1 Dx-1或0x1,D,8. （2018泰安）如图1-11-9，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8
10、，E是DC的中点，反比例函数y= 的图象经过点E，与AB交于点F （1）若点B的坐标为（-6，0），求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的表达式； （2）若AF-AE=2，求反比例函数的表达式,图1-11-9,解得,k=- , b=0.,解：（1）点B坐标为（-6，0），AD=3，AB= 8，E为CD的中点， 点A（-6，8），E（-3，4）. 反比例函数图象经过E点， m=-34=-12. 设AE的解析式为y=kx+b，将点A,E的坐标代入,得-6k+b=8,-3k+b=4. 一次函数的表达式为y=- x. （2）AD=3，DE=4，AE= =5. AF-AE=2，AF=7，BF=1. 设
11、点E坐标为（a，4），则点F坐标为（a-3，1）. E，F两点在函数y= 图象上， 4a=a-3.解得a=-1.E（-1，4）.m=-14=-4. 反比例函数的表达式为y=- ,9. （2018衡阳）对于反比例函数y=- ，下列说法不正确的是( ) A.图象分布在第二、四象限 B当x0时，y随x的增大而增大 C图象经过点（1，-2） D若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1x2，则y1y2,D,10. （2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y= 的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是( ) A.m+n0 Bm+n0 Cmn Dmn,C,基础训练,1
12、1. (2017哈尔滨)已知反比例函数y= 的图象经过点(1，2)，则k的值为_.,1,12.（2018葫芦岛）如图1-11-10，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y= （a0）的图象在第二象限交于点A（m，2），与x轴交于点C（-1，0）过点A作ABx轴于点B，ABC的面积是3 （1）求一次函数和反比例函数 的解析式； （2）若直线AC与y轴交于点D， 求BCD的面积,图1-11-11,解：（1）ABx轴于点B，点A（m，2）， 点B（m，0），AB=2 点C（-1，0）， BC=-1-m. SABC= ABBC=-1-m=3. m=-4. 点A（-4，2） 点A在反比例函数y
13、= （a0）的图象上， a=-42=-8. 反比例函数的解析式为y=- 将A（-4，2），C（-1，0）代入y=kx+b，得 解得 一次函数的解析式为y= （2）当x=0时，y= ， 点 .OD= .SBCD= BCOD=1,图1-11-10,-4k+b=2, -k+b=0.,13. (2017枣庄)如图1-11-11，反比例函数y=2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为_.,4,14. （2018宜宾）如图1-11-12，已知反比例函数= （m0）的图象经过点（1，4），一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（-4，n） （1）求反比例函数与一次函数
14、的表达式； （2）一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为点P，连接OP，OQ，求OPQ的面积,解：（1）反比例函数y= （m0）的图象经过点Q（1，4）， 4= ，解得m=4.故反比例函数的表达式为y= . 一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（-4，n）， 一次函数的表达式为y=-x-5. （2）由 解得 或 点P（-1，-4）. 在一次函数y=-x-5中，令y=0，得-x-5=0，解得x=-5，故点A（-5，0）. SOPQ=SOPA-SOAQ= 54- 51=7.5,解得,n=-1, b=-5,x=-4, y=-1,x=-1, y=-4.,
