1、第五章 特殊四边形,第21讲 平行四边形,知识梳理,1.平行四边形的概念：两组对边分别_的四边形叫 做平行四边形, 平行四边形用符号“ ”表示，如平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.,2.平行四边形的性质：,(1)平行四边形的邻角_，对角_.,(2)平行四边形的对边_；推论：夹 两条平行线间的平行线段相等.,(3)平行四边形的对角线_.,平行,互补,相等,平行且相等,互相平分,（4）平行四边形是 对称图形,不是 对称图形.,3. 平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.,(3)两组对边分别_的四边形
2、是平行四边形.(4)对角线互相_的四边形是平行四边形.,(5)一组对边_的四边形是平行四边形.,中心,轴,相等,平分,平行且相等,4. 两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离. 平行线间的距离处处_. 5. 平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高.,易错题汇总,1. 下列性质中，平行四边形具有而一般四边形不具有的是( ) A. 不稳定性 B. 对角线互相平分 C. 外角和等于360 D. 内角和等于360,相等,B,2. 如图1-21-1，在ABCD中，D=100，DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE. 若AE=AB，则EBC的度数
3、为_.,3. 如图1-21-2，在ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_.,30,2,4. 如图1-21-3，在RtABC中，B=90，AB=4，BCAB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是_.,5. 如图1-21-4，点E，F分别放在ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添加一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是 .,4,AF=CE(答案不唯
4、一),考点突破,考点一:平行四边形的性质,1.（2018广东）下列所述图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.圆 B菱形 C.平行四边形 D等腰三角形,考点二:平行四边形的判定,2.（2018孝感）如图1-21-5，B，E，C，F在一条直线上，已知ABDE，ACDF，BE=CF，连接AD求证：四边形ABED是平行四边形,D,证明：ABDE，ACDF， B=DEF，ACB=F BE=CF， BE+CE=CF+CE， BC=EF 在ABC和DEF中， B=DEF,BC=EF, ACB=F, ABCDEF（ASA）. AB=DE 又ABDE， 四边形ABED是平行四边形,3. 如图1-21
5、-6，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE. 已知BAC=30，EFAB，垂足为点F，连接DF. 求证: (1)试证明AC=EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形.,证明：(1)RtABC,BAC=30，AB=2BC. 又ABE是等边三角形,EFAB，AB=2AF. AF=BC. 在RtBCA和RtAFE中，BC=AF,BA=AE,RtBCARtAFE(HL). AC=EF.,(2)ACD是等边三角形， DAC=60，AC=AD. DAB=DAC+BAC=90. 又EFAB，EFAD. AC=EF，AC=AD，EF=AD. 四边形ADFE是平行
6、四边形,4.（2018宁波）如图1-21-7，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE若ABC=60，BAC=80，则1的度数为( ),A.50 B40 C.30 D20,B,变式诊断,5.（2017西宁）如图1-21-8，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，ADBC，AC=8，BD=6 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若ACBD，求四边形ABCD的面积,（1）证明:O是AC的中点，OA=OC. ADBC，ADO=CBO. 在AOD和COB中， ADO=CBO, AOD=COB, OA=OC, AODCOB.OD=OB. 四边形A
7、BCD是平行四边形. （2）解:四边形ABCD是平行四边形，ACBD， 四边形ABCD是菱形. ABCD的面积= ACBD=24,6.（2018永州）如图1-21-9，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积,（1）证明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等边ABD中，BAD=60，,BAD=ABC=60 E为AB的中点，AE=BE 又AEF=BEC，AEFBEC 在ABC中，ACB=90，E为AB
8、的中点， CE= AB，AE= ABCE=AE. EAC=ECA=30.BCE=EBC=60 又AEFBEC，AFE=BCE=60 又D=60，AFE=D=60FCBD BAD=ABC=60， ADBC，即FDBC 四边形BCFD是平行四边形 (2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6， BC= AB=3，AC= BC=3 . S平行四边形BCFD=BCAC=33 =9 ,基础训练,7.（2018东营）如图1-21-10，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )A.
9、AD=BC B.CD=BF C.A=C D.F=CDF,D,8. (2017乌鲁木齐) 如图1-21-11，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AECF.,证明：连接AC，交BD于点O，如答图1-21-1. 四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，OB=OD. BF=ED，BE=DF. OE=OF. 又OA=OC， 四边形AECF是平行四边形. AECF,9.（2018大庆）如图1-21-12，在RtABC中，ACB=90，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EFDC交BC的延长线于点F （1）证明：四边形CDEF是平行四边形； （2）若四边
10、形CDEF的周长是25 cm，AC的长 为5 cm，求线段AB的长度,（1）证明：D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点， ED是RtABC的中位线. EDFC,BC=2DE. 又 EFDC， 四边形CDEF是平行四边形.,（2）解：四边形CDEF是平行四边形. DC=EF. DC是RtABC斜边AB上的中线， AB=2DC. 四边形CDEF的周长=AB+BC. 四边形CDEF的周长为25 cm，AC的长为5 cm， BC=25-AB. 在RtABC中，ACB=90，解得AB=13(cm).,10. (2017泰安) 如图1-21-13，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上
11、一点，且BC=EC，CFBE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论： BE平分CBF； CF平分DCB； BC=FB； PF=PC. 其中正确结论有( ) 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,D,综合提升,11. (2017大庆)如图1-21-14，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EGBC，DEAC，延长GE至点F，使得BE=BF. (1)求证：四边形BDEF为平行四边形； (2)当C=45，BD=2时，求D，F两点间的距离.,(1)证明：ABC是等腰三角形， ABC=C. EGBC，DEAC，AEG=ABC=C，四边形CDEG是平行四边形. DEG=C. BE=BFBEF=BFE=AEG=ABC. BFE=DEG. BFDE. 又FGBC, 四边形BDEF为平行四边形.,(2)解：C=45， ABC=BFE=BEF=45. BDE，BEF均是等腰直角三角形. BF=BE= BD= . 作FMBD于点M，连接DF，如答图1-21-2， 则BFM是等腰直角三角形. FM=BM= BF=1. DM=2+1=3. 在RtDFM中， DF= = ， 即D，F两点间的距离为 ,
