1、1静宁一中 2018-2019 学年度高二第一学期中期考试题（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某校高中生共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采用分层抽样抽取一个容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ）A. 15,5,2 B. 15,15,15 C. 10,5,30 D. 15，10，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数【
2、详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ，则在高一年级抽取的人数是 300 =15 人，高二年级抽取的人数是 200 =10 人，高三年级抽取的人数是 400 =20 人，故答案为：D【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目2.已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品,现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为( )A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1【答案】B【解析】件产品中有 件次品，记为， ，有 件合格品，记为， ， ，从这 件产品中任取 件，有5 2 b 3 d 5 2种，分别
3、是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，恰有一件次10 (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (b,c) (b,d) (b,e) (c,d) (c,e) (d,e)品，有 种，分别是 ， ， ， ， ， ，设事件 “恰有一件次品” ，6 (a,c) (a,d) (a,e) (b,c) (b,d) (b,e) =2则 ，故选 B()=610=0.6考点：古典概型视频3.已知命题 ： ，则p xR,sinx1A. B. p:xR,sinx1 p:xR,sinx1C. D. p:xR,sinx1 p:xR,sinx1【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“ ”的否定
4、为特称命题“xR,sinx1”，故选 C.xR,sinx14.“ ”是“方程 表示双曲线”的( )k0 p:x0R,x20+x0+103B. “ ”是“ ”的充分不必要条件x=1 x23x+2=0C. 若命题 为假命题，则 都是假命题pq p,qD. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”x23x+2=0 x=1 x1 x23x+20【答案】C【解析】试题分析：对于 A,全称命题的“非”是存在性命题，且否定结论，即 A 正确；对于 B， 时， 成立，但反之， 时， ，所以“x=1“ “x23x+2=0“ “x23x+2=0“ “x=1或 x=2“B 正确；对于 C,，命题 为假命题，说
5、明 至少有一为假命题，所以 C 错；pq p，q对于 D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D 正确，故选 C考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题解题时一定要注意 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件，否则很容易出pq p q q p现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化6.已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）y24x29=1A. 虚轴长为 4 B. 焦距为 25C. 离心率为 D. 渐近线方程为233 2x3y=
6、0【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A，双曲线的方程为 ，其中 b=3，虚轴长为 6，则 A 错误；y24-x29=1对于 B，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则 ，则焦距为 ，则y24-x29=1 c= 4+9= 13 213B 错误；对于 C，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则 ，则离心率为y24-x29=1 c= 4+9= 134，则 C 错误；e=ca=132对于 D，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则渐近线方程为 ，则 D 正确.y24-x29=1 2x3y=0故选：D.【
7、点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. B. C. D. 14 4 13 3【答案】B【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为 2a,则圆的半径为 a,由几何概型的概率公式得 ,故答案为：BP=a22a2a=4【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8.当 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）n=4 S5A. B. C. D. 06 8 14 3
8、【答案】D【解析】第一次循环， ，第二次循环， ，第三次循环， ，第四次循环，s=2,k=2 s=6,k=3 s=14,k=4， 结束循环，输出 ，故选 Ds=30,k=5 54 s=309.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A. 91.5 和 91.5 B. 91.5 和 92 C. 91 和 91.5 D. 92 和 92【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果【详解】由茎叶图可知：这组数据为 87，89，90，91
9、，92，93，94，96，所以其中位数为 =91.5，91+922平均数为 （87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，18故答案为：A【点睛】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的6求法在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求10.抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值为 1，则 （ ）y2=2px(p0) Q p=A. B. 112C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.【详解】抛物线 上的动点 到其焦点的距离的
10、最小值即到准线的最小值，y2=2px(p0) Q很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： .p2=1,p=2本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 （ ）y=12x2 y2m+x22=1 m=A. B. C. D. 74 12764 94 12964【答案】C【解析】 抛物线 的焦点为y=12x2 (0，12) m2=(12)2=14 m=94故选 C12.已知点 在双曲线 ： 上， 的焦距为 6，则它的离心率为（ M(3,8) Cx2a2-y2b2=1(a0,b0) C）A.
11、 2 B. 3 C. 4 D. 57【答案】B【解析】【分析】由题得 c=3,再求出 a 的值得解.【详解】由题得 c=3,所以左右焦点为（-3,0） ， （3,0） ，所以 ，(3+3)2+82(33)2+82=108=2=2a,a=1所以离心率为 e=31=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.静宁一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ ”是假命题，求 的范围。王小二略加思索，反手给了王小xR,x2+2x+
12、m0 m一一道题：若命题“ ”是真命题，求 的范围。你认为，两位同学题xR,x2+2x+m0 m中 的范围是否一致？_ （ 填“是”或“否” ）m【答案】是【解析】【分析】利用特称命题和全称命题的否定进行判断得解.【详解】若命题“ ”是假命题，所以该命题的否定是真命题，即命题xR,x2+2x+m0“ ”是真命题，所以两位同学题中 的范围是一致的.xR,x2+2x+m0 m故答案为：是【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.椭圆 上一点 到左焦点 的距离为 2， 是 的中点，则 等于_x225+y29=1 M F1 N MF1 |ON|
13、【答案】 4【解析】8试题分析：根据椭圆的定义： ,所以 , 是 中点， 是MF1的中点，所以 考点：1椭圆的定义；2椭圆的几何意义15.已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 两点，若F1、F2 F1 A、B是正三角形，则这个椭圆的离心率是_.ABF2【答案】 21【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为 ， ，焦点 ，如图：x2a2+y2b2=1 (ab0) F1(c，0)，F2(c，0)将 带入椭圆方程得 ；解得 ； ； ；x=cc2a2+y2b2=1 y=b2a |F1F2|=|AF1| 2c=b2a，b2=a2c2 ，整理得： ；即 解得 （负值舍去） ；故答2ac=
14、a2c2 (ca)2+2ca1=0 e2+2e1=0 e=21案为： 21考点：1直线与椭圆的位置关系；2椭圆的离心率16.若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，则 的最小值为A(3,2) F y2=2x P |PF|+|PA|_.【答案】72【解析】【分析】设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得9【详解】设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得
15、最小当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，为 3+ =1272故答案为：72【点睛】本题主要考查了抛物线的应用考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题 关于 的方程 有实数根，命题 方程 表示双p: x x22(m1)x+m2=0 q:x2m1+ y2m+2=1曲线.（1）若 是真命题，求 的取值范围 ;q m（2）若命题 是真命题，求 的取值范围.(p)q m【答案】 （1） ；（2） .212因为命题 是真命题，所以 且 ，(p)q -212所以 m 的取值范围为 .12b0)
16、 F1(c,0) F2(c,0) x=c于 ， 两点， 的周长为 16， 的周长为 12.E A B ABF1 AF1F210（1）求椭圆 的标准方程与离心率；E（2）若直线与椭圆 交于 两点，且 是线段 的中点，求直线的一般方程.E C,D P(2,2) CD【答案】 （1） （2） x216+y212=1,e=12 3x+4y14=0【解析】试题分析：(1)由题意可得关于 的方程组，求解方程组计算可得：标准方程为 ，离心率为a,b,cx216+y212=1；12(2)很明显直线的斜率存在，设出点的坐标，利用点差法可得 CD 中点坐标为 ，且(2,2)，利用点斜式方程可得直线 l 的一般方程
17、是 .kCD=34 3x+4y-14=0试题解析：（1）由题知 ，解得 ， 椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 .（2）由（1）知 ，易知直线 的斜率存在，设为 ，设 ,则 ， ，又 是线段 CD 的中点， ，故直线 的方程为 ，化为一般形式即 .点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系中点弦问题，可以利用“点差法” ，但不要忘记验证 0 或说明中点在曲线内部.1119.已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ,右顶点为 .C (2,0) ( 3,0)（1）求双曲线 的方程；C（2）若直
18、线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 (其中 为坐l:y=kx+ 2 C A B OAOB2 O标原点)，求实数 取值范围.k【答案】 （1） y 21x23（2）(1， )( ，1)33 33【解析】(1)设双曲线 C 的方程为 1(a0，b0)x2a2 y2b2由已知得 a ，c2，再由 c2a 2b 2得 b21，3所以双曲线 C 的方程为 y 21x23(2)将 ykx 代入 y 21 中，整理得(13k 2)x26 kx90，2x23 2由题意得，13k20=(62k)2+36(13k2)=36(1k2)0 故 k2 且 k22 得 xAxBy AyB2，OA OBxAxBy
19、AyBx AxB(kx A )(kxB )(k 21)x AxB k(xAx B)2 2 22(k 21) k 2 ，913k2 2 62k13k2 3k2+73k21于是 2，即 0，解得 b0) (0, 3) 12 F1(c,0).F2(c,0)（1）求椭圆的方程；（2）若直线： 与椭圆交于 ， 两点，与以 为直径的圆交于 ， 两点，且y=12x+m A B F1F2 C D满足 ，求直线的方程.|AB|CD|=534【答案】 （1） （2） 或 .x24+y23=1 y=12x+33 y=12x33【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，解出， 的值，即可求出椭圆的方程；b（2）由题意可得
20、以 为直径的圆的方程为 ，利用点到直线的距离公式得：圆F1F2 x2+y2=1心到直线的距离 ，可得 的取值范围，利用弦长公式可得 ，设db0) 53|AB|= 13（1）求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆交于 ， 两点，与直线 交于点 M，且点 P，M 均在第四l:y=kx(kx10点 的坐标为 由 的面积是 面积的 2 倍，可得 ，Q (x1,y1) BPM BPQ |PM|=2|PQ|从而 ，即 x2x1=2x1(x1) x2=5x1易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 y，可得 由方程组AB 2x+3y=6 2x+3y=6,y=kx, x2= 63k+2消去 ，可得 由 ，可得 ，两边平方，整理x29+y24y=kx, =1, y x1= 69k2+4 x2=5x1 9k2+4=5(3k+2)得 ，解得 ，或 当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题意所以， 的值为 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；16(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
