1、11.1.2 余弦定理1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 22cosabA，2_b，2_.c2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论 22cosbcaA，B_；cosC_3余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是_从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广4正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问
2、题的两个最重要的定理 （2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下） 因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题K 知识参考答案：1 2cosaB 2cosabC222cab22cab3直角 钝角 锐角K重点 利用余弦定理解三角形K难点 综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断K易错 解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形解三角形问题的常见类型与解法正弦定理、余弦定理
3、的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素） ，如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：1已知两角及其中一角的对边，如已知 ,ABa【一解】 （上节内容，此处不再赘述）2已知两边及其夹角，如已知 ,abC【一解】在 AB 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 5， b4， C120，则 cos_【答案】1362【解析】由余弦定理，得 22coscabC= 254cos1206+-=，故61c，所以2224615361osbcA【解题技巧】已知两边及
4、其夹角的解题步骤：（1）由 22coscabC求 ；（2）由22cosbcaA求 A；（3）由80BA求 B3【名师点睛】求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间 (0,)上是不单调的） ，应先求较小边所对的角，因为它必是锐角3已知三边【一解】在 ABC 中，已知 a 13， b 2， c ，则 A_【答案】 105【解析】由余弦定理的推论，得2222(13)(3cosaBc=，所以 30B，由余弦定理的推论，得2222(13)(cos =，abcC所以 45C，所以 180105AB【解题技巧】此类问题可以连续用余弦定理的
5、推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由 8C求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角） 4已知两边及其中一边的对角，如已知 ,abB【两解、一解或无解】已知 ABC 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 8,760B，则 c_【答案】 3或 5【解析】方法 1： 利用正弦定理求解，此处不再赘述方法 2：由余弦定理 22cosbaB，得 2278cos60=c，整理得 850,c解得 3或 5【解题技巧】此类问题的求解步骤：方法 1：根据正弦定理经讨论求 A；求出 后，由 1
6、80ABC求 ；由4siniacAC求 ；方法 2：可以根据余弦定理，列出以边 c为未知数的一元二次方程2(co)()0Bab，根据一元二次方程的解法求边 c，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素判断三角形的形状判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边” ；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角” 在 ABC 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c，若 2osaBc，则是A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】B【解析】方法 1（化角为边）：由余弦定理可得22acb，即2,.ab故
7、AC 为等腰三角形故选 B方法 2（化边为角）：由正弦定理可得 2sincosiABC，又 180B，所以 si (180)sin()AB，化简可得 sinco0,AB即 si()，由 ，可得 ，即 A，故 BC 为等腰三角形故选 B忽略三边不能构成三角形导致错误已知 ,21a是钝角三角形的三边，求实数 a的取值范围【错解】因为 ,是三角形的三边，所以012,2即，5所以 21a是三角形的最大边，设其所对的角为 （钝角），则22()(1)cos 0a，化简得 280a，解得 8a又12a，所以8故实数 的取值范围为(1,)【错因分析】错解中12a只能保证 ,2a都是正数，而要表示三角形的三边，
8、还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于等三边” 【正解】因为 ,21a是三角形的三边，所以021a，即12a，所以 是三角形的最大边，设其所对的角为 （钝角），则222()()cos 01a，化简得 280a，解得 8a要使 ,21a构成三角形，需满足12，即 2a综合 ，可得 8a故实数 a的取值范围为 (,8)【名师点睛】在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 A23， a ， b1，则cA 31 BC2 D162在 ABC中，已知 43b， 2c， 10A，则 a 等
9、于A 1 B6C 或 6 D 21533在 B中，若 AB 5， AC5，且 cosC910，则 BC 的长为A4 B5C4 或 5 D34在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，3cos()1,23bc，则 A 10 B3C 2 D 55在 B 中，,2,34ACBC，则 AA B 5C 3 D 36边长为 3、7、8 的三角形中，最大角与最小角之和为A90 B120C135 D1507在 B 中，若137,8cos4abC，则最大角的余弦值是A15B16C 7 D 88在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 120,Cca，则A ab B b7C
10、 ab D a与 b的大小关系不能确定9已知 AB 中， =3130BCA， ， ，则 =C_10在 中， ， 45， 2c，则 B 的外接圆的直径为_11若钝角三角形 ABC的三边长分别是 ,1()aN，则 a_12在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若22)tn3bBac，则 _13在 中， C2 A， a c5，cos A34，求 b 的值814在 ABC中，角 A， B， C 的对边为 a， b， c，且 2oscosAaC（1）求角 A 的大小；（2）若 7a， 4bc，求 bc 的值15在 ABC中， B4， AB 2， BC3，则 sin AA10B1059
11、C310D516 AB 的三个内角满足：siniBAcCab，则A6B3C23D 或217在 B 中，如果 sin:si2:34ABC，那么 cosC等于A23B13C14D218在 AB 中，三边上的高依次为1,35，则 ABC 为A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不存在这样的三角形19在 B 中，已知2cosAbc(角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c)，则A是_三角形20如图，在三角形 C中， 1， 3，以 为直角顶点向外作等腰直角三角形 D，当 B变化时，线段 BD的长度的最大值为 _21如图所示，在 ABC 中，3sin,22AB，点 D在线段 AC上，且102A
12、DC， 43B，则 cosACB_22 B 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asinAsinB bcos2A a（1）求ba的值；（2）若 c2 b2 3a2，求 B23在 ABC 中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知sini2siniacabB（1）求角 的大小；（2）若角 75A， ，求 的值1124 （2018 新课标全国理）在 ABC 中，5cos2， 1BC， 5A，则 BA 42 B 30C 9 D 525 （2018 浙江）在 ABC 中，角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c若 7a，2b， 60，则 sin_， c_26 （
13、2018 新课标全国理）在平面四边形 AB中， 90， 45A，AB， 5D（1）求 cos；（2）若 2C，求 B27 （2018 天津文理）在 A 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 已知sincos()6bAa（1）求角 B 的大小；（2）设 ， 3，求 b和 sin(2)AB的值1228 （2017 天津文）在 ABC 中，内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c已知sin4iab，225()acbc（1）求 co的值；（2）求 si()BA的值29 （2017 天津理）在 ABC 中，内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c已知ab， 5,6c，
14、3sin5（1）求 和 i的值；（2）求sin()4A的值1330 （2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 7cm，容器的两底面对角线 EG，1EG的长分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器 中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l放在容器中， l的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 1C上，求 l没入水中部分的长度；（2）将 l放在容器中， l的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 1G上，求 l没入水中部分的长度141 【
15、答案】D【解析】由余弦定理可得22cosbcaA，213c， 1故选 D2 【答案】A【解析】由余弦定理得 22cosab48122 432()84，所以 1故选 A3 【答案】C【解析】设 BC x，由余弦定理可得2955,10xx即20,x解得 45或x，所以 BC 的长为 4 或 5故选 C4 【答案】A【解析】 3cos()1AB，1cos4A，则224923ab0， a故选 A7 【答案】C【解析】由余弦定理得 cosC2278134c，解得 c，可知角 B最大，则227381cosB故选 C8 【答案】A15【解析】由余弦定理知 22coscabC，则 22aba，即2ab，则()
16、10，所以51，所以 ，故选 A11 【答案】2【解析】设边长为 2a的边所对的角为 C，则222(1)()cosaa0，23a， 13，又 (1)a，所以 ，所以 3，又N，所以 12 【答案】或【解析】因为22()tan3cbBc，所以 2costan3Bc，即3sinB，所以或 13 【答案】52b【解析】由正弦定理，得sini2coscCAa，32a又 a c5， a2， c3由余弦定理 a2 b2 c22 bccosA，得 2910b， b2 或5当 b2 时， a2， A B又 C2 A，且 A B C，4A，与已知3cos4矛盾，不合题意，舍去16当 b52时，满足题意52b14
17、 【答案】 （1）60；（2）3【解析】 （1）因为 coscosAaC，所以根据正弦定理可得 iniBcosinsis()AC，因为 i0B，所以1co2A，又 00，故 cosB ， B451923 【答案】 （1） 45B；（2） 31a【解析】 （1）因为 sini2siniAcCbB，所以由正弦定理可得 2a，即22ac，结合余弦定理可得cosB，又 018B，所以 45（2）因为 75A，所以 26sin(304)sin3co45s3in4，故由正弦定理可得1ibaB24 【答案】A【解析】设角 A， ， C所对的边分别为 a， b， c，因为2253cos1()1C，所以2cos
18、()25ab，所以 42c，故选 A26 【答案】 （1）235；（2） 【解析】 （1）在 ABD 中，由正弦定理得 siniBDA由题设知5sin4i，所以25由题设知， 90AB，所以3cos1AB（2）由题设及（1）知2in5DC在 CD 中，由余弦定理得2022cos2582BCDBDC5，所以 527 【答案】 （1） 3；（2） 7b，3in()14AB【解析】 （1）在 ABC 中，由正弦定理 siinab可得 siinAaB，又由sincos()6ba可得inco()6B，即ico()6，化简可得 t3B又 (0,)，所以 328 【答案】 （1）5；（2）5【思路分析】 （
19、1）首先根据正弦定理 siniabAB得到 2ab，再根据余弦定理即可求得 cosA的值；（2）根据（1）的结论和条件，由 cosA求得 in，然后根据in4iabB求得 si，再求 cos，然后由二倍角公式求 ,cos2B，最后代入 s()的展开式即可【解析】 （1）由 sin4iaAb及 siniabAB，得 2ab由225()cc及余弦定理，得25coc21（2）由（1）可得25sinA，代入 sin4iaAbB，得isin4aBb由（1）知 A 为钝角，所以25cos1inB于是4sin2i5B，23siB，故4525i()sicos2in()AA【名师点睛】 （1）利用正弦定理进行“
20、边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题29 【答案】 （1） 3b，13sinA；（2）76（2）由（1）及 ac，得213osA，所以sin2iA，25csin13A故7i()sios2i444630 【答案】 （1）16；（2）20【解析】 （1）由正棱柱的定义， 1C 平面 ABD，所以平面 1AC 平面22ABCD， 1 记玻璃棒的另一端落在 1C上点 M处因为 07,4A
21、，所以2240(17)30，从而3sinM，如图，记 与水面的交点为 1P，过 作 P1Q1 AC， Q1为垂足，则 P1Q1平面 ABCD，故 P1Q1=12，从而 AP1=16sinPMACQ答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” ，则结果为 24cm)（2）如图， O， O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义， OO1平面 EFGH，所以平面 E1EGG1平面 EFGH， O1O EG同理，平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1， O1O E1G1记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处，过 G 作 GK E1G1， K 为垂足，则
22、 GK =OO1=32因为 EG = 14， E1G1= 62，所以 KG1=624，从而221 3023设 1,EGN 则 114sini()cos25KG 因为 2，所以3co5在 ENG 中，由正弦定理可得401sini，解得7sin25因为02，所以2co5于是 4273sinsi()sin()sicosin()55NEG记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2作 P2Q2 EG， Q2为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故 P2Q2=12，从而 EP2=20sinNEG答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” ，则结果为 20cm)
