1、13.2 一元二次不等式及其解法1一元二次不等式的定义我们把只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式例如： x2 x0，2 x23 x10， x23 x0， x2 x20 都是一元二次不等式注：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数；（2）一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是 2，且最高次项的系数不为 02一元二次不等式的一般形式一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c0，ax2 bx c0， ax2 bx c0
2、， ax2 bx c0其中 a， b， c 为常数，且 a03一元二次不等式的解与解集使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫这个一元二次不等式的_，所有的解组成的集合叫做这个一元二次不等式的_例如 x1 是不等式 x22 x0 的解，不等式 x22 x0 的解集为 注：将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形4三个“二次”之间的关系y ax2 bxc(a0)的图象ax2 bx c0(a0)的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根2ax2 bx c0(a0)的解集或 Rax2 bx c0(a0)的解集_注：上述表格是解一元二次不等式的一个依据，其中 x1， x
3、2具有三重身份：（1）相应的一元二次方程的实数根；（2）相应的二次函数的零点；（3）相应的一元二次不等式解集的区间端点5一元二次不等式的解法由上述三个“二次”之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为 0)；（2）计算判别式 ，求相应的一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的根；（3）画出对应二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象；（4）根据图象及一元二次不等式解集的几何意义写出解集我们可以用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，如下：3K 知识参考答案：1一 2 3解 解集 4K重点 三个“
4、二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤K难点 含参不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿针引线法的应用K易错 解含参不等式时不能正确分类或忽略对二次项系数的讨论解不含参数的一元二次不等式解不含参数的一元二次不等式有以下三种方法：方法 1：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集其依据是上一节所学的有关因式积的符号法则即：若 ab0，则 a， b 同号；若 ab0，则 a， b 异号因此我们可以将二次三项式进行因式分解，然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式方法 2：若不等式对应的一元二次方程能
5、够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得方法 3：若上述两种方法不能解决，则采用求一元二次不等式解集的通法判别式法解下列不等式：（1）2 x27 x30； （2） x24 x50； （3）4 x218 x 0；（4） x23 x50； （5）2 x23 x20； （6）2 x23 x10【答案】（1） x|x 或 x3；（2） x|1 x5；（3） ；（4） ；（5）R；（6）2，1)(2，54（4）原不等式可化为 x26 x100， (6) 24040，所以方程x26 x100 无实根，又二次函数 y x26 x10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 （
6、5）原不等式可化为 2x23 x20，因为 942270，所以方程 2x23 x20 无实根，又二次函数 y2 x23 x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R（6）原不等式等价于 ，可化为 x23 x20，解得 x2 或 x1；可化为 x23 x100，解得2 x5故原不等式的解集为2，1)(2，5【名师点睛】（ 1） 一 元 二 次 不 等 式 的 解 与 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 是 部 分 与 整 体 的 关 系 ，不 要 将 二 者 混 淆 ； （2）如果能对一个多项式进行因式分解，则运用符号法则可快速解决相应不等式的解集问题，但利用符号法则的前提是能熟练地对多项
7、式进行因式分解解含参数的一元二次不等式在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a0， a0， a0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( 0)，一根( 0)，无根( 0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论： x1 x2， x1 x2， x1 x2（1）解关于 x 的不等式： x2( a1) x a0( a R)；（2）解关于 x 的不等式： x2 ax10( a R)；（3）解关于 x 的不等式： ax2( a1) x10 ( a R)【答案】（1）见解析；（2）见
8、解析；（3）见解析5（2）对于方程 x2 ax10，其判别式 a24( a2) ( a2)，当2 a2 时， 0，方程无实根，不等式的解集为 ；若 a2 时， 0，方程有两个相等的实根 x1 x21，不等式的解集为 x|x1；若 a2 时， 0，方程有两个相等的实根 x1 x21，不等式的解集为 x|x1；当 a2 或 a2 时， 0，方程有两个不相等的实根 ，不等式的解集为 x| x （3）原不等式可化为( ax1)( x1)0，当 a0 时，( x ) (x1)0，原不等式的解集为 x| x1；当 a0 时，原不等式为 x10，原不等式的解集为 x|x1；当1 a0 时，( x ) (x1
9、)0， ，原不等式的解集为 x|x 或 x1；当 a1 时，( x1) 20，原不等式的解集为 x| x1；当 a1 时，( x ) (x1)0， ，原不等式的解集为 x|x1 或 x 【名师点睛】（1）若不等式对应的一元二次方程可以因式分解，则可根据一元二次方程的根的大小分类进行讨论；（2）若一元二次方程根的判别式符号不确定，应由 0， 0， 0 分情况进行讨论；（3）若二次项的系数含有参数，则先对不等式中二次项的系数进行讨论，然后按照不等式的求解方法求解三个“二次”之间的关系在解决具体的数学问题时，应明确三个“二次”之间的相互联系，并在一定条件下相互转化已知不等式的解集求参数问题的实质是考
10、查三个“二次”之间的关系，其解题的一般6思路为：（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；（2）由根与系数的关系或直接代入方程，求出参数的值或参数之间的关系已知关于 x 的不等式 a(x1) x2 x b 的解集为 x|2 x3，则 的值为_【答案】2已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax2 bx c 0 的 解 集 为 x|3 x 4， 求 关 于 x的 不 等 式 cx2 bx a 0 的 解 集 【答案】(， )( ，)【解析】方法 1：由 ax2 bx c0 的解集为 x|3 x4可知 a0，且 3 和 4 是方程ax2 bx c0 的两根，由根与系数的关系可知 7， 1
11、2，由 a0 易知 c0， ， ，故不等式 cx2 bx a0，即 x2 x 0，即 x2 x 0，解得 x 或 x ，所以不等式 cx2 bx a0 的解集为(， )( ，)7【名师点睛】根据三个“二次”之间的关系可知：给出一元二次不等式的解集，则可知不等式中二次项系数的符号和相应一元二次方程的根若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是相应一元二次方程的根，但要注意解集的形式与二次项系数的联系不等式恒成立问题求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：（1）利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 R 上的恒成立问题，设 f(x) ax2 bx c(a0)，则f(x)0 恒成立
12、 a0 且 0； f(x)0 恒成立 a0 且 0；f(x)0 恒成立 a0 且 0； f(x)0 恒成立 a0 且 0注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论 a0 的情况（2）将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为 f(x) a 或f(x) a 或 f(x) a 或 f(x) a 恒成立的问题）即：若 f(x)在定义域内存在最大值 m，则 f(x) a 恒成立 a m；若 f(x)在定义域内存在最大值 m，则 f(x) a 恒成立 a m；若 f(x)在定义域内存在最小值 m，则 f(x) a 恒成立 a m；若 f(x)在定义域内存在最小值 m，则 f(x
13、) a 恒成立 a m（1）已知关于 x 的不等式( m1) x2 x10 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）已知关于 x 的不等式( m23 m2) x22( m1) x10 对一切实数 x 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若不等式 kx22 x1 k0 对满足 的所有 k 都成立，求 x 的取值范围；8（4）已知 f(x) x22 ax4， x 1，1，若 f(x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1） ；（2）1，）；（3） ；（4）2，2【解析】（1）当 m10，即 m1 时， x10，显然不符合题意；当 m10，即 m1 时，对应抛物线开口向上，即
14、m10，且对于方程( m1) x2 x10， (1) 24( m1)0，即 故当 时，不等式( m1) x2 x10 对一切实数 x 恒成立，实数 m 的取值范围为（3）原不等式可化为 ，设 ，则 是关于 k 的一次函数，且是单调函数，根据题意可得 ，即 ，解得 ，故 x 的取值范围为 （4）原问题等价于：当 x 1，1， f(x)min1由于 f(x)图象的对称轴为 x a，故 或 或 ，即 或 或 ，即2 a2故实数 a 的取值范围为2，29【名师点睛】（2）中易漏掉对 m23 m2 的讨论，当二次项系数含参时，需讨论不等式是否为一元二次不等式；对于含参的函数在闭区间上的函数值恒大于等于某
15、个常数的问题，可以利用函数的图象与性质求解一元二次不等式的实际应用在一段限速为 60 km/h 的城市道路上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了事后交警现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 30 m，乙车的刹车距离略超过 28 m已知甲、乙两种车型的刹车距离 s(单位：m)与车速 x(单位：km/h)之间的关系分别为 0.1 x0.01 x2， 0.05 x0.005 x2试判断甲、乙两车有无超速现象【答案】甲车没有超速，乙车超速【名师点睛】用一元二次不等式解决实际问题的步骤：（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为关于一元二次不等式
16、的问题；（3）解一元二次不等式，从而得到实际问题的解简单分式不等式和高次不等式的解法（1）简单分式不等式的解法已知 f(x)与 g(x)是关于 x 的多项式，不等式 ， ， ，称为分式不等式前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式10不等式将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解具体如下：，即 或 ，即 ；，即 或 ，即 ；，即 ，即 或 ；，即 ，即 或 （1）不等式 的解集为_；（2）不等式 的解集为_【答案】（1） ；（2） 或 【名师点睛】对于形如 ， ， ， 为非零实数或代数式 的分式不等式，求解的方法是先把不等式的右边化为 0，
17、通分后利用符号法则转化为整式不等式即可求解，但应特别注意分母不为 0 这一隐含条件（2）简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于 2 的不等式称为高次不等式前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式解高次不等式的方法有两种：方法 1：将高次不等式 f(x)0(0)中的多项式 f(x)分解成若干个不可约因式的乘积，11根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐方法 2：穿针引线法：将不等式化为标准形式，右端为 0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；求出各因式
18、的实数根，并在数轴上标出；自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过） ；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集（1）不等式 的解集为_；（2）不等式 的解集为_【答案】（1） 或 ；（2） 【解析】（1）原不等式等价于 ，令 ，各因式对应的根分别为2，1，2，结合图 1 可得原不等式的解集为 或 （2）原不等式等价于 ，各因式对应的根为 2（5 重根），1（3 重根），3（2 重根）结合图 2 可得原不等式的解集为 【名师点睛】应用穿针引线法可快速求解一元二次不等式的解集，但应深刻理解穿针引线法，正确把握应用穿针引线法的步
19、骤及要点，这是正确解题的前提解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式 【错解】原不等式可化为 ，即 ，12等价于 ，即 ，因为 ，所以当 ，即 或 时， ；当 ，即 时， ；当 ，即 时， 综上，当 或 时，原不等式的解集为 或 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 或 【错因分析】显然当 a0 时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的实际上错解中的变形非同解变形，因为 a1 的符号是不确定的，错解中仅考虑了当 a10 时的情况【正解】显然当 时，原不等式是不成立的当 a0 时原不等式可化为 ，即 ，等价于 (*)，当 时，(*)式可转化为 ，即 ，即 当 时，(*)
20、式可转化为 当 时，(*)式可转化为 13又当 时， ，所以当 或 时， ；当 时， ；当 时， 综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 【名师点睛】在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于 x 的不等式 mx2 mx m10 恒成立，则 m 的取值范围为_【错解】由于不等式 mx2 mx m10 对一切实数
21、 x 都成立，所以 m0 且 m24 m(m1)0，解得 m0故实数 m 的取值范围为(，0)【错因分析】由于本题中 x2的系数含有参数，且当 m0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论 m 的值是否为 0而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解14【正解】由于不等式 mx2 mx m10 对一切实数 x 都成立，当 m0 时，10 恒成立；当 m0 时，易知 m0 且 m24 m(m1)0，解得m0综上，故实数 m 的取值范围为(，01不等式 的解集是A BC D2 已知全集 ，集合 ， ，则A BC D3不等式 的解集是A BC DR4若关于 x 的方程 x
22、2( a21) x a20 的一根比 1 小、另一根比 1 大，则 a 的取值范围为A(1，1) B(，1)(1，)C(2，1) D(，21，)5若不等式 的解集为 R，则实数 的取值范围是A B15C D6关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式的解集为A BC D7设集合 P m|1 m0， Q m R|mx24 mx40 对任意实数 x 恒成立，则下列说法正确的是A P 是 Q 的真子集 B Q 是 P 的真子集C P Q D P Q8在 R 上定义运算 ： x y x(1 y)，若不等式( x a) (x a)1 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为A(1，1) B(0
23、，2)C( ， ) D( ， )9已知集合 ， ，则 _10函数 的定义域是_11满足不等式 的 的取值范围是_12某厂去年生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销量为 1000辆今年为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本，若每辆摩托车投入成本增加的比例为 x(0 x1） ，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，则（1）今年的利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式为_；（2）为使今年的利润高于去年的利润， x 的取值范围为_13求下列不等式的解集：（1） ；16（2） 1714已知函数 （1）当 时，求不等
24、式 的解集；（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围15若一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是A10 B 10C14 D 1416若不等式 的解集是 ，那么实数 的值是A1 B2C3 D417若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为A B 或C D 或1818设实数 ，关于 的一元二次不等式 的解集为A BC D19已知集合 ， ，且 ，则实数 a 的取值范围是A BC D20 任意 ，函数 的图象恒在 图象的上方，则实数 的取值范围是A BC D21不等式 的解集为 ，则 _22若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是_23已知函数 ， ，若不等式 的解集为，若对任意的 ，存在 ，使
25、 成立，则实数 m 的取值范围是_24对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件： 在 内是单调的；当定义域是 时， 的值域也是 则称 是该函数的“和谐区间” 若函数 存在“和谐区间” ，则实数 的取值范围为_1925已知 ，不等式 的解集为 （1）求 的值；（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围2026已知 的图象过点 ，且 （1）求函数 的解析式；（2）若 ，解关于 的不等式 27 （2018 新课标全国理）已知集合 ，则A BC D28 （2015 新课标全国）已知集合 A=2，1，0，1，2， B=x|(x1)( x2)0，则 A BA1，0 B0，1C1，0，1 D0
26、，1，229 （2015 广东文）不等式 的解集为_ （用区间表示）30 （2015 江苏）不等式 的解集为_31 （2014 江苏）已知函数 f(x) x2 mx1，若对于任意 x m， m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_32 （2017 江苏）记函数 的定义域为 在区间 上随机取一个数 ，21则 的概率是_221 【答案】D【解析】根据题意可得 或 ，故选 D2 【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，所以 故选 B4 【答案】C【解析】令 f(x) x2( a21) x a2，依题意得 f(1)0，即 1 a21 a20，即 a2 a20，解得2 a1，故选 C5 【
27、答案】B【解析】 可化为 ，当 时，不等式为 40，恒成立；当 时，不等式的解集为 R，则解得 综上， ，故选 B6 【答案】B【解析】 的解集为 ，即方程 的两根为，由根与系数的关系可求得 ，则方程 可化为 ，23解得 ，结合不等式可求得不等式 的解集为，故选 B7 【答案】A【解析】当 m0 时，40 对任意实数 x 恒成立；当 m0 时，由 mx24 mx40 对任意实数 x 恒成立可得 ，解得1 m0综上所述， Q m|1 m0，所以 P Q，故选 A8 【答案】C【解析】由题意可得( x a) (x a)( x a)1( x a)1，即 x2 x a2 a10恒成立，所以 14( a
28、2 a1)0，即 4a24 a30，解得 a ，故选C9 【答案】【解析】由题意得 ， 或 ， 11 【答案】【解析】原不等式等价于 解得 或 故 的取值范围是 12 【答案】 （1） y60 x220 x200(0 x1)；（2）( ， ) 24【解析】 （1）由题意，得 y1.2(10.75 x)1(1 x)1000(10.6 x)(0 x1)，整理得 y60 x220 x200(0 x1)（2）要保证今年的利润高于去年的利润，则 ，即，解得 故投入成本增加的比例 x 的取值范围为( ， )13 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）由 ，可得 ，解得 ，故 的解集为 （2）不等式
29、可化为 ，即 ，解得，故 的解集为 14 【答案】 （1） ；（2） 15 【答案】D25【解析】根据一元二次不等式的解集与方程的根的关系可知， 是方程的两根，所以 ，所以 ，故选 D16 【答案】C【解析】因为不等式 的解集是 ，所以 是方程 的两根，所以 ，解得 ，故选 C17 【答案】C【解析】由三个二次的关系可知方程 的解为 且 ，设 ，则 ，所以 ，所以不等式 为 ，解集为 故选 C18 【答案】B【解析】即 ，所以 ，故选 B19 【答案】C【解析】因为集合 ，又集合 是 的真子集，所以 ，且两个等号不能同时取到，解得 ，26故实数 的取值范围是 故选 C21 【答案】【解析】由一
30、元二次方程与一元二次不等式之间的关系可知，方程 的两根是 ，所以 因此22 【答案】 或【解析】由不等式 的解集是 ，可知 的根为 1，2，所以 ， ，不等式 即 ，即因为 恒大于 0，所以 ，所以原不等式的解集为 或 23 【答案】【解析】因为不等式 的解集为 ，所以 ，27，即 ，在区间 上， 为单调递减，且 ；在定义域内为减函数，且在区间 上 ，又对任意的，存在 ，使，所以 ，即 ，故实数 m 的取值范围是 【名师点睛】解此题需要注意以下几点：由不等式的解集求二次函数解析式要巧妙利用“端点值为零点” ，结合根与系数的关系求二次函数中的参数；要能够正确理解题意，题中对任意的，存在 ，使 成
31、立，是指对任意的 ，总能找到一个，使 成立，而并非对任意的 ，都有24 【答案】【名师点睛】本题考查一元二次方程的有解问题、新定义问题，属于难题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念、或约定一种新运算、或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现知识的迁移，达到灵活解题的目的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、28验证、运算，使问题得以解决本题是在正确理解“和谐区间”这一新定义基础上，将问题转化为一元二次方程有解问题进行求解的25 【答案】 （1） ；（2
32、） 【思路分析】 （1）由题为已知一元二次不等式的解集，求函数解析式可由二次不等式的解法，先找到对应的二次方程，则 0，5 为二次方程的两个根，代入可得 b， c，函数解析式可得；（2）由题为恒成立问题，可等价转化为最值问题，即恒成立，再利用函数，求它的最大值可得 t 的取值范围【解析】 （1）因为 ，所以不等式 即 ，由不等式 的解集为 ，所以方程 的两个为 和 ，所以 令 ，则 ，所以 在 上为增函数，所以 ，所以 ，故实数的取值范围为 方法 2：由（1）知： ，所以“对任意的 ，不等式 恒成立”等价于“对任意的，不等式 恒成立” ，令 ，29则 ，因为 在 上为减函数，所以 ，所以 ，故
33、实数的取值范围为 【名师点睛】不等式的恒成立问题，常用的方法有两种：（1）分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图象，找参数范围即可；（2）含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理26 【答案】 （1） ；（2）当 时，原不等式的解集为 ，当时，原不等式的解集为 ，当 时，原不等式的解集为 当 ，即 时，原不等式的解集为 ；当 ，即 时， 综上所述，当 时，原不等式的解集为 ，当 时，原不等式的解集为 ，当 时，原不等式的解集为 27 【答案】B【解析】解不等式 得 或 ，所以 或 ，所以，故选 B【名师点睛】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的补集运算，在解题的过程中30需要明确一元二次不等式的解集的形式及补集中元素的特征28 【答案】A【解析】 B=x|2 x1，故 A B=1，0故选 A29 【答案】(4，1)【解析】原不等式可化为 ，解得 ，所以原不等式的解集为(4，1)30 【答案】(1，2)【解析】由题意得： ，故所求解集为(1，2)31 【答案】( ，0)【解析】由题可得 f(m)2 m210 且 f(m1)2 m23 m0，解得 32【答案】【解析】由 ，即 ，得 ，根据几何概型的概率计算公式得 的概率是
