1、12.3 等差数列的前 n 项和1数列前 n 项和的概念一般地，我们称_为数列 na的前 n 项和，用 nS表示，即 12na3na由此易得 na与 S的关系为1,_,22等差数列的前 n 项和公式首项为 1，末项为 ，项数为 n 的等差数列 na的前 n 项和为=_nS，或 1()=2Sd3等差数列前 n 项和公式的函数特性在等差数列 na中，21 1()()ndana令 2dp， 1q，可得 =_nS，则（1）当 0，即 时， 是关于 n 的二次函数，点 (,)nS是二次函数2=ypxq图象上一系列孤立的点； （2）当 ，即 0d时， nS是关于 n 的一次函数 (0q，即 1)a或常函数
2、(0，即 1)a，点 (,)是直线 =yx图象上一系列孤立的点4等差数列前 n 项和的性质利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质：设等差数列 na（公差为 d）和 b的前 n 项和分别为 ,ST，（1）11()()=22mnnaS（2）若数列 na共有 项，则 1=()nnSa， S奇 偶 na，2(1Sn奇 奇偶 ,()nnaSa偶；若数列 na共有 2项，则 Snd奇偶 ， 1nSa奇偶（3）21nbT，mnb12mnST（4） 232(1),kkkkkS 构成公差为 2kd的等差数列（5）nmmnnSd特别地，当 ()nS时， 0n；当 ， nS(
3、)时，()mnK 知识参考答案：1 23naa 1nS2()n3 pqK重点 等差数列的前 n 项和公式的应用、基本量的计算K难点 等差数列的前 n 项和的性质及应用、数列求和问题K易错 解决 Sn的最值问题时应注意等差数列中为 0 的项由前 n 项和 n求通项公式 na（1）已知 nS求通项公式 na：利用1,2nS即可求解；（2）已知 与 之间的关系求 ：由关系式消去 n，建立 na与 1(或 )n之间的关系求 na；或由关系式消去 n，建立 nS与 1之间的关系求 S，进而求 3已知数列 na的前 n 项和为 nS，若 2n，则数列 na的通项公式na_【答案】10,2n【解析】当 时，
4、1120aS；当 n时， ()nn11(2)nn，而 120，故数列 na的通项公式为1,na已知数列 n的前 n 项和为 nS，若 11,nS，求证：nS是等差数列，并求 na【答案】证明见解析，1,2()nn【解析】当 2时， 1nnaS，由 1naS，可得 11nnS，因为 0nS，两边同时除以 1n可得 1n，所以数列1n是等差数列因为 1a， 1S，所以 n，即1nS当 2n时，1()n，故1,2()na【名师点睛】利用关系式 1nnaS解题时务必要注意 2n的条件等差数列前 n 项和的基本量计算4在等差数列问题中共涉及五个量： a1， d， n， an及 Sn，利用等差数列的通项公
5、式及前 n 项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量( a1， d)，构建方程组因此利用方程思想求出基本量( a1， d)是解决等差数列问题的基本途径在等差数列 n中，（1）若 6=20， 5S，则 8_；（2）若 372a，则 9S_；（3）若 13， 21239a，则 23_【答案】（1）32；（2）54；（3）184【解析】（1）方法 1：因为 6=20a， 51S，所以150ad，解得106ad，所以 8623ad方法 2：因为16656()1023SSa，所以 1(20)3a，即10a，所以612(0)65d，所以 8620132ad（2）方法 1：因为 37112
6、ad，所以 46a，所以 911896(4)9652Sa方法 2：因为 37192a，所以19()24aS（3）根据已知条件利用等差中项可得 23a， 2，则223()18aS【名师点睛】求数列的基本量的基本方法是建立方程组，或者运用等差数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的等差数列前 n 项和的性质及应用一个等差数列的前 10 项和为 30，前 30 项的和为 10，则前 40 项的和为_5【答案】 40【解析】方法 1：设其首项为 1a，公差为 d，则103193021Sad，解得 125a，4d，故 40194039()402525S方法 2：易知数列 1021030
7、430,S成等差数列，设其公差为 d，则前 3 项和为 1030SdS，即 10+d，又 103，所以803，所以 403108+()5，所以 054S方法 3：设2npq，则1033091Spq，解得1,5，故25nn，所以240340S方法 4：因为数列 na是等差数列，所以数列nS也是等差数列，点(,)nS在一条直线上，即10(,)S，30(,)，40(,)S三点共线，于是301401，将 103S， 01代入解得 40S方法 5：因为303012 1()()2aSaa，6又 301=2S，所以 1402a，所以14040()2aS方法 6：利用性质：()nmmnS，可得30140()4
8、S方法 7：利用性质：当 ， n()时， ()mnS由于 103S， 01，可得 403140S【名师点睛】（1）通过一题多解可清晰地看到，虽然方法 1 是此类问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前 n 项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度（2）对于方法 4，我们可以证明：nnSSpq是等差数列，且kS，2，3kS成等差数列，其实质是 232,kkk成等差数列（3） na为等差数列 =(nSpq为常数 )（1）设 n是等差数列 na的前 n 项和，若75913a，则139S_；（2）若数列 na， b的前 n 项和分别为 ,nAB，且n
9、，则nb_【答案】（1） 1；（2）741n【解析】（1）由等差数列前 n 项和的性质得13795913Sa（2）由等差数列前 n 项和的性质得21()4.naAnnbB【解题技巧】涉 及 一 个 有 限 的 等 差 数 列 的 奇 数 项 和 与 偶 数 项 和 之 比 的 问 题 ， 宜 用 等 差 数列 前 n 项 和 的 性 质 （ 2） 求 解 ； 涉 及 两 个 等 差 数 列 有 限 项 和 之 比 的 问 题 ， 通 常 是 将 其 转 化为 两 个 等 差 数 列 前 n 项 和 之 比 来 处 理 7与等差数列有关的前 n 项和的最值问题设等差数列 na的首项为 1，公差为
10、 d，则10， dnS有最大值 1a，无最小值1a，a只有前面的有限项为非负数， nS有最大值，无最小值10， dn只有前面的有限项为负数， n有最小值，无最大值a， S有最小值 1a，无最大值0数列 n为常数列已知等差数列 a的前 n 项和为 nS，公差为 d（1）若 2016S， 2017，且 k最大，则整数 k_；（2）若 =5a， 9S，且 最大，则整数 _【答案】（1）1009；（2）13【解析】（1）由等差数列的性质可知， 2017109Sa，所以 109a，又1089206()2aS，即 1089a，结合 109可得 108，因此 9S最大，故 0k（2）方法 1：由 917=5
11、aS，可得11=25+478adad，解得 2，则2()5(3)692nSn，显然 13最大，故 13k方法 2：同方法 1 得 d，故 25()127nann，显然对于 n*N，当 时， 0；当 4时， 0a故 13S最大， k8方法 3：由于 (nS设2=)pqn是关于 n 的二次函数，点 (,)nS是二次函数2()yfx图象上一系列孤立的点，由 917，可得 9(17)f， fx的对称轴为9173，易知图象开口向下，故 (3)f最大，即 13S最大，故 3k【名师点睛】由于2 2211()()2n aadddSan，由二次函数的最大值、最小值的知识及 *N知，当 n 取最接近1的正整数时
12、， nS取得最大（小）值但应注意，最接近12ad的正整数有 1 个或 2 个数列求和问题对于数列求和问题，有以下几种类型：1求数列 |na的前 n 项和求和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和已知等差数列 na的前 n 项和29nS，求数列 |na的前 n 项和 T【答案】29,5.40nT【解析】当 1时，2198aS；当 2n时，2()(19()210nnnn ，且 108，所以 20*N显然，当 5时， 0na；当 5时， a；当 5n时， na故当 n时，21212| 9,nT S 当 时， 3454|n nS 29409综上，29,5.40
13、nTn【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号，找准临界值 ()n*N，分类讨论进行求解2倒序相加求前 n 项和教材中等差数列的前 n 项和公式的推导采用的就是倒序相加法，此处不再赘述3裂项相消求和裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们在求和的过程中出现相同 的 项 ， 且 这 些 项 能 够 相 互 抵 消 ， 从 而 将 求 n 个 数 的 和 的 问 题 转 化 为 求 几 个 数 的和 的 问 题 已知数列 na的通项公式为1()na，则其前 n 项和 nS_【答案】 1【解析】因为1()nan，所以11()()2341n nSnL+【名师点睛】在应用裂
14、项相消法求和时应注意：把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项已知数列 na的前 项和为 (1)nS，数列 nb的前 项和为 nT，若12Sb Sb，求 2019T的值【答案】09【解析】由 (1)nS可得 12aS，当 2时， na，从而数列 na的通项公式为 2()na*N当 时，由 12nbb 得 1211nSb ，10上述两式相减，可得 1nnSba，12()1nabSn当 1n时，得 1， 1，符合上式，故数列 nb的通项公式为2()nb*N从而 201922019 22019()()()23019T 忽略等差数列中为 0
15、 的项而出错设等差数列 na的前 n 项和为 nS，公差为 d，且满足 10a， 18S，则当n 为何值时 nS取得最大值？【错解】由 18，可得 11087+22aa，即 1=4ad，由 10a可知 d，解不等式组1()0,nd即4()0,n得 145n又 *N，故当 5时 S取得最大值【错因分析】由于 10a，所以 145，当 14n或 5时 nS最大，错解中忽略了数列中为 0 的项【正解 1】由 18S，得 11087+22dad，即 1=4ad，由 10a可知 d，解不等式组1()0,n即4()0,n得 145n由 *N可知，当 或 时 S取得最大值11【正解 2】由 18S，可得 1
16、=4ad，所以2()94()2nnd81，由 *N并结合 nS对应的二次函数的图象知，当 4n或 5时 nS最大【正解 3】由 18，得 123145167180aaa，即 157=， 150a，由 10a可知 d，故当 或 时 nS取得最大值【名师点睛】在等差数列 n中，若 10， ()pq，则（1） pq为偶数 当 2pq时 nS最大；（2） 为奇数 当1n或时 nS最大1设等差数列 na的前项和为 nS，若 94a， 16，则 9SA180 B90C72 D1002设等差数列 na的前 n 项和为 nS，若 12a，则可计算出A 204S B 215SC 6 D以上都不对3在等差数列 n
17、a中， 7，前 7 项和 742S，则其公差是A1B13C23D2124已知等差数列 na的前 项和为 3,6nSa，则 10a的值为A 1 B 3C 0 D 55若一等差数列前三项的和为 122，后三项的和为 148，又各项的和为 540，则此数列共有A3 项 B12 项C11 项 D10 项6已知数列 na的前 项和为 nS，若 1na， 0nS，则A90 B121C119 D1207已知等差数列 na的公差为正数，前 n项和为 nS，且 3712a， 46a，则 20S为A 18 B 80C 9 D 98若数列 na满足 15且 132na，则使 1ka的 k的值为A 2 B 2C 3
18、D 49设 nS为等差数列 na的前 项和，若 714S，则 a_10数列 是等差数列， 是它的前 n项和，已知 325， 97S，则6_11若等差数列 na的前 项和23nS，则通项公式 na_12已知等差数列共有 21项，其中奇数项之和为 290，偶数项之和为 263，则1na_13甲、乙两物体分别从相距 70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走 2m，以后每分钟比13前 1 分钟多走 1m，乙每分钟走 5m（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m，乙继续每分钟走 5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？14已知等差数列
19、 na中， 13， 5812a（1）求公差 d的值；（2）求数列 n的前 项和 nS的最小值1415设 nS为等差数列 na的前 项和，若 1a，公差 13,9ndS，则 n的值为A5 B6C7 D816已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 91， 240nS， 43na，则 的值为A17 B16C15 D1417已知数列 na为等差数列，若10a且它的前 n项和有最大值，则使 0nS成立的n的最大值为A 1 B 19C 20 D 218已知 nS是等差数列 na的前 项和，且 675S，给出下列五个命题： d； 10； 2S；数列 n中的最大项为 1S； 67|a其中正确命题的个数为A2
20、 B3C4 D519已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 10， 10S，则10S_1520已知等差数列 na， b的前 n项和分别为 ,nAB，且满足 3n，则12149ab的值为_21 （1）设 nS是等差数列 na的前 n 项和，若53109a，则95S_；（2）若数列 n， b的前 n 项和分别为 ,nT，且23n，则0715ab_22已知各项均为正数的数列 na中， 1， nS是数列 na的前 n 项和若对任意的*nN， 2nS2()ppR（1）求常数 p 的值；（2）求 n23已知数列 na的前 项和23nS，求数列 |na的前 项和 nT1624已知数列 na的前 项和为 n
21、S，且满足 120(2)nnaS， 1a（1）求证：1n是等差数列；（2）求 a的表达式；（3）若 (1)2)nnb，求证：2231nbb25 （2018 新课标全国理）设 nS为等差数列 na的前 项和，若 324S，12a，则 5A B 10C 0 D 226 （2016 新课标全国理）已知等差数列 na前 9 项的和为 27， 108a，则 10A100 B99C98 D971727 （2017 新课标全国理）记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a，648S，则 na的公差为A1 B2C4 D828 （2018 北京理）设 na是等差数列，且 13a， 256，则 na的通项公式
22、为_29 （2016 江苏）已知 n是等差数列， nS是其前 项和，若213， 510S，则9a的值是_30 （2017 新课标全国理）等差数列 na的前 项和为 nS， 3a， 4，则1nkS_31 （2018 新课标全国理）记 nS为等差数列 na的前 项和，已知 17a，35（1）求 na的通项公式；（2）求 S，并求 n的最小值32 （2016 新课标全国文）等差数列 na中， 3457,6a（1）求 na的通项公式；（2）设 b，求数列 nb的前 10 项和，其中 x表示不超过 x的最大整数，如180.9=0，2.6=2191 【答案】B【解析】由等差数列的性质得 209164aa，
23、从而199()20aS，故选 B2 【答案】B【解析】由于 12，所以12121()25aaS，故选 B5 【答案】B【解析】设此等差数列共有 n项，由题可得 123a，2148nna，上述两式相加可得 1248903na，所以又1()5402nnaS，解得12n，故选 B6 【答案】D【解析】因为11nan，所以(2)(32)()nS 1n，令 10n，解得10故选 D207 【答案】A【解析】由等差数列的性质得， 46374aa，又 3712a，所以 a3， a7是方程 2410x的两根，又公差 0d，所以 3,6，从而10a， d，所以 218S故选 A8 【答案】C【解析】因为 13n
24、a，所以 na是等差数列，且公差 12,53da，则24753na，所以由题设 10k可得475()()0kk，解得5472，则 23，故选 C9 【答案】 2【解析】1747 471,.2aaSa10 【答案】 50【解析】由等差数列的性质可知 3S， 63， 96S成等差数列，所以63962()()S，把 25， 7代入上式可得 650S11 【答案】 n【解析】方法 1： 134aS；当 2n时，22()()(1)nnaS 6因为 1n也适合上式，所以 6方法 2： 134， 2104naS，所以4()06na2113 【答案】 （1）7 分钟；（2）15 分钟【解析】 （1）设 n 分
25、钟后相遇，依题意得(1)2570n，整理得 2340，解得 7或 0（舍去） ，所以开始运动后 7 分钟相遇（2）设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意有(1)25703n，整理得 21340，解得 15或 8（舍去） ，第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟14 【答案】 （1） 3；（2） 【解析】 （1）由 5812a，得 1145(7)2()ad，因为 13，所以d（2）由（1）可得 12()3()1nadn，令 0na，得 2，所以 12560aa 所以 nS的最小值为 51S4d25(3)1315 【答案】B【解析】因为数列的前 n项和 n与 a满足关系式 nnSa1，所以有 19n
26、a，又 na为等差数列，所以 1396n，故选 B2217 【答案】B【解析】等差数列的前 n项和 nS有最大值，则公差 0d，则 10a，若 10a，则 10a，10，与已知矛盾，故 10，则由 10得 10， 1，所以 2012010()()Saa，99()2aS，因此使 n的 的最大值为 9故选 B18 【答案】B【解析】因为 7670Sa， 6560Sa，所以 760da，正确；116()2a，正确；75670S，121267()0()aSa，不正确；因为 ,a，所以数列 n的最大项为 6S，不正确；因为 6767a，所以 67|a，正确故选 B19 【答案】 10【解析】 12101
27、01045()45()9S a 102a，所以 0()a20 【答案】34【解析】设等差数列 na的公差为 d，等差数列 nb的公差为 d，23则191519121493422aadaAa bbbbB，3nAB，所以93.124AB21 【答案】 2 17【解析】 （1）由等差数列前 n 项和的性质得9531029Sa（2）由等差数列前 n 项和的性质得202175 .7abT22 【答案】 （1） p；（2）234nS【解析】由 a及2nnpa，得 2p，所以 1p由2nS，得 11nSa ，可得2()nnn，所以 11()(2)0nna，由于 0na，所以 10na，即 1na，由等差数列
28、的定义可得数列 n是首项为 1，公差为 2的等差数列，所以2(1)34nS23 【答案】23(8,)569nnTN【解析】当 1时，2130aS；当 2n，2(1)()34.nnnn 因为 时适合上式，所以 n的通项公式为 a24由 340na，得172n，即当 8()nN时， 0na；当 9时，当 18()N时，21212| 3.nnnTaaa 当 9n时，121289108|()()356.n nnTaS 综上，可得2(,)nN24 【答案】 （1）见解析；（2）1 (1)2 2-)nan；（3）见解析【解析】 （1）因为 1nnS，所以 11()nnSS，因为 0nS，所以 12n，又
29、12a，所以nS是以 2 为首项，2 为公差的等差数列（2）由（1）可得11nn，所以12nS，当 n时，12()nnaS，当 1n时， 12aS，所以(1) 22nna（3）由（2）可得1nnb，所以25223221111()33()23nbbnn ()1n，故 23nb 25 【答案】B【解析】设数列 na的公差为 d，根据题中的条件可得3243()2dd，整理解得 3，所以51410a，故选 B【名师点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的前 n项和公式，求出公差 d，之后利用等差数列的通项公式求 5a26 【答案】C【解析】由
30、已知193627,8da所以110, 9.ad故选 C27 【答案】C【解析】设公差为 ， 4511134274adad，6115682Sad，联立 1,658解得 ，故选 C【秒杀解】因为6634()()aSa，即 3416a，则 4534()()218a，即 5328d，解得 ，故选 C28 【答案】 6n【解析】因为 1，所以 46d，解得 d，所以3()3na29 【答案】2026【解析】由 510S得 32a，因此29()3,2360.dda30 【答案】2n【解析】设等差数列的首项为 1a，公差为 d，由题意有12340ad，解得1ad，数列的前 n 项和 1()(1)()22n
31、nnS，裂项可得2()()kSk，所以11112()2()23nk nn 31 【答案】 （1） 9na， （2）28S，最小值为 6【思路分析】 （1）根据等差数列的前 项和公式求出公差，再代入的等差数列通项公式即可；（2）根据等差数列的前 n项和公式可得 nS，根据二次函数的对称轴及自变量为正整数可求 nS的最小值【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列的最值问题可利用函数的性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件32 【答案】 （1）235na；（2）24【解析】 （1）设数列 n的公差为 d，由题意有 254ad， 1206a，解得 12,5ad，27所以 na的通项公式为235na （2）由（1）知nb，当 n1，2，3 时，23,15nb；当 4，5 时，23,25nb；当 6，7，8 时，4,n；当 9，10 时，,4n，所以数列 nb的前 10 项和为 1322
