1、12.5 等比数列的前 n 项和1等比数列的前 n 项和公式若等比数列 a的首项为 1，公比为 q，则等比数列 na的前 项和的公式为1_,.,nnSq2等比数列前 n 项和公式的函数特性（1）当公比 _1q时，因为 10a，所以 1nSa是关于 n 的正比例函数，则数列 123,nSL的图象是正比例函数 yx图象上的一群孤立的点（2）当公比 _q时，等比数列的前 n项和公式是1()nnqS，即1nnaS1，设1mq，则上式可写成nnSmq的形式，则数列 123,nSL的图象是函数xy图象上的一群孤立的点由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 nS是一个关于 n 的指数型函数与一个常数的和
2、，且指数型函数的系数与常数项互为相反数3等比数列前 n 项和的性质设等比数列 a的前 n 项和为 nS，公比为 q，则利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式可推得等比数列的前 n 项和具有以下性质：（1）当 q时， _mS；当 1时，nnmS（2）nnnmqS（3）若项数为 2，则偶奇，若项数为 21，则1_Sa奇 偶2（4）当 1q时，连续 m项的和（如 232,mmSSL）仍组成等比数列（公比为m， 2）注意：这里连续 m 项的和均非零K 知识参考答案：1 na 1()nq2 3nqK重点 等比数列前 n 项和公式的应用、基本量的计算K难点 等比数列前 n 项和的性质及应用、与等差数列的
3、综合问题、数列求和问题K易错 运用前 n 项和公式时忽略对公比的讨论等比数列的前 n 项和的相关计算问题在等比数列问题中共涉及五个量： 1,aq及 S，利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式即可“知三求二”注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用（1）已知等比数列 n是递增数列， n是 a的前 n 项和，若 1a， 3是方程209x的两个根，则 6S_； （2）在等比数列 na中，公比为 q，前 n 项和为 nS，若 37， 6S，则na_， _【答案】（1）364；（2） 12n， 【解析】（1）因为 1a， 3是方程 209x的两个根，且 na是递增数列，所以 1a， 39，则公比3
4、1aq，所以661(3)4S（2）方法 1：由于 632S，所以 ，由 37， ，可得3316()7aq， 可得319q，解得 2q，代入 得 1a，所以11nna，1()(2)=1nnnqS方法 2：因为33612345612123()()SaaaqaSq，且 37， 6，所以37q，解得 ，由 37S，解得 1，所以112nnaq，1()(12)=1nnnaSq【名师点睛】本题中，第（2）问中的方法 1 使用了求和公式，因此要对公比 q 是否为 1 作出判断，而方法 2 避开了使用求和公式，则避免了这一判断在使用等比数列前 n 项和公式时，一定要先确定公比 q 是否等于 1，当无法确定时，
5、要对 q 是否为 1 作分类讨论等比数列的前 n 项和性质的应用已知等比数列 na的前 n 项和为 S，若 102， 0=6S，则30S_【答案】140【解析】方法 1：设 na的公比为 q，由于 201S，所以 q由 102S， 0=6列方程组即可求解，此处不再赘述方法 2：由 1， 20S，易得公比 ，根据等比数列前 n 项和的性质（1），可得02011Sq，即010162q，解得102q，4又303011Sq，所以33012=7S， 3014S方法 3：根据等比数列前 n 项和的性质（2），可得1020Sq，即1062q，解得102q，所以103026Sq方法 4：根据等比数列前 n 项
6、和的性质（4），可知 10， 210， 320S成等比数列，则22010320()()SS，即230(6)(6)S，解得 304【名师点睛】恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论解题时把握好等比数列前 n 项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点等差数列、等比数列的综合问题已知等比数列 na的公比12q（1）若 3a4，求数列 n的前 项和；（2）证明：对任意的 k*N， ka， 2， 1k成等差数列【答案】（1）12()3n；（2）证明见解析【解析】（1）由 14aq及1，得 a，所以数
7、列 na的前 项和12()13()nnnS（ ）（2）对任意的 k*N， 11121()2()()kkkkkkqaqaq，由q，得2=0，故 21()kk=05所以，对任意的 k*N， ka， 2， 1k成等差数列【名师点睛】解决等差数列与等比数列综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化与等比数列有关的数列求和问题1错位相减法的应用错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前 n 项和公式的推导用的就是错位相减法当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前 n 项和已知数列 na是首项为正数
8、的等差数列，数列 1na的前 项和为 21n（1）求数列 的通项公式；（2）设 12nanb，求数列 nb的前 项和 nT【答案】（1） n；（2）134)(9nT【解析】（1）设数列 a的公差为 d，令 ,n得 123，所以 123；令 ,得 1235a，所以 235a由 12及 ，解得 1,d，所以 21.na（2）由（1）知24nnnb所以 4T4,nL所以234nT1(),nL两式相减，得124n14nn11()344,nn所以13(3)99nT6【名师点睛】在运用错位相减法求数列前 n 项和时要注意以下四点：（1）乘数（式）的选择；（2）对 q 的讨论；（3）两式相减后的未消项及相消
9、项呈现的规律；（4）相消项中构成数列的项数2分组求和法的应用分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成 nncab的形式的数列求和问题，其中数列 na与 b是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列已知 是等差数列，且 13a， 42，数列 nb满足 14， 20b，且 nb是等比数列（1）求数列 na和 b的通项公式；（2）求数列 的前 项和【答案】（1） 3na，12nnb；（2）3(1)2n【解析】（1）设等差数列 n的公差为 d，由题意，得413ad，所以 1()3()nad*N，设等比数列 nb的公比为 q，由题意，得3412083baq，解得 2q所以11()2na，从而 ()nn*N
10、（2）由（1）知， 3()n*N，因为数列 n的前 n 项和为12，数列12n的前 n 项和为12n，所以数列 b的前 n 项和为3()【名师点睛】（1）本题采用了分组求和法，其实质是利用加法结合律对一个求和式子进行重新组合，合并“同类项”后，再分别求和（2）利用分组求和法解题的步骤：7根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；分组求和，分别求出各个数列的和；得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题利用等比数列的前 n 项和公式时忽略对公比的讨论从而导致错误在数列 na中，若2(0)nm，求 na的前 n 项和 nS【错解】由题易得， 242212(
11、)()nnnnS mLLL2()nm【错因分析】错解在求 nS时忽略了对公比是否等于 1 的讨论，且默认 na是等比数列【正解】当 1时， 0a，所以 0n；当 m时， 2，所以()()12nnnmS；当 1时，2(1)()nnS综上，20,(1),(),1nn nSm【名师点睛】无论是求等比数列的前 n 项和 nS，还是已知等比数列的前 n 项和求其他量，只要使用等比数列前 n 项和公式，就要对公比 q 是否为 1 作分类讨论81在等比数列 na中， 327， 69a，则 na的前 4 项和为A81 B120C168 D1922已知等比数列 na中，132nn，则由此数列的奇数项所组成的新数
12、列的前 n 项和nSA 3(14)nB 3(41)nC D3已知等比数列 na中， 5824a，等差数列 nb中， 564a，则数列 nb的前9项和 SA B 18C 36 D 724已知数列 na满足 1320na， 253，则 na的前 10 项和等于A103()B1023()C102()D10()5设 nS是等比数列 na的前 项和， 32a， 39S，则公比 qA 21B 21C 1或D 1或6已知等比数列 na的前 项和为 nS， 1352a，且 245a，则nSaA 14n B 1n9C 12n D 21n7已知等比数列 na中， 231， 2364a，则 na的前 项和nS_8在
13、等比数列 n中， 36,9S，则 S_9已知 a为等比数列， 472a， 8a，则 10a_10已知数列 n，若新数列 1， ， 23， n，是首项为 1，公比为12的等比数列，则 na_11已知数列 n的前 项和为 nS，1()3na*N（1）求 1a， 2； （2）求证：数列 n是等比数列1012已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，公差 d0，且 4236,Sa成等比数列（1）求数列 的通项公式；（2）设nab，求数列 nb的前 n 项和 T13在等比数列 na中， 267,91S，则 4SA28 B32C35 D4914等比数列 na的前 项和记为 nS，若 84:2:3，则 12
14、4:SA7:9 B1:3C5:7 D3:515在等比数列 na中， 13，前 n项和为 nS，若数列 2na也是等比数列，则nS等于A 21 B 3C D 1n1116设等比数列 na的前 项和为 nS，若 23， 186S，则510_17已知 S表示正项等比数列 a的前 项和若 a， 376，则 10S的值是_18若数列 nA满足21n，则称数列 nA为“平方递推数列” 已知数列 na中，19a，点 (,)a在函数2()fx的图象上，其中 n 为正整数（1）证明：数列 n是“平方递推数列” ，且数列 lg(+1)a为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前 n 项之积为 nT，求 n；
15、19已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，等比数列 nb的前 n 项和为 nT，满足 1ab，2b， 213ST， 3b（1）求数列 n， 的通项公式；（2）设nacb，求数列 nc的前 n 项和 nC1220已知单调递增的等比数列 na满足 2348a，且 32是 a， 4的等差中项（1）求数列 n的通项公式；（2）若12logba， 12nnSb ，对任意的正整数 n，()0nnSm恒成立，试求实数 m的取值范围21 （2017 新课标全国理）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381
16、盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A1 盏 B3 盏C5 盏 D9 盏1322 （2018 新课标全国理）记 nS为数列 na的前 项和，若 21nSa，则6S_23 （2017 江苏）等比数列 na的各项均为实数，其前 n项和为 nS，已知 374，634S，则 8_24 （2018 新课标全国文）等比数列 n中， 1a， 534a（1）求 na的通项公式；（2）记 S为 的前 项和若 63mS，求 25 （2018 北京文）设 na是等差数列，且 1ln2a， 35ln2a（1）求 n的通项公式；（2）求 12eenaa 1426 （2017 新课标全国
17、文）记 Sn为等比数列 na的前 n 项和，已知 S2=2， S3=6（1）求 na的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2是否成等差数列27 （2017 北京文）已知等差数列 na和等比数列 nb满足 1a， 2410a，245ba（1）求 n的通项公式；（2）求和： 13521nbb 1528 （2017 新课标全国文）已知等差数列 na的前 项和为 nS，等比数列 nb的前 项和为 nT， 12,aba（1）若 35，求 n的通项公式；（2）若 ，求 3S29 （2018 天津文）设 na是等差数列，其前 n项和为*()nSN； nb是等比数列，公比大于 0，其前
18、 项和为*()TN已知 1b， 32， 435a，5462ba（1）求 nS和 ；（2）若 124nnTab（ ） ，求正整数 的值1630 （2017 山东文）已知 na是各项均为正数的等比数列，且 121236,aa（1）求数列 的通项公式；（2） nb为各项非零的等差数列，其前 n 项和 Sn，已知 211nnb，求数列na的前 n 项和 T31 （2017 天津理）已知 na为等差数列，前 n 项和为 ()nSN， nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， 231b， 3412ba， 4（1）求 n和 的通项公式；（2）求数列 21na的前 n 项和 ()N1732 （2018
19、浙江）已知等比数列 na的公比 1q，且 34528a， 4a是 3，5a的等差中项数列 b满足 1，数列 ()nnb的前 项和为 2n（1）求 q的值；（2）求数列 n的通项公式181 【答案】B【解析】设等比数列 na的公比为 q，则363729aq，解得 3q又31279aq，所以等比数列 n的前 4 项和44(120)S，故选 B3 【答案】B【解析】由于 na为等比数列，所以285a，又 584a，所以 54，在等差数列 nb中， 465，所以 b，数列 nb的前 9项和1995()182S，故选 B4 【答案】C【解析】 1320na， 123nna， na是等比数列，公比为23q
20、，首项为 15，01010()()qS故选 C5 【答案】C【解析】332929 1213213 qaaaS，又,213qa解得 1q或61a，故选 C196 【答案】D【解析】因为2413aq，所以213115()4aqa+=，解得 21a，则 2na=12()n-，2()1nnnS-，所以 2nnaS，故选 D7 【答案】 1n【解析】因为 12364a，所以 24a，又 231a，所以 38a，公比 2q，所以 1，所以1()nnS8 【答案】21【解析】由等比数列前 n 项和的性质知： 3696,SS成等比数列，因为363,S所以 9612S，解得 92110 【答案】12()n【解析
21、】依题意可得 12311()2()()()()nn naaa，即()nn，所以2()nn11 【答案】 （1）a， 214；（2）证明见解析20【解析】 （1）由13Sa，得13a，所以 12a又2，所以 12，解得 24（2）当 n时， 11()()3nnnnaSa，即 12na，又 1a，所以 n是首项为 2，公比为 的等比数列12 【答案】 （1） n93 n；（2） 35178nnT【解析】 （1）由题意得 6a，即211()()5adad，解得 2d或 d0（舍去） 41136Saa，得 d3 n 1（ n1） d6 3（ n1）93 n，即 a93 n（2） nb9328nan，
22、1b64，18n n是以 64 为首项， 为公比的等比数列，1 3164()()5287nnn nbqT13 【答案】A【解析】因为 na是等比数列，所以每相邻两项的和也成等比数列，所以 2S，42S， 64S成等比数列，即 447,91S成等比数列，所以(7)(91)，解得 28或 （舍去） ，故选 A 2115 【答案】B【解析】设等比数列 na的公比 q，则13naq，由数列 2na也是等比数列得132nq是等比数列，所以032， ，2为等比数列，所以102()()3，得 1，即 1，所以 1nSa故选 B16 【答案】33【解析】由题意可得公比 1q，因为3611()()2,8aqaq
23、，所以616333()8,9,80,2aq解得 1q（舍去）或 2q，故101010555Sq18 【答案】 （1）证明见解析；（2） lg21nT【解析】 （1）由题意得 1nna，即2(1)na，则 na是“平方递推数列” 22对21()nna两边取对数得 1lg()2lg(1)nnaa，所以数列 lg+是以 1l)为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1）知1(+nna，则 12l)n nTg(l(1lg(1)12nnan19 【答案】 （1） na，13nnb；（2） 15243nnC【解析】 （1）设等差数列 的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q，则11212()33adbq，解
24、得123abq，故 n，nnb（2）由（1）知，13nac，故 2 214()3nn nC ，21134()33n n，得： 22127()nnnC11()37)3n21()nn1523n，23所以 15243nnC20 【答案】 （1） na；（2） (,1【解析】 （1）设等比数列 n的首项为 a，公比为 q依题意，有 324()，代入 2348，得 3a，因此 240a，即3120,8,aq解得 1,q或 1,2又数列 n单调递增，则 1,a故 2n（2）因为 2lognnb，所以31nnS ，234 1()12n，得2nn 1(1)nn1122nn因为 ()0nSma，所以 +1+1+
25、1220nnnm 对任意正整数 恒成立，所以 112nn对任意正整数 n恒成立，即12n恒成立因为 n，所以 m，故实数 的取值范围是 (,21 【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯 x盏，则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38，解得 3，即塔的顶层共有灯243 盏，故选 B【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放
26、回到实际问题中，进行检验，最终得出结论22 【答案】 63【解析】根据 21nSa可得 12nSa，两式相减可得 12nnaa，即 1na，当 时， ，解得 1，所以数列 是以为首项， 2为公比的等比数列，所以66(2)3S23 【答案】32【解析】当 1q时，显然不符合题意；当 1q时，316()74aq，解得142aq，则78123【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但
27、在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法24 【答案】 （1）1(2)nna或1na；（2） 6m2525 【答案】 （1） ln2；（2） 12n【解析】 （1）设等差数列 a的公差为 d，因为 235la，所以 135ln，又 1ln，所以 n2d所以 1()ln2（2）由（1）知 l，因为 ln2leenna，所以 ena是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以212lll 12nna n ，所以 121eena 26 【答案】 （1） ()nn；（2）12()3nnS， S， n，
28、2成等差数列，证明见解析【思路分析】 （1）由等比数列通项公式解得 2q， 1a即可求解；（2）利用等差中项即可证明 nS， ， 2n成等差数列【解析】 （1）设 na的公比为 q由题设可得12(),6.aq解得 2q， 1，故 n的通项公式为 ()nn（2）由（1）可得11()2()3nSq26由于3212142()()3n nn nS S，故 1n， ， 2n成等差数列27 【答案】 （1） 1na；（2）1n【思路分析】 （1）设等差数列的公差为 d，代入建立方程进行求解；（2）由 nb是等比数列，知 2nb依然是等比数列，并且公比是2q，再利用等比数列求和公式求解【解析】 （1）设等差
29、数列 na的公差为 d因为 240a，所以 1240，解得 2，所以 21na（2）设等比数列 nb的公比为 q因为 45，所以319，解得23，所以21213nnbq从而2113521nnbb 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；裂项相消法求和，一般适用于 1nac，ncn1等的形式；错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以 2 即可得到数列求和28 【答案】 （1）1nb；（2）当 5q时， 3 21S；当 4q时， 3 6S
30、【思路分析】 （1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和【解析】设 na的公差为 d， nb的公比为 q，则 1()nad，1nbq27由 2ab得 3dq （1）由 35得26，联立和解得 0q（舍去）或1dq，因此 nb的通项公式为12nb（2）由 1b， 32T得 0，解得 5或 4q当 5q时，由得 8d，则 321S当 4时，由得 1d，则 36S29 【答案】 （1）(1)2nS，nT；（2） （2）由（1）可得 13 112 21(2
31、)2()nn nnT ，由 12()4nnnSTab 可得11()nn，整理得 340，解得 （负值舍去） ，所以 的值为 430 【答案】 （1） 2na；（2）25nnT【思路分析】 （1）列出关于 1,aq的方程组，解方程组求基本量；（2）用错位相减法求和【解析】 （1）设 n的公比为 ，由题意知：2211()6,aqaq又 0na，解得 12， q，所以 2n28（2）由题意知：1221 1()()nn nbSb ，又 211,0,nnSb所以 n，令nca，则2nc，因此 12231572nn nnTcc ，又 234157n n，两式相减得 21112()nnnT，所以25nn31
32、 【答案】 （1） 3na， 2nb；（2）13843n【思路分析】 （1）根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列的首项 和公差 d及等比数列的公比 q，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列 21nab的前 n 项和【解析】 （1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 的公比为 q由已知 23b，得21()bq，而 1，所以260又 0q，解得 ，所以 2n由 3412ba，可得 138da ，由 1=S，可得 56 ，联立，解得 1， 3d，由此可得 32na所以数列 na的通项公式为 2na，数列 b的通项公式为 2nb（2）设数
33、列 21b的前 项和为 nT，29由 26na，1214nnb，有 21(3)4nnab，故3458()T，24 1()nnn ，上述两式相减，得23 134(3)4nnT 11()()nn1(32)48n，即13284nnT，所以数列 21nab的前 项和为132843n【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和32 【答案】 （1） 2q；（2）2115(43)nnb【解析】 （1）由 4a是 35,的等差中项可得 354a，所以 358，解得 4由 3520a可得1()20q，因为 1q，所以 2（2）设 1nncba，数列 nc前 n 项和为 nS由 1,2nnS可得 41n由（1）可知 na，所以11()2nb，故21(45),nnb，112321()()nnnbbb3023111(45)(49)(7322nn设2375),nnT，则221111()(49)(45)(2 2nnn ，上述两式相减可得2 13()()nnnT ，所以2114(),nnT，又 1b，所以25(43)nn
