1、第七讲 等差数列与等比数列,总纲目录,考点一 等差、等比数列的基本运算,1.等差数列的通项公式及前n项和公式 an=a1+(n-1)d;Sn= =na1+ d.,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 an=a1qn-1(q0);Sn=,1.(2018课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S 2+S4,a1=2,则a5= ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=- a1, 又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=-10,故选
2、B.,2.(2018课标全国,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析 (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.,方法归纳 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,d(或q),n,an与
3、 Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中a1和 d(或q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题 一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这 两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题 中的体现. 提醒 注意等差数列中公差d=0的情况和等比数列中公比q=1 的情况.,1.(2018湖南湘东五校联考)已知在等比数列an中,a3=7,前三项之 和S3=21,则公比q的值是 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或,答案 C 当q=1时,an=7,S3=21,符合题意;当q1时, 得q=- .综上,q的值是1或- ,选C.,2.(2
4、018湖北武汉调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数 列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3. (1)若a3+b3=7,求bn的通项公式; (2)若T3=13,求Sn.,解析 (1)设an的公差为d,bn的公比为q(q0),则an=-1+(n-1)d, bn=qn-1. 由a2+b2=3,得d+q=4, 由a3+b3=7,得2d+q2=8, 联立和解得q=0(舍去)或q=2, 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)T3=b1(1+q+q2),1+q+q2=13,解得q=3或q=-4, 或 Sn=na1+ n(n-1)d= n2- n或4n2-5n.,考点二
5、等差、等比数列的性质,1.等差数列的性质 (1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq; (2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差数列; (3)am-an=(m-n)dd= (m,nN*,且mn); (4) = (A2n-1,B2n-1分别为an,bn的前2n-1项的和).,2.等比数列的性质 (1)若m,n,r,sN*,且m+n=r+s,则aman=aras; (2)an=amqn-m; (3)当an的公比q-1(或q=-1且m为奇数)时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, 是等比数列.,命题角度一:等差(比)数列项的性质,1.(2018广东惠州模拟
6、)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2+a3+ a4=15,a7=13,则S5= ( ) A.28 B.25 C.20 D.18,答案 B 通解:设等差数列an的公差为d,由已知得 解得 所以S5=5a1+ d=51+2=25,故选B. 优解:由an是等差数列,可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5= = =25,故选B.,2.(2018河南洛阳第一次统考)已知数列an为等比数列,a4+a7=2,a5 a6=-8,则a1+a10的值为 ( ) A.7 B.-5 C.5 D.-7,答案 D 在等比数列an中,a5a6=-8,a4a7=-8,又a4+a7=2,解得a4 =4,a7=-2
7、或a4=-2,a7=4.若a4=4,a7=-2,则q3=- ,a1=-8,a10=a7q3=1,a 1+a10=-7;若a4=-2,a7=4,则q3=-2,a1=1,a10=a7q3=-8,a1+a10=-7.综上 可得,a1+a10=-7.,命题角度二:等差(比)数列和的性质,1.一个等差数列an的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S偶 与前12项中奇数项的和S奇之比为 ,则公差d等于( ) A.5 B.6 C.10 D.12,答案 A 由题意可知 解得 又由等差数列的性质,可得S偶-S奇=6d,即192-162=6d,解得d=5.故选 A.,2.设等比数列an的前n项和为Sn,若
8、=3,则 等于 ( ) A.2 B. C. D.3,答案 B 由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,由 =3可得,S6=3S3,S9-S6=2(S6-S3)=4S3,即S9=7S3,所以 = .故选B.,方法归纳 等差、等比数列性质应用问题求解策略 (1)等差数列an的前n项和Sn= =n (n为奇数)是常用的 转化方法. (2)熟练运用等差、等比数列的性质,如m+n=p+q时,若an为等差 数列,则am+an=ap+aq;若an为等比数列,则有aman=apaq,可减少运 算过程,提高解题效率.,(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知
9、a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,命题角度三:等差数列前n项和的最值问题,解析 (1)设an的公差为d, 由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2, 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法归纳 等差数列an的前n项和公式Sn=na1+ d的变形为Sn= n2+n. (1)当d0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n, Sn)是抛物线y= x2+ x上一系列孤立的点.当d0时,Sn有最 小值;当d0时,S
10、n有最大值.,1.(2018湖北黄冈模拟)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且a1 a6=2a3,a4与2a6的等差中项为 ,则S5= ( ) A.36 B.33 C.32 D.31,答案 D 设an的公比为q(q0),a1a6=2a3,而a1a6=a3a4,a3a4=2 a3,a4=2. 又a4+2a6=3,a6= ,q= ,a1=16,S5= =31.故选D.,2.(2018吉林长春监测)在等差数列an中,已知a6+a11=0,且公差d 0,则其前n项和取最小值时n的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 C 由题意知a60,且a1+5d+a1+10d=0,所以a1=- d
11、,又 Sn=na1+ d= (n-8)2-64,所以当n=8时,数列an的前n项和取 得最小值.故选C.,3.(2018重庆调研)在各项均为正数的等比数列an中,若a5=5,则 log5a1+log5a2+log5a9= .,答案 9,解析 因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以由等比数 列的性质可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6= =52,则log5a1+log5a2+log5 a9=log5(a1a2a9)=log5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log5 =log559 =9.,考点三 等差、等比数列的判断与证明,命题角度一:等差数列的判定与证明,(20
12、17课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2 =2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析 (1)设an的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,命题角度二:等比数列的判定与证明 (2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an. 设bn= . (1)求b1,b2,b3;
13、 (2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,方法归纳 判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题 (1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前n项和 公式法,但不作为证明方法. (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三 项不成等差(等比)数列. (3) =an-1an+1(n2,nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件, 也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0. 提醒 (1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的 方法是用定义判断或证明,其他方法最后都会回到定义,如证明等,差数列可以证明通项公式是n的一次
14、函数,但最后还得使用定义 才能说明其为等差数列. (2)证明数列an为等比数列时,不能仅仅证明an+1=qan,还要说明q 0,才能递推得出数列中的各项均不为零,最后断定数列an为 等比数列.,数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式.,解析 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. 于是 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.,
