1、1微专题 3 不等式与线性规划命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第 59 或第1315 题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上。2.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大。2018全国卷T 13线性规划求最值2018全国卷T 14线性规划求最值2018北京高考T 8线性规划区域问题2018浙江高考T 15不等式的解法2017全国卷T 14线性规划求最值考向一 不等式的性质
2、与解法【例 1】 (1)已知 ab0，则下列不等式中恒成立的是( )A a b B a b1b 1a 1a 1bC. D. abbab 1a 1 a b2(2)已知函数 f (x)( ax1)( x b)，若不等式 f (x)0 的解集是(1,3)，则不等式f (2 x)b0，所以 b ，故 A 正确；对于1a1b 1b 1aB，取 a1， b ，则 a 1 2， b 2 ，故 a b 不成立，故 B 错误；12 1a 11 1b 12 52 1a 1b根据不等式的性质可得 0 的解集是(1,3)，所以 a0，解得 x 或 x0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的
3、解集。(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解。变|式|训|练1(2018北京高考)能说明“若 ab，则 b，但是 ，故答案可以为1a1b1，1。(答案不唯一，满足 a0， b4。答案 (1,4) (1,3(4，)3考向二 基本不等式及其应用【例 2】 (1)(2018天津高考)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值18b为_。(2)已知 ab，且 ab1，则 的最小值是_。a2 b2a b解析 (1)由 a3 b60，得 a3 b6，所以 2a 2 3b6 218b 123b22 3 ，当且仅当 23b6 ，即 b1 时等号成立。23b
4、6123b 14 123b(2) a b 2 ，当且仅当 a b 时取得等号。a2 b2a b a b 2 2aba b 2a b 2 2a b答案 (1) (2)214 2在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号成立)的条件，否则会出现错误。 变|式|训|练1已知 a0， b0，若不等式 0 恒成立，则 m 的最大值为( )m3a b 3a 1bA4 B16C9 D3解析 因为 a0， b0，所以由 0 恒成立得， m (3a b)m3a b 3a 1b (3a 1b)1
5、0 恒成立。因为 2 6，当且仅当 a b 时等号成立，所以 103ba 3ab 3ba 3ab 3ba3ab 16，所以 m16，即 m 的最大值为 16。故选 B。3ba 3ab答案 B2已知函数 f (x)ln( x )，若正实数 a， b 满足 f (2a) f (b1)0，则1 x2 的最小值是_。1a 1b解析 因为 f (x)ln( x )， f ( x)ln( x )，所以 f (x) f 1 x2 1 x2( x)ln( x )( x )ln10，所以函数 f (x)ln( x )为1 x2 1 x2 1 x2R 上的奇函数，又 y x 在其定义域上是增函数，故 f (x)l
6、n( x )在其定1 x2 1 x24义域上是增函数，因为 f (2a) f (b1)0， f (2a) f (b1)， f (2a) f (1 b)，所以 2a1 b，故 2a b1。故 2 1 32 3。(当且仅当 且 2a b1，1a 1b 2a ba 2a bb ba 2ab ba 2ab 2 ba 2ab即 a ， b 1 时，等号成立。)2 22 2答案 2 32考向三 线性规划及其应用微考向 1：求线性目标函数的最值【例 3】 (2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为_。解析 作可行域，则直线 z x y 过点 A(5,4)时取最大值 9
7、。答案 9线性目标函数 z ax by 最值的确定方法(1)将目标函数 z ax by 化成直线的斜截式方程( z 看成常数)。(2)根据 的几何意义，确定 的最值。zb zb(3)得出 z 的最值。 变|式|训|练(2018天津高考)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x5 y 的最大值为( )A6 B19C21 D455解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 y x，平移该直35线，当经过点 C 时， z 取得最大值，由Error!得Error!即 C(2,3)，所以zmax325321。故选 C。答案 C微考向 2：线性规划中的参数问题【例 4】
8、 (2018山西八校联考)若实数 x， y 满足不等式组Error!且 3(x a)2( y1)的最大值为 5，则 a_。解析 设 z3( x a)2( y1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z3( x a)2( y1)得 y x ，作出直线 y x，平移该直线，易知当32 3a 2 z2 32直线过点 A(1,3)时， z 取得最大值，又目标函数的最大值为 5，所以 3(1 a)2(31)5，解得 a2。答案 26解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值。 变|式|训
9、|练已知 x， y 满足约束条件Error!目标函数 z2 x3 y 的最大值是 2，则实数 a( )A B112C D432解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数 z2 x3 y的最大值是 2，由图象知 z2 x3 y 经过平面区域的点 A 时目标函数取得最大值 2。由Error!解得 A(4,2)，同时 A(4,2)也在直线 ax y40 上，所以 4a2，则 a 。故选12A。答案 A1(考向一)(2018福建联考)已知函数 f (x)Error!若 f (2 x2)f (x)，则实数 x 的取值范围是( )A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2
10、,1)解析 易知 f (x)在 R 上是增函数，因为 f (2 x2)f (x)，所以 2 x2x，解得21,0logb2 018 Blog ba(c b)ba D( a c)ac(a c)ab解析 因为 a1,00，log b2 018logb2 018，所以 A 正确；因为 0logablogac，所以 (c b)ba，所以 C 正确；因为 ac0，所以( a c)ac0， b0)过圆x2 y24 x2 y10 的圆心，则 的最小值为_。4a 2 1b 1解析 圆 x2 y24 x2 y10 的圆心坐标为(2，1)。由于直线ax2 by2( a0， b0)过圆 x2 y24 x2 y10
11、的圆心，故有 a b1。所以 4a 2 (a2 b1)1b 1 14( 4a 2 1b 1) 2 ，当且仅当 a2 b 时，取等号，145 4 b 1a 2 a 2b 1 54 14 4 b 1a 2 a 2b 1 94 23故 的最小值为 。4a 2 1b 1 94答案 944(考向三)(2018南昌联考)设不等式组Error!表示的平面区域为 M，若直线 y kx经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为( )A. B.(12， 2 12， 43C. D.12， 2 43， 2解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线 y kx 经过点A(2,1)时， k 取得最小
12、值 ，当直线 y kx 经过点 C(1,2)时， k 取得最大值 2，可得实数 k12的取值范围为 。故选 C。12， 28答案 C5(考向三)(2018广州测试)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x22 x y2的最小值为( )A B12 14C D12 34解析 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示， z x22 x y2( x1)2 y21，其几何意义是平面区域内的点( x， y)到定点(1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为 ，故 z x22 x y2的最12小值为 zmin 1 。故选 D。14 34答案 D
