1、1微专题 1 直线与圆命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷 T6直线与圆位置关系的应用2018北京高考 T7点到直线距离的最值2017全国卷 T10直线与圆的位置关系2016全国卷 T4圆的方程、点到直线的距离1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。考向一 直线的方程【例 1】 (1)已知直线 l1：( k3) x(4 k)y10 与直线 l2：2( k3)x2 y30 平行，则 k
2、 的值是( )A1 或 3 B1 或 5C3 或 5 D1 或 2(2)在 ABC 中， A(1,1)， B(m， )(10， b0)，由直线 l 过点 M(2,2)，得xa yb 1，又 S OAB ab8，所以 a4， b4，不妨设 A(4,0)， B(0,4)， OAB 外接圆的2a 2b 12方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则将 O， A， B 的坐标分别代入得Error!解得Error!所以OAB 外接圆的方程为 x2 y24 x4 y0，标准方程为( x2) 2( y2) 28。解法二：设直线 l 的方程为 1( a0， b0)，由直线 l 过点 M(2,2)，得 1。xa
3、yb 2a 2b又 S OAB ab8，所以 a4， b4，所以 OAB 是等腰直角三角形，且 M 是斜边 AB 的中12点，则 OAB 外接圆的圆心是点 M(2,2)，半径| OM|2 ，所以 OAB 外接圆的标准方程是2(x2) 2( y2) 28。答案 (1)B (2)( x2) 2( y2) 28求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。 变|式|训|练1抛物线 y24 x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A， B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M， A， B 三
4、点的圆的标准方程为_。解析 由题意知， A(1,2)， B(1，2)， M(1,0)， AMB 是以点 M 为直角顶点的直角三角形，则线段 AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为( x1) 2 y24。答案 ( x1) 2 y242在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_。解析 解法一：由题意得：半径等于 |m 1|m2 1 m 1 2m2 1 1 2mm2 14 ，当且仅当 m1 时取等号，所以半径最大为 r ，所求圆为( x1)1 2|m|m2 1 2 22 y22。解法二：直线 mx y2 m1
5、0， y m(x2)1 恒过点 M(2，1)，如图，设 C(1,0)，则 M 为切点时半径最大，且 rmax| CM| ，所以半径最大的圆 2 1 2 1 2 2的标准方程为( x1) 2 y22。答案 ( x1) 2 y22考向三 直线与圆的位置关系微考向 1：直线与圆的相交弦【例 3】 (1)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N 两点，若| MN| ，则直线 l 的方程为_。255(2)设直线 x y a0 与圆 x2 y24 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若 AOB 为等边三角形，则实数 a 的值为( )A
6、B C3 D93 6解析 (1)直线 l 的方程为 y kx1，圆心 C(2,3)到直线 l 的距离 d |2k 3 1|k2 1，由 R2 d2 2得 1 ，解得 k2 或 ，所求直线 l 的方程为|2k 2|k2 1 (12|MN|) 2k 2 2k2 1 15 12y2 x1 或 y x1。12(2)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为 2，则 AOB 的边长为 2，所以 AOB 的高为，即圆心到直线 x y a 0 的距离为 ，所以 ，解得 a 。故3 3| a|12 1 2 3 6选 B。答案 (1) y2 x1 或 y x1 (2)B12(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
7、5研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。(2)弦长的求解方法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2 d2 (其中l24l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)，弦长 l2 。r2 d2根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交点1 k2的横坐标， k 为直线的斜率)，或根据 l |y1 y2|求解。1 1k2求出交点坐标，用两点间距离公式求解。 变|式|训|练(2018合肥一模)设圆 x2 y22 x2 y20 的圆心为
8、C，直线 l 过(0,3)，且与圆 C交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3 x4 y120 或 4x3 y90B3 x4 y120 或 x0C4 x3 y90 或 x0D3 x4 y120 或 4x3 y90解析 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，圆心到直线 l 的距离为d1，所以| AB|2 2 ，符合题意。当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为4 1 3y kx3，因为圆 x2 y22 x2 y20 即( x1) 2( y1) 24，所以圆心为 C(1,1)，圆的半径 r2，易知圆心 C(1,1)到直线 y kx3 的距离 d
9、 ，因为|k 1 3|k2 1 |k 2|k2 1d2 2 r2，所以 34，解得 k ，所以直线 l 的方程为(|AB|2 ) k 2 2k2 1 34y x3，即 3x4 y120。综上，直线 l 的方程为 3x4 y120 或 x0。故选34B。答案 B微考向 2：直线与圆位置关系的应用【例 4】 (1)(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆( x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2(2)(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos ，si
10、n )到直线x my20 的距离。当 ， m 变化时， d 的最大值为( )6A1 B2C3 D4解析 (1)因为直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点。所以 A(2,0)，B(0，2)，则| AB|2 。因为点 P 在圆( x2) 2 y22 上，所以圆心为(2,0)，则圆心到2直线的距离 d1 2 。故点 P 到直线 x y20 的距离 d2的取值范围为|2 0 2|2 2 ， 3 。则 S ABP |AB|d2 d22,6。故选 A。2 212 2(2)解法一：因为 cos2 sin 2 1，所以 P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x my20 表示过点(2,
11、0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值。故选 C。解法二：由题意可得d |cos msin 2|m2 1 |msin cos 2|m2 1| m2 1( mm2 1sin 1m2 1cos ) 2|m2 1|m2 1sin 2|m2 1，因为1sin( )1，所以(其 中 cos mm2 1， sin 1m2 1) d ， 1 ，所以当 m0 时， d 取最大值 3。|2 m2 1|m2 1 m2 1 2m2 1 m2 1 2m2 1 2m2 1故选 C。答案 (1)A (2)C利用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常规的方法简单、便
12、捷。 变|式|训|练1(2018太原五中模拟)已知 kR，点 P(a， b)是直线 x y2 k 与圆7x2 y2 k22 k3 的公共点，则 ab 的最大值为( )A15 B9C1 D53解析 由题意得，圆心到直线 x y2 k 的距离 d ，且| 2k|2 k2 2k 3k22 k30，解得3 k1，因为 2ab( a b)2( a2 b2)4 k2( k22 k3)3 k22 k3，所以当 k3 时， ab 取得最大值 9。故选 B。答案 B2(2018山西晋中二模)由直线 y x1 上的一点 P 向圆( x3) 2 y21 引切线，则切线长的最小值为_。解析 设圆心 M 到直线 y x
13、1 的距离为 d，则 d 2 ，所以| PM|的|3 0 1|12 1 2 2最小值为 2 。所以切线长 l 。则切线长的最小值为 。2 |PM|2 1 22 2 1 7 7答案 71(考向一)已知直线 l1： ax( a2) y10， l2： x ay20，其中 aR，则“a3”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 直线 l1 l2的充要条件是 a( a2) a0，所以 a(a3)0，所以 a0 或a3。故选 A。答案 A2(考向二)(2018安徽“江南十校”联考)已知圆 C 的圆心在直线 x y0 上，圆 C与直线 x y0 相
14、切，且在直线 x y30 上截得的弦长为 ，则圆 C 的方程为6_。解析 因为所求圆的圆心在直线 x y0 上，所以设所求圆的圆心为( a， a)。又因为所求圆与直线 x y0 相切，所以半径 r |a|。又所求圆在直线 x y302|a|2 2上截得的弦长为 ，圆心( a， a)到直线 x y30 的距离 d ，所以6|2a 3|2d2 2 r2，即 2 a2，解得 a1，所以圆 C 的方程为( x1) 2( y1)(62) 2a 3 22 3222。答案 ( x1) 2( y1) 2283(考向三)(2018郑州外国语中学调研)已知圆 C1：( x2 a)2 y24 和圆C2： x2( y
15、 b)21 只有一条公切线，若 a， bR 且 ab0，则 的最小值为( )1a2 1b2A2 B4 C8 D9解析 由题意可知，圆 C1的圆心为(2 a,0)，半径为 2，圆 C2的圆心为(0， b)，半径为 1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以 21，即 4a2 b21。所以 (4a2 b2) 2a 0 2 0 b 21a2 1b2 (1a2 1b2)5 52 9，当且仅当 ，且 4a2 b21，即 a2 ， b2 时b2a2 4a2b2 b2a24a2b2 b2a2 4a2b2 16 13等号成立，所以 的最小值为 9。故选 D。1a2 1b2答案 D4(考向三)(2018南宁
16、、柳州联考)过点( ，0)作直线 l 与曲线 y 相交于2 1 x2A， B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于_。解析 令 P( ，0)，如图，易知| OA| OB|1，所以 S2AOB |OA|OB|sin AOB sin AOB ，当 AOB90时， AOB 的面积取得最大12 12 12值，此时过点 O 作 OH AB 于点 H，则| OH| ，于是 sin OPH ，易知 OPH22 |OH|OP| 222 12为锐角，所以 OPH30，则直线 AB 的倾斜角为 150，故直线 AB 的斜率为 tan150 。33答案 335(考向三)某学校有
17、 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高9一和高三抽取样本数分别为 a， b，且直线 ax by80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于B， C 两点，且 BAC120，则圆 C 的方程为_。解析 由题意， ，所以 a40， b24，所以直线 ax by80，1002 500 a1 000 b600即 5x3 y10， A(1，1)到直线的距离为 ，因为直线 ax by80 与|5 3 1|25 9 334以 A(1，1)为圆心的圆交于 B， C 两点，且 BAC120，所以 r ，所以圆 C 的方程634为( x1) 2( y1) 2 。1817答案 ( x1) 2( y1) 21817
