1、1微专题 2 椭圆、双曲线、抛物线命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 8直线与抛物线位置关系2018全国卷T 11双曲线的几何性质2018全国卷T 5双曲线的渐近线2018全国卷T 12椭圆的离心率2018全国卷T 11双曲线的离心率圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择、填空题的形式考查，常出现在第 411 或 1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等。考向一 圆锥曲线的定义与标准方程【例 1】 (1)(2018衡水中学五调)设 F1、 F2分别是椭圆 1 的左、右焦点，x225 y216P 为椭圆上任意一点，点 M 的坐标
2、为(6,4)，则| PM| PF1|的最小值为_。(2)(2018天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂x2a2 y2b2直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点。设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为( )A 1 B 1x24 y212 x212 y24C 1 D 1x23 y29 x29 y23解析 (1)由椭圆的方程可知 F2(3,0)，由椭圆的定义可得| PF1|2 a| PF2|。所以|PM| PF1| PM|(2 a| PF2|)| PM| PF2|2 a| MF2|2 a，当且仅当 M
3、， P， F2三点共线时取得等号，又| MF2| 5,2 a10，所以 6 3 2 4 0 2|PM| PF1|5105，即| PM| PF1|的最小值为5。(2)由 d1 d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3。因为双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，所以 2，所以 4，所以 4，解得x2a2 y2b2 ca a2 b2a2 a2 9a2a23，所以双曲线的方程为 1。故选 C。x23 y29答案 (1)5 (2)C2(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式。(2)求解圆锥曲线的标准方
4、程的方法是“先定型，后计算” 。所谓“定型” ，就是指确定类型，所谓“计算” ，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2， b2， p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。 变|式|训|练1已知双曲线 y21 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P 在双曲线上，且满足x23|PF1| PF2|2 ，则 PF1F2的面积为( )5A1 B 3C D512解析 在双曲线 y21 中， a ， b1， c2。不妨设 P 点在双曲线的右支上，x23 3则有| PF1| PF2|2 a2 ，又 |PF1| PF2|2 ，所以3 5|PF1| ，| PF2| 。又| F1F2|2 c4，而|
5、 PF1|2| PF2|2| F1F2|2，所以5 3 5 3PF1 PF2，所以 S PF1F2 |PF1|PF2| ( )( )1。故选 A。12 12 5 3 5 3答案 A2(2018昆明调研)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与C 交于 A， B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN| AB|，则 l 的倾斜角为( )A15 B30C45 D60解析 分别过 A， B， N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 A， B， C，由抛物线的定义知| AF| AA|，| BF| BB|，| NC| (|
6、AA| BB|) |AB|，因为12 12|MN| AB|，所以| NC| |MN|，所以 MNC60，即直线 MN 的倾斜角为 120，又直线12MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30。故选 B。答案 B考向二 圆锥曲线的几何性质微考向 1：圆锥曲线的简单几何性质【例 2】 (1)已知双曲线 C1： y21 与双曲线 C2： y21，给出下列说法，x22 x223其中错误的是( )A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等(2)(2018福州联考)过双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别作双曲线的两x2a2
7、 y2b2条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x2C y x D y2 x3解析 (1)由题意知 C2： y2 1，则两双曲线的焦距相等且 2c2 ，焦点都在圆x22 3x2 y23 上，其实为圆与坐标轴的交点。渐近线方程都为 y x。由于实轴长度不同，22故离心率 e 不同。故选 D。ca(2)由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 ，又 44b2 c2 3b2 a2条直线分别与两条渐近线平行，所以 ，解得 a
8、 b，所以该双曲线的渐近线的ba 3b2 a2a2 b2斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 y x。故选 A。答案 (1)D (2)A(1)椭圆、双曲线中 a， b， c 之间的关系在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e ；在双曲线中： c2 a2 b2，离心率ca 1 (ba)2为 e 。ca 1 (ba)2(2)双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x。注意离心率 e 与渐近线的x2a2 y2b2 ba斜率的关系。 变|式|训|练1已知双曲线 x21 的两条渐近线分别与抛物线 y22 px(p0)的准线交于 A， By24两点， O 为坐标原点。若 OAB 的面积为 1，则
9、 p 的值为( )4A1 B 2C2 D42解析 双曲线的两条渐近线方程为 y2 x，抛物线的准线方程为 x ，故 A， B 两p2点的坐标为 ，| AB|2 p，所以 S OAB 2p 1，因为 p0，解得 p(p2， p) 12 p2 p22，故选 B。2答案 B2(2018武汉调研)已知双曲线 C： 1( m0， n0)的离心率与椭圆 1x2m2 y2n2 x225 y216的离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线方程为( )A4 x3y0B3 x4y0C4 x3y0 或 3x4y0D4 x5y0 或 5x4y0解析 由题意知，椭圆中 a5， b4，所以椭圆的离心率 e ，所以双曲线1
10、b2a2 35的离心率为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 y x x，即1 n2m2 53 nm 43 nm 434x3y0。故选 A。答案 A微考向 2：离心率问题【例 3】 (2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，x2a2 y2b2A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形，36 F1F2P120，则 C 的离心率为( )A B23 12C D13 14解析 5由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设| F1F2|2 c，因为 PF1F2为等腰三角形，且 F1F2P120，所以| PF2| F1F2|
11、2 c。因为| OF2| c，所以点 P 坐标为(c2 ccos60，2 csin60)，即点 P(2c， c)。因为点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，336所以 ，解得 ，所以 e ，故选 D。3c2c a 36 ca 14 14答案 D椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值。 ca变|式|训|练1(2018广州调研)在直角坐标系 xOy 中，设 F 为双曲线 C： 1( a0， b0)x2a2 y2b2的右焦点， P 为双曲线 C 的右支上一点，且
12、 OPF 为正三角形，则双曲线 C 的离心率为( )A B3233C1 D23 3解析 解法一：设 F为双曲线的左焦点，| F F|2 c，依题意可得| PO| PF| c，连接 PF，由双曲线的定义可得| PF| PF|2 a，故| PF|2 a c，在 PF O 中， POF120，由余弦定理可得 cos120 ，化简可得c2 c2 2a c 22c2c22 ac2 a20，即 22 20，解得 1 或 1 (不合题意，舍去)，故(ca) ca ca 3 ca 3双曲线的离心率 e1 。故选 C。36解法二：依题意| OP| OF| c| PF|，又 OPF 为正三角形，所以 F OP12
13、0，所以| PF| c，又| PF| | PF|2 a c c，所以 e 1。故选3 32c2a 2c3c c 3C。答案 C2(2018豫南九校联考)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0)，动点 P(x， y)在直线l： y x3 上移动，椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为( )A B55 105C D255 2105解析 解法一：不妨设椭圆方程为 1( a1)，与直线 l 的方程联立得Error!x2a2 y2a2 1消去 y 得(2 a21) x26 a2x10 a2 a40，由题意易知 36 a44(2 a21)(10 a2 a4)0，解得 a
14、 ，所以 e ，所以 e 的最大值为 。故选 A。5ca 1a 55 55解法二：若求椭圆 C 的离心率的最大值，因为 c1， e ，所以只需求 a 的最小值。ca因为 P 在椭圆上，依定义得| PA| PB|2 a，而 A(1,0)关于直线 l： y x3 的对称点为 A(3,2)，所以| PA| PB| PA| PB| A B|2 ，即 2a2 ，所以5 5a ，所以 emax 。故选 A。515 55答案 A考向三 直线与圆锥曲线的位置关系7【例 4】 (2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B 两点。若 A
15、MB90，则 k_。解析 解法一：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!所以 y y 4( x1 x2)，所以 k21 2 ，取 AB 中点 M( x0， y0)，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足分y1 y2x1 x2 4y1 y2别为 A， B。因为 AMB90，所以| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA| BB|)。因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴，因为 M(1,1)，所12以 y01，则 y1 y22，即 k2。解法二：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为y k(x1)(
16、 k0)，由Error!消去 y 得 k2(x1) 24 x，即 k2x2(2 k24) x k20，设A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x21。由Error!消去 x 得 y24 ，即2k2 4k2 (1ky 1)y2 y40，则 y1 y2 ， y1y24，由 AMB90，4k 4k得 ( x11， y11)( x21， y21) x1x2 x1 x21 y1y2( y1 y2)10，将MA MB x1 x2 ， x1x21 与 y1 y2 ， y1y24 代入，得 k2。2k2 4k2 4k答案 2将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的
17、关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法。 变|式|训|练1(2018潍坊统考)已知抛物线 y24 x 与直线 2x y30 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，设 OA， OB 的斜率分别为 k1， k2，则 的值为( )1k1 1k2A B14 12C D14 12解析 设 A ， B ，易知 y1y20，则 k1 ， k2 ，所以 (y214， y1) (y24， y2) 4y1 4y2 1k1 1k2，将 x 代入 y24 x，得 y22 y60，所以 y1 y22， 。故选y1 y24 y 32 1k1 1k2 12D。答案 D82(2
18、018常德一模)已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于A， B 两点，弦 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5，则直线 l 的斜率为( )A B122C D63 62解析 由题意知直线 l 的斜率存在且不为零，设直线 l 的方程为 y k(x1)，点A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0)。由Error!得 k2x2(2 k24) x k20，所以 x1 x2 。又因为弦 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5，所以 2k2 4k2 x1 x22 15，所以 x1 x2 8，解得 k2
19、 ，所以 k 。故选 C。p2 x1 x22 2k2 4k2 23 63答案 C1(考向一)(2018惠州调研)设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，x29 y25若线段 PF1的中点在 y 轴上，则 的值为( )|PF2|PF1|A B C D514 59 49 513解析 如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中点，所以 OM PF2，可得 PF2 x 轴，可求得| PF2| ，| PF1|2 a| PF2| ， 。故选 D。53 133 |PF2|PF1| 513答案 D2(考向一)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，
20、且与x2a2 y2b2 52椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )x212 y23A 1 B 1x28 y210 x24 y259C 1 D 1x25 y24 x24 y23解析 由 y x，可得 。 由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)，可得52 ba 52 x212 y23a2 b29。 由可得 a24， b25。所以 C 的方程为 1。故选 B。x24 y25答案 B3(考向二)(2018贵阳摸底)椭圆 C： 1( ab0)的左顶点为 A，右焦点为x2a2 y2b2F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P， Q 两点，若 cos PAQ ，则椭圆 C 的离心率 e3
21、5为( )A B 12 22C D33 23解析 解法一：根据题意可取 P ， Q ，所以(c，b2a) (c， b2a)tan PAF 1 e，cos PAQcos2 PAFcos 2 PAFsinb2aa c b2a2 ac a2 c2a2 ac a ca2 PAF ，故 55(1 e)cos2 PAF sin2 PAFcos2 PAF sin2 PAF 1 tan2 PAF1 tan2 PAF 1 1 e 21 1 e 2 35233(1 e)28(1 e)22(1 e)2 。又椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1)，所以141 e ， e 。故选 A。12 12解法二：设 PAF ，
22、则 cos PAQcos2 ，cos 2 ，cos 35 1 cos22 45，所以 sin ，所以 tan ，所以 a(a c)2 b22( a2 c2)，25 15 12 b2a a c2c2 ac a20,2 e2 e10，解得 e 。故选 A。1210答案 A4(考向二)(2018洛阳统考)过椭圆 1 上一点 H 作圆 x2 y22 的两条切线，x29 y24A， B 为切点。过 A， B 的直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于 P， Q 两点，则 POQ(O 为坐标原点)的面积的最小值为( )A B12 23C1 D43解析 依题意，设 H(3cos ，2sin )(sin cos
23、 0)，由题意知 H， A， O， B 四点共圆，故以 OH 为直径的圆的方程为 x(x3cos ) y(y2sin )0，即x2 y23 xcos 2 ysin 0，所以两圆方程相减得公共弦 AB 所在直线的方程为3xcos 2 ysin 20，所以 P ， Q ，所以 S POQ (23cos ， 0) (0， 1sin ) 12 | 23cos | 1 。故选 B。|1sin | 23 1|sin2 | 23 23答案 B5(考向三)(2018郑州质检)设抛物线 y24 x 的焦点为 F，过点 M( ，0)的直线与5抛物线相交于 A， B 两点，与抛物线的准线相交于 C 点，| BF|3
24、，则 BCF 与 ACF 的面积之比 ( )S BCFS ACFA B34 45C D56 67解析 设点 A 在第一象限，点 B 在第四象限， A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x my 。由 y24 x 得 p2，因为| BF|3 x2 x21，所以 x22，则5p2y 4 x2428，所以 y22 ，由Error! 得 y24 my4 0，由根与系数的关系，2 2 5得 y1y24 ，所以 y1 ，由 y 4 x1，得 x1 。过点 A 作 AA垂直于准线5 10 2152x1，垂足为 A，过点 B 作 BB垂直于准线 x1，垂足为 B，易知 CBBCAA，所以 。又| BB| BF|3，| AA| x1 1 ，S BCFS ACF |BC|AC| |BB |AA | p2 52 72所以 。故选 D。S BCFS ACF 372 67答案 D
