1、12.2.2 向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算知识点一 相反向量思考 实数 a 的相反数为 a，向量 a 与 a 的关系应叫做什么？答案 相反向量梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有： a( a)0.若 a， b 互为相反向量，则 a b， a b0.零向量的相反向量仍是零向量知识点二 向量的减法思考 根据向量的加法，如何求作 a b?答案 先作出 b，再按三角形或平行四边形法则作出 a( b)梳理 (1)向量减法的定义若 b x
2、 a，则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记为 a b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法(2)向量的减法法则以 O 为起点，作向量 a， b，则 a b，即当向量 a， b 起点相同时，从 b 的终点OA OB BA 指向 a 的终点的向量就是 a b.1相反向量就是方向相反的向量( )提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系2向量 与 是相反向量( )AB BA 提示 与 大小相等、方向相反AB BA 3 ，( a) a.( )AB BA 2提示 根据相反向量的定义可知其正确4两个相等向量之差等于 0.( )提示 两个相等向量之差等于 0.类型一 向量减
3、法的几何作图例 1 如图，已知向量 a， b， c 不共线，求作向量 a b c.解 方法一 如图，在平面内任取一点 O，作 a， b，则 a b，再作 c，OA AB OB OC 则 a b c.CB 方法二 如图，在平面内任取一点 O，作 a， b，则 a b，再作 c，连结OA AB OB CB OC，则 a b c.OC 引申探究若本例条件不变，则 a b c 如何作？解 如图，在平面内任取一点 O，作 a， b，则 a b.再作 c，则OA OB BA CA a b c.BC 反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个
4、向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量跟踪训练 1 如图所示，已知向量 a， b， c， d，求作向量 a b， c d.3解 如图所示，在平面内任取一点 O，作 a， b， c， d.OA OB OC OD 则 a b ， c d .BA DC 类型二 向量减法法则的应用例 2 化简下列式子：(1) ；NQ PQ NM MP (2)( )( )AB CD AC BD 解 (1)原式 0.NP MN MP NP PN NP NP (2)原式 AB CD AC BD ( )( ) 0.AB AC DC DB CB BC 反思与感悟 向量减法的三角形法则的
5、内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点跟踪训练 2 化简：(1)( )( )；BA BC ED EC (2)( )( )AC BO OA DC DO OB 解 (1)( )( )BA BC ED EC .CA CD DA (2)( )( )AC BO OA DC DO OB ( )AC BA DC DO OB AC BA DC DB BC DC DB BC CD DB 0.BC CB 类型三 向量减法几何意义的应用4例 3 已知| |6，| |9，求| |的取值范围AB AD AB AD 解 | | | | |
6、|，且| |9，| |6，3| |15.AB AD AB AD AB AD AD AB AB AD 当 与 同向时，| |3；AD AB AB AD 当 与 反向时，| |15.AD AB AB AD | |的取值范围为3，15AB AD 反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，若 a， b，则AB AD a b， a b.AC DB (2)在公式| a| b| a b| a| b|中，当 a 与 b 方向相反且| a| b|时，|a| b| a b|；当 a与 b 方向相同时，| a b| a| b|.(3)在公式| a| b| a b| a| b|中，当 a 与 b 方向相
7、同，且| a| b|时，|a| b| a b|；当 a 与 b 方向相反时，| a b| a| b|.跟踪训练 3 在四边形 ABCD 中，设 a， b，且 a b，| a b| a b|，则四边AB AD AC 形 ABCD 的形状一定是_答案 矩形解析 a b，AC 四边形 ABCD 为平行四边形，又 a b，| a b| a b|，DB | | |.AC DB 四边形 ABCD 为矩形.1.如图所示，在 ABCD 中， a， b，则用 a， b 表示向量 和 分别是AB AD AC BD _5答案 a b 和 b a解析 由向量的加法、减法法则，得 a b，AC AB AD b a.BD
8、 AD AB 2化简 的结果为_OP QP PS SP 答案 OQ 3若向量 a 与 b 满足| a|5，| b|12，则| a b|的最小值为_，| a b|的最大值为_答案 7 174若菱形 ABCD 的边长为 2，则| |_.AB CB CD 答案 2解析 2.|AB CB CD | |AB BC CD | |AC CD | |AD |5已知| a|6，| b|8，且| a b| a b|，则| a b|_.答案 10解析 设 a， b，以 AB， AD 为邻边作 ABCD(如图所示)，AB AD 则 a b， a b，AC DB 因为| a b| a b|，所以| | |.AC DB
9、又四边形 ABCD 是平行四边形，所以四边形 ABCD 是矩形，所以 AD AB，在 Rt DAB 中，| |6，| |8，AB AD 由勾股定理得| | 10，DB |AB， |2 |AD |2 62 82所以| a b| a b|10.61.向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义， 就可以把减法转AB BA 化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如 a b a( b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连结两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB， AD 分别表示向量 a， b，则两条对角线表
10、示的AB AD 向量为 a b， b a， a b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并AC BD DB 掌握一、填空题1化简 所得的结果是_PM PN MN 答案 0解析 0.PM PN MN NM MN 2已知一点 O 到 ABCD 的 3 个顶点 A， B， C 的向量分别是 a， b， c，则向量_.(用 a， b， c 表示)OD 答案 a b c解析 如图所示， a b c.OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC 3设平面内有四边形 ABCD 和 O， a， b， c， d，若 a c b d，则四边OA OB OC OD 形 ABCD 的形状是_答
11、案 平行四边形解析 由 ，即 ，OA OC OB OD OA OB OD OC 所以 ，所以四边形 ABCD 是平行四边形BA CD 4如图， D， E， F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 _.AD BE CD 7答案 0解析 ( )0.AD BE CF 12AB 12BC 12CA 12AB BC CA 5在边长为 1 的正三角形 ABC 中，| |的值为_AB BC 答案 3解析 如图，作菱形 ABCD，则| | | | .AB BC AB AD DB 36已知向量 a 的终点与向量 b 的起点重合，向量 c 的起点与向量 b 的终点重合，则下列结论正确的为_以
12、a 的起点为终点， c 的起点为起点的向量为( a b)；以 a 的起点为终点， c 的终点为起点的向量为 a b c；以 b 的起点为终点， c 的终点为起点的向量为 b c.答案 解析 根据题意画出图形如图所示，可知以 a 的起点为终点， c 的起点为起点的向量为( a b)，正确；以 a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为( a b c) a b c，正确；以 b 的起点为终点， c 的终点为起点的向量为( b c) b c，正确7如图，在四边形 ABCD 中，设 a， b， c，则 _.(用 a， b， cAB AD BC DC 表示)答案 a b c88已知 a， b，若| |1
13、2，| |5，且 AOB90，则| a b|_.OA OB OA OB 答案 13解析 | |12，| |5， AOB90，OA OB | |2| |2| |2，| |13.OA OB AB AB a， b，OA OB a b ，OA OB BA | a b| |13.BA 9如图所示，在梯形 ABCD 中， AD BC， AC 与 BD 交于点 O，则 _.BA BC OA OD DA 答案 CA 10.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，与 相等的向量有_(填序号)OA OC CD ； ； ； ； ； ； .CF AD DA BE CE BC CA CD AB AE 答案 解析 ，OA
14、 OC CD CA CD CF ，CE BC BC CE BE CF ， ，CA CD DA CF AB AE AD CF 填.二、解答题11.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，且| |4，| | |，求BC AB AC AB AC | |.AM 解 以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ACDB，9由向量加减法的几何意义可知， ， ，AD AB AC CB AB AC | | |，| | |，AB AC AB AC AD CB 又| |4， M 是线段 BC 的中点，BC | | | | | |2.AM 12AD 12BC 12.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长
15、为 1， a， b， c，试求| a b c|.AB BC AC 解 作 ，连结 CF，则 ，BF AC DB BF DF 而 a a b，DB AB AD BC a b c 且| |2.| a b c|2.DB BF DF DF 13已知向量 a， b 满足| a|1，| b|2，| a b|2，求| a b|的值解 在平面内任取一点 A，作 a， b，则 a b， a b.AD AB AC BD 由题意知，| | |2，| |1.AB BD AD 如图所示，过点 B 作 BE AD 于点 E，过 C 作 CF AB 交直线 AB 的延长线于点 F. AB BD2， AE ED AD .12
16、 12在 ABE 中，cos EAB .AEAB 14在 CBF 中， CBF EAB，cos CBF ，14 BF BCcos CBF1 ， CF .14 14 154 AF AB BF2 .14 94在 Rt AFC 中， AC ，AF2 CF28116 1516 6| a b| .6三、探究与拓展1014如图，已知 ABCDEF 是一正六边形， O 是它的中心，其中 b， c，则OB OC _.EF 答案 b c解析 b c.EF CB OB OC 15.如图，已知 a， b， c， d， e， f，试用 a， b， c， d， e， f 表OA OB OC OD OE OF 示以下向量：(1) ；AC (2) ；AD (3) .DF FE ED 解 (1) c a.AC OC OA (2) d a.AD AO OD OA OD (3) 0.DF FE ED DO OF FO OE EO OD
