1、1第 1 课时 平面向量的坐标表示及坐标运算学习目标 1.掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一 平面向量的坐标表示思考 1 如图，向量 i， j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是 30，且|a|4，以向量 i， j 为基底，如何表示向量 a?答案 a2 i2 j.3思考 2 在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为(1，1)，则 A 点位置确定了吗？给定向量 a 的坐标为 a(1，1)，则向量 a 的位置确定了吗？答案 对于 A 点，若给定坐标为 A(1，1)，则 A 点位置
2、确定对于向量 a，给定 a 的坐标为a(1，1)，此时给出了 a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此 a 的位置还与其起点有关梳理 (1)平面向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数 x， y，使得a xi yj.平面内的任一向量 a 都可由 x， y 唯一确定，我们把有序数对( x， y)叫做向量 a的(直角)坐标，记作 a( x， y)在平面直角坐标平面中， i(1，0)， j(0，1)，0(0，0)(2)点的坐标与向量坐标的区
3、别和联系表示形式不同向量 a( x， y)中间用等号连结，而点 A(x， y)中间没有等号区别意义不同点 A(x， y)的坐标( x， y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，a( x， y)的坐标( x， y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外( x， y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点( x， y)或向量( x， y)联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相2同知识点二 平面向量的坐标运算思考 设 i， j 是分别与 x 轴， y 轴同向的两个单位向量，若设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a x1i y1j， b x2i y2
4、j，根据向量的线性运算性质，向量 a b， a b， a( R)如何分别用基底 i， j 表示？答案 a b( x1 x2)i( y1 y2)j，a b( x1 x2)i( y1 y2)j， a x 1i y 1j.梳理 (1)设 a( x1， y1)， b( x2， y2)和实数 数学公式 文字语言表述向量加法a b( x1 x2， y1 y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a b( x1 x2， y1 y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘 a( x 1， y 1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(2)已知点 A(x1，
5、y1)， B(x2， y2)，那么向量 ( x2 x1， y2 y1)，即一个向量的坐标等于AB 该向量终点的坐标减去起点的坐标1相等向量的坐标相等( )2在平面直角坐标系内，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则向量 ( x1 x2， y1 y2)( )AB 提示 ( x2 x1， y2 y1)AB 3与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量分别为： i(1，0)， j(0，1)( )类型一 平面向量的坐标表示例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， OA4， AB3， AOx45， OAB105， a， b.四边形 OABC 为平行四边形OA AB 3(1)求向量 a， b
6、 的坐标；(2)求向量 的坐标；BA (3)求点 B 的坐标解 (1)如图，作 AM x 轴于点 M，则 OM OAcos454 2 ，22 2AM OAsin454 2 .22 2 A(2 ，2 )，故 a(2 ，2 )2 2 2 2 AOC18010575， AOy45， COy30.又 OC AB3， C ， ，(32， 332) AB OC ( 32， 332)即 b .(32， 332)(2) .BA AB (32， 332)(3) (2 ，2 )OB OA AB 2 2 ( 32， 332) .(2232， 22 332) B 的坐标为 .(2232， 22 332)反思与感悟 在
7、表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可4以利用向量、点的坐标定义求坐标跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点， AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限， D 为 AC 的中点，分别求向量 ， ， ， 的坐标AB AC BC BD 解 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，则顶点 A(0，0)， B(2，0)， C(2cos60，2sin60)， C(1， )， D ，3 (12， 32) (2，0)， (1， )，AB AC 3 (1， )，BC (1 2， 3 0) 3 .BD (12 2， 32 0) ( 32， 32)类型二 平
8、面向量的坐标运算例 2 已知三点 A(2，3)， B(5，4)， C(7，10)，点 P 满足 ( R)AP AB AC (1)当 为何值时，点 P 在函数 y x 的图象上？(2)若点 P 在第三象限，求实数 的取值范围解 设 P(x1， y1)，则 ( x12， y13)AP 因为 (3，1)， (5，7)，所以 AB AC AP AB AC (3，1) (5，7)(35 ，17 )，所以Error! 所以Error!所以点 P 的坐标是(55 ，47 )(1)令 55 47 ，得 .12所以当 时，点 P 在函数 y x 的图象上12(2)当点 P 在第三象限时，有Error!成立，解得
9、 1.实数 的取值范围是(，1)反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行5(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练 2 已知 a(1，2)， b(2，1)，求：(1)2a3 b；(2) a3 b；(3) a b.12 13解 (1)2 a3 b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7)(2)a3 b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1)(3) a b (1，2) (2，1)12 13 12 13 .(12， 1)
10、(23， 13) ( 76， 23)类型三 平面向量坐标运算的应用例 3 已知 A(2，4)， B(4，6)，若 ， ，则 的坐标为_AC 32AB BD 43BA CD 答案 (11， 113)反思与感悟 坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练 3 已知向量 a(2，1)， b(1，2)，若 ma nb(9，8)( m， nR)，则m n 的值为_答案 3解析 a(2，1)， b(1，2)， ma nb(2 m n， m2 n)(9，8)，即Error!解得Error!故 m n253.1设平面向量 a(3，5)
11、， b(2，1)，则 a2 b_.答案 (7，3)2已知向量 (3，2)， (5，1)，则向量 的坐标是_OA OB 12AB 答案 ( 4，12)解析 (8，1)，AB OB OA 6 .12AB ( 4， 12)3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)， B(1，2)， C(3，1)，且 2 ，则顶点 DBC AD 的坐标为_答案 (2，72)解析 设 D 点坐标为( x， y)，则 (4，3)， ( x， y2)，BC AD 由 2 ，得Error!Error! D .BC AD (2， 72)4已知点 A(0，1)， B(3，2)，向量 (4，3)，则向量 _.AC BC 答案
12、 (7，4)解析 (3，1)， (4，3)， (4，3)(3，1)(7，4)AB AC BC AC AB 5如图，在 66 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 a， b， c 满足c xa yb(x， yR)，则 x y_.答案 197解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为 1，则可得 a(1，2)，b(2，3)， c(3，4) c xa yb，Error!解得Error! 因此 x y .1971向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就
13、是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则7向量的终点坐标不是向量的坐标，若 A(xA， yA)， B(xB， yB)，则 ( xB xA， yB yA)AB 3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积一、填空题1已知向量 a(1，2)， b(1，0)，那么向量 3b a 的坐标是_答案 (4，2)解析 3 b a3(1，0)(1，2)(3，0)(1，2)(31，02)(4，2)2已知 a b(1，2)， a b(4，10)，则 a 的坐标为_12答案 (2，2)3已知向量 a(1，2)， b(2，3)， c(3，4)，且 c 1a 2b，则
14、1， 2的值分别为_答案 1，2解析 由Error! 解得Error!4在 ABCD 中，已知 (3，7)， (2，3)，对角线 AC， BD 相交于点 O，则 的坐标AD AB CO 是_答案 (12， 5)解析 ( )CO 12AC 12AB AD (2，3) (3，7) .12 12 ( 12， 5)5如果将 绕原点 O 逆时针方向旋转 120得到 ，则 的坐标是_OA (32， 12) OB OB 答案 (32， 12)解析 因为 所在直线的倾斜角为 30，绕原点 O 逆时针方向旋转 120得到OA (32， 12)所在直线的倾斜角为 150，所以 A， B 两点关于 y 轴对称，由此
15、可知 B 点坐标为OB ，故 的坐标是 .(32， 12) OB ( 32， 12)6已知向量 a(5，2)， b(4，3)， c( x， y)，若 3a2 b c0，则 c_.8答案 (23，12)解析 a(5，2)， b(4，3)， c( x， y)，且 3a2 b c0， c2 b3 a2(4，3)3(5，2)(815，66)(23，12)7已知 e1(1，2)， e2(2，3)， a(1，2)，则以 e1， e2为基底，将 a 分解成 1e1 2e2( 1， 2R)的形式为_答案 a e1 e217 47解析 设 a 1e1 2e2( 1， 2R)，则(1，2) 1(1，2) 2(2，
16、3)( 12 2，2 13 2)，由Error! 解得Error!所以 a e1 e2.17 478已知平面上三点 A(2，4)， B(0，6)， C(8，10)，则 的坐标是_12AC 14BC 答案 (3，6)9已知点 A(2，1)， B(2，3)且 ，则点 C 的坐标为_AC 12AB 答案 (0，2)10已知点 A(4，0)， B(4，4)， C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_答案 (3，3)解析 方法一 由 O， P， B 三点共线，可设 (4 ，4 )，则OP OB (4 4，4 )AP OP OA 又 (2，6)，由 与 共线，得(4 4)64 (2)0，解
17、得AC OC OA AP AC ，所以 (3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)34 OP 34OB 方法二 设点 P(x， y)，则 ( x， y)，因为 (4，4)，且 与 共线，所以 ，即OP OB OP OB x4 y4x y.又 ( x4， y)， (2，6)，且 与 共线，AP AC AP AC 所以( x4)6 y(2)0，解得 x y3，所以点 P 的坐标为(3，3)11已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限，| |6， xOA150，向量 的坐标为OA OA _9答案 (3 ，3)3二、解答题12已知点 A(3，4)与 B(1，2)，点 P 在直线 AB 上，且| |2|
18、 |，求点 P 的坐标AP PB 解 设 P 点坐标为( x， y)，| |2| |.AP PB 当 P 在线段 AB 上时， 2 .AP PB 即( x3， y4)2(1 x， 2 y)，Error! 解得Error! P 点坐标为 .(13， 0)当 P 在线段 AB 的延长线上时， 2 .AP PB ( x3， y4)2(1 x， 2 y)，Error! 解得Error!综上所述，点 P 的坐标为 或(5，8)(13， 0)13已知 a(2，1)， b(1，3)， c(1，2)，求 p2 a3 b c，并用基底 a， b 表示 p.解 p2 a3 b c2(2，1)3(1，3)(1，2)
19、(4，2)(3，9)(1，2)(2，13)设 p xa yb，则有Error! 解得Error! p a b.197 247三、探究与拓展14已知 A(3，0)， B(0， )， O 为坐标原点， C 在第二象限，且 AOC30， 3 OC ，则实数 的值为_OA OB 答案 1解析 由题意知 (3，0)， (0， )，OA OB 3则 (3 ， )，OC 3由 AOC30知，以 x 轴的非负半轴为始边， OC 为终边的一个角为 150，tan150 ，即 ， 1.3 3 33 331015已知点 A(1，2)， B(2，8)及 ， ，求点 C， D 和 的坐标AC 13AB DA 13BA CD 解 设点 C(x1， y1)， D(x2， y2)，由题意可得 ( x11， y12)， (3，6)，AC AB (1 x2，2 y2)， (3，6)DA BA ， ，AC 13AB DA 13BA ( x11， y12) (3，6)(1，2)，13(1 x2，2 y2) (3，6)(1，2)，13则有Error! 和Error!解得Error! 和Error! C， D 的坐标分别为(0，4)和(2，0)， (2，4)CD
