1、1第 2 课时 向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识点 向量平行的坐标表示已知下列几组向量：(1)a(0，3)， b(0，6)；(2)a(2，3)， b(4，6)；(3)a(1，4)， b(3，12)；(4)a ， b .(12， 1) ( 12， 1)思考 1 上面几组向量中， a， b 有什么关系？答案 (1)(2)中 b2 a，(3)中 b3 a，(4)中 b a.思考 2 以上几组向量中， a， b 共线吗？答案 共线思考 3 当 a b 时， a， b 的坐标成比例吗？答案 坐标
2、不为 0 时成比例梳理 (1)向量平行的坐标表示条件： a( x1， y1)， b( x2， y2)， a0.结论：如果 a b，那么 x1y2 x2y10；如果 x1y2 x2y10，那么 a b.(2)若 ，则 P 与 P1， P2三点共线P1P PP2 当 (0， )时 ， P 位 于 线 段 P1， P2的 内 部 ， 特 别 地 ， 当 1 时 ， P 为 线 段 P1P2的 中点 当 (，1)时， P 在线段 P1P2的延长线上当 (1，0)时， P 在线段 P1P2的反向延长线上1若向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且 a b，则 .( )x1y1 x2y2提示
3、 当 y1y20 时不成立2若向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且 x1y1 x2y20，则 a b.( )23若向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且 x1y2 x2y10，则 a b.( )类型一 向量共线的判定与证明例 1 (1)下列各组向量中，共线的是_ a(2，3)， b(4，6)； a(2，3)， b(3，2)； a(1，2)， b(7，14)； a(3，2)， b(6，4)答案 解析 中(2)634240， a 与 b 不平行；中 22334950， a 与 b 不平行；中 114(2)7280， a 与 b 不平行；中(3)(4)2612120
4、， a b.(2)已知 A(2，1)， B(0，4)， C(1，3)， D(5，3)判断 与 是否共线？如果共线，它AB CD 们的方向相同还是相反？解 (0，4)(2，1)(2，3)，AB (5，3)(1，3)(4，6)CD 方法一 (2)(6)340 且(2)40， 与 共线且方向相反AB CD 方法二 2 ， 与 共线且方向相反CD AB AB CD 反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪训练 1 已知 A， B， C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)， ， ，求证： .A
5、E 13AC BF 13BC EF AB 证明 设 E(x1， y1)， F(x2， y2) (2，2)， (2，3)， (4，1)，AC BC AB ， .AE 13AC (23， 23) BF 13BC ( 23， 1)3( x1， y1)(1，0) ，(23， 23)(x2， y2)(3，1) ，(23， 1)( x1， y1) ，( x2， y2) .(13， 23) (73， 0) ( x2， y2)( x1， y1) .EF (83， 23)4 (1) 0， .(23) 83 EF AB 类型二 利用向量平行求参数例 2 已知 a(1，2)， b(3，2)，当 k 为何值时， ka
6、 b 与 a3 b 平行？解 方法一 ka b k(1，2)(3，2)( k3，2 k2)，a3 b(1，2)3(3，2)(10，4)，当 ka b 与 a3 b 平行时，存在唯一实数 ，使 ka b (a3 b)由( k3，2 k2) (10，4)得Error! 解得 k .13方法二 由方法一知 ka b( k3，2 k2)，a3 b(10，4)， ka b 与 a3 b 平行，( k3)(4)10(2 k2)0，解得 k .13引申探究1若本例条件不变，判断当 ka b 与 a3 b 平行时，它们是同向还是反向？解 由例 2 知当 k 时， ka b 与 a3 b 平行，13这时 ka
7、b a b (a3 b)，13 13 0，13 ka b 与 a3 b 反向2在本例中已知条件不变，若问题改为“当 k 为何值时， a kb 与 3a b 平行？” ，又如何求 k 的值？解 a kb(1，2) k(3，2)(13 k， 22 k)，3a b3(1，2)(3，2)(6，4)，4 a kb 与 3a b 平行，(13 k)4(22 k)60，解得 k .13反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a b(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2 x2y10 求解跟踪训练 2 设向量 a(1，2)， b(2，3)，若向量 a
8、b 与向量 c(4，7)共线，则 _.答案 2解析 a b (1，2)(2，3)( 2，2 3)， a b 与 c 共线，( 2)(7)(2 3)(4) 20， 2.类型三 三点共线问题例 3 已知向量 ( k， 12)， (4，5)， (10， k)当 k 为何值时， A， B， C 三点共OA OB OC 线？解 (4 k，7)，AB OB OA (10 k， k12)，AC OC OA 若 A， B， C 三点共线，则 ，AB AC (4 k)(k12)7(10 k)，解得 k2 或 11，又 ， 有公共点 A，AB AC 当 k2 或 11 时， A， B， C 三点共线反思与感悟 (
9、1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若 A， B， C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪训练 3 已知 A(1，3)， B ， C(9，1)，求证： A， B， C 三点共线(8，12)证明 ，AB (8 1， 12 3) (7， 72)(91，13)(8，4)，AC 574 80，72 ，且 AB， 有公共点 A，AB AC AC A， B， C 三点共线1已知 a(1，2)， b(2， y)，若 a b，则 y 的值是_答案
10、 4解析 a b，(1) y220， y4.2与 a(6，8)平行的单位向量为_答案 或(35， 45) ( 35， 45)解析 设与 a 平行的单位向量为 e( x， y)，则Error! Error!或Error!3已知三点 A(1，2)， B(2，4)， C(3， m)共线，则 m 的值为_答案 6解析 A (2，4)(1，2)(1，2)B A (3， m)(1，2)(2， m2)C A， B， C 三点共线，即向量 A ， A 共线，B C 存在实数 使得 A A ，B C 即(1，2) (2， m2)(2 ， m 2 )Error! Error!即 m6 时， A， B， C 三点共
11、线4已知四边形 ABCD 的四个顶点 A， B， C， D 的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5)求证：四边形 ABCD 是梯形证明 A(3，1)， B(1，2)， C(1，1)， D(3，5) (2，3)， (4，6)AB CD 2 ，即| | | |，CD AB AB 12CD AB CD，且 AB CD，四边形 ABCD 是梯形65已知 A(3，5)， B(6，9)， M 是直线 AB 上一点，且| |3| |，求点 M 的坐标AM MB 解 设点 M 的坐标为( x， y)由| |3| |，得 3 或 3 .AM MB AM MB AM MB 由题意，得 ( x3，
12、 y5)， (6 x， 9 y)AM MB 当 3 时，( x3， y5)3(6 x， 9 y)，AM MB Error! 解得Error!当 3 时，( x3， y5)3(6 x， 9 y)，AM MB Error! 解得Error!故点 M 的坐标是 或 .(214， 8) (152， 11)1两个向量共线条件的表示方法已知 a( x1， y1)， b( x2， y2)，(1)当 b0， a b.(2)x1y2 x2y10.(3)当 x2y20 时， ，即两向量的相应坐标成比例x1x2 y1y22向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以
13、证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据一、填空题1已知向量 a( m， 4)， b(3，2)，且 a b，则 m_.答案 6解析 因为 a b，所以由(2) m430，解得 m6.2设向量 a( x， 1)， b(4， x)，且 a， b 方向相反，则 x_.答案 2解析 因为 a 与 b 方向相反，所以 b ma， m0，则有(4， x) m(x， 1)，所以Error!解得m2.又 m0，所以 m2， x m2.3
14、已知三点 A(1，1)， B(0，2)， C(2，0)，若 和 是相反向量，则 D 点坐标是AB CD 7_答案 (1，1)4已知向量 a(3 x1，4)与 b(1，2)共线，则实数 x 的值为_答案 15已知 a(2，1)， b( x，2)，且 a b 与 2a b 平行，则 x_.答案 4解析 因为( a b)(2 a b)，又 a b(2 x，1)，2 a b(4 x， 4)，所以(2 x)4(1)(4 x)0，解得 x4.6若三点 A(2，2)， B(0， m)， C(n， 0)(mn0)共线，则 的值为_1m 1n答案 12解析 因为 A， B， C 三点共线，所以 ，因为 (2，
15、m2)， ( n2，2)，所以AB AC AB AC 4( m2)( n2)0，所以 mn2 m2 n0，因为 mn0，所以 .1m 1n 127已知 e1(1，0)， e2(0，1)， a2 e1 e2， b e1 e2，当 a b 时，实数 _.答案 2解析 e1(1，0)， e2(0，1)， a2 e1 e2， b e1 e2， a2(1，0)(0，1)(2，1)， b (1，0)(0，1)( ，1)又 a b，2(1)1 0，解得 2.8已知向量 ( k， 6)， (4，5)， (1 k， 10)，且 A， B， C 三点共线，则OA OB OC k_.答案 176解析 (4 k，1)
16、，AB OB OA (3 k， 5)BC OC OB A， B， C 三点共线， ，AB BC 即(4 k)5(3 k)0，k .1769在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB DC， AD BC.已知点 A(2，0)，8B(6，8)， C(8，6)，则 D 点的坐标为_答案 (0，2)解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形设 D(x， y)，则有 ，即(6，8)(2，0)(8，6)( x， y)，解得( x， y)AB DC (0，2)，即 D 点的坐标为(0，2)10已知 A(1，4)， B(x，2)，若 C(3，3)
17、在直线 AB 上，则 x_.答案 2311已知向量 a(1，2)， b(2，3)，若 a b 与 a b 共线，则 与 的关系是_答案 12设 (2，1)， (3，0)， ( m， 3)，若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数OA OB OC m 的取值范围是_答案 m|mR 且 m6解析 A， B， C 三点能构成三角形 ， 不共线AB AC 又 (1，1)，AB OB OA ( m2，4)，AC 141( m2)0.解得 m6. m 的取值范围是 m|mR 且 m6二、解答题13设 A， B， C， D 为平面内的四点，且 A(1，3)， B(2，2)， C(4，1)(1)若 ，求点
18、 D 的坐标；AB CD (2)设向量 a ， b ，若 ka b 与 a3 b 平行，求实数 k 的值AB BC 解 (1)设点 D 的坐标为( x， y)由 ，得(2，2)(1，3)( x， y)(4，1)，AB CD 即(1，5)( x4， y1)，所以Error! 解得Error!所以点 D 的坐标为(5，6)(2)因为 a (2，2)(1，3)(1，5)，AB 9b (4，1)(2，2)(2，1)，BC 所以 ka b k(1，5)(2，1)( k2，5 k1)，a3 b(1，5)3(2，1)(7，2)由 ka b 与 a3 b 平行，得( k2)(2)(5 k1)70，解得 k .
19、13三、探究与拓展14已知直角坐标平面内的两个向量 a(1，3)， b( m，2 m3)，使得平面内的任意一个向量 c 都可以唯一的表示成 c a b，则 m 的取值范围是_答案 m|mR 且 m3解析 根据平面向量的基本定理知， a 与 b 不共线，即 2m33 m0，解得 m3.所以 m 的取值范围是 m|mR 且 m315如图所示，已知在 AOB 中， A(0，5)， O(0，0)， B(4，3)， ， ， ADOC 14OA OD 12OB 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标解 (0，5) ，OC 14OA 14 (0， 54) C .(0，54) (4，3) ， D .OD 12OB 12 (2， 32) (2， 32)设 M(x， y)，则 ( x， y5)，AM .AD (2 0， 32 5) (2， 72) ，AM AD x2( y5)0，即 7x4 y20.72又 ， ， ，CM (x， y 54) CB (4， 74) CM CB x4 0，74 (y 54)即 7x16 y20. 10联立，解得 x ， y2，127故点 M 的坐标为 .(127， 2)
