1、1第 1 课时 向量的数量积学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式知识点一 平面向量的数量积一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图思考 1 如何计算这个力所做的功？答案 W| F|s|cos .思考 2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理 平面向量的数量积(1)已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 ，我们把数量| a|b|co
2、s 叫做向量 a 与 b的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab| a|b|cos .(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为 0.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定知识点二 两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案 角梳理 两个向量的夹角(1)定义：已 知 两 个 非 零 向 量 a， b， 如 图 所 示 作 a， b， 则 AOB ， 称 为 向 量 a 与 b 的 夹OA OB 角 2(2)范围：0 180.(3)当 0时， a 与 b 同向；当 180时
3、， a 与 b 反向(4)当 90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a b.知识点三 平面向量数量积的几何意义思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影？什么叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影？答案 如图所示， a， b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则OA OB OB1| b|cos .|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，| a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影思考 2 向量 b 在向量 a 方向上的投影与向量 a 在向量 b 方向上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同梳理 (1)条件：向量 a 与 b 的夹角为 .
4、(2)投影：向量 b 在 a 方向上的投影 |b|cos向量 a 在 b 方向上的投影 |a|cos(3)ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积知识点四 平面向量数量积的性质及运算律思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定当 0 90时，非零向量的数量积为正数当 90时，非零向量的数量积为零当 90 180时，非零向量的数量积为负数梳理 (1)
5、数量积性质当 a 与 b 同向时， ab| a|b|；当 a 与 b 反向时， ab| a|b|；3当 a b 时， ab0； aa| a|2或| a| .aa(2)数量积的运算律 ab ba；( a)b a( b) (ab) ab；( a b)c ac bc.1向量数量积的运算结果是向量( )2向量 a 在向量 b 方向上的投影一定是正数( )3在等边 ABC 中，向量 与向量 夹角为 60.( )AB BC 提示 向量 与向量 夹角为 120.AB BC 4向量的数量积运算满足( ab)c a(bc)( )5 (ab) ab.( )类型一 求两向量的数量积例 1 已知| a|4，| b|5
6、，当(1) a b；(2) a b；(3) a 与 b 的夹角为 30时，分别求 a与 b 的数量积解 (1) a b，若 a 与 b 同向，则 0，ab| a|b|cos04520；若 a 与 b 反向，则 180， ab| a|b|cos18045(1)20.(2)当 a b 时， 90， ab| a|b|cos900.(3)当 a 与 b 的夹角为 30时， ab| a|b|cos3045 10 .32 3反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 ， 0，180；(2)分别求| a|和 |b|；(3)求数量积，即 ab| a|b|cos ，要特别注意书写时 a
7、与 b 之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a， ABC60，则 _.BD CD 答案 a232解析 如图所示，由题意，得 BC a， CD a， BCD120.4 ( )BD CD BC CD CD 2BC CD CD aacos60 a2 a2.32类型二 求向量的模例 2 已知| a| b|5，向量 a 与 b 的夹角为 ，求| a b|，| a b|. 3解 ab| a|b|cos 55 .12 252|a b| 5 .a b2 |a|2 2ab |b|225 2252 25 3|a b| 5.a b2 |a|2 2ab |b
8、|225 2252 25引申探究若本例中条件不变，求|2 a b|，| a2 b|.解 ab| a|b|cos 55 ，12 252|2a b| 2a b2 4|a|2 4ab |b|2 5 .425 4252 25 7|a2 b| a 2b2 |a|2 4ab 4|b|2 5 .25 4252 425 3反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用 a2| a|2，即| a| ，勿忘记开方a2跟踪训练 2 已知| a| b|5，且|3 a2 b|5，求|3 a b|的值解 |3 a2 b|29| a|212 ab4| b|292512 ab42532512 ab，|3 a2 b|5，32512
9、 ab25， ab25.|3 a b|2(3 a b)259 a26 ab b292562525400，故|3 a b|20.类型三 求向量的夹角例 3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60，求向量 a2 m n 与 b2 n3 m 的夹角解 | n| m|1 且 m 与 n 夹角是 60， mn| m|n|cos6011 .12 12|a|2 m n| 2m n2 41 1 4mn ，41 1 412 7|b|2 n3 m| 2n 3m2 41 91 12mn ，41 91 1212 7ab(2 m n)(2n3 m) mn6 m22 n2 6121 .12 72设 a 与 b 的
10、夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 7277 12又 0， ，故 a 与 b 的夹角为 .23 23反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练 3 已知| a|2| b|2，且 ab1.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求( a2 b)b；(3)当 为何值时，向量 a b 与向量 a3 b 互相垂直？解 (1)| a|2| b|2，| a|2，| b|1， ab| a|b|cos 1，cos ，又 0， .12 23(2)(a2 b)b ab2 b2123.(3) a b 与 a3 b 互相垂直，6( a b)(a3 b
11、) a23 ab ba3 b24 3 137 40， .471已知| a|8，| b|4， a， b120，则向量 b 在 a 方向上的投影为_答案 2解析 向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos a， b4cos1202.2设向量 a， b 满足| a b| ，| a b| ，则 ab_.10 6答案 1解析 | a b|2( a b)2 a22 ab b210，|a b|2( a b)2 a22 ab b26，由得 4ab4， ab1.3若 a b， c 与 a 及与 b 的夹角均为 60，| a|1，| b|2，| c|3，则( a2 b c)2_.答案 11解 析 (a 2b c
12、)2 a2 4b2 c2 4ab 2ac 4bc 12 422 32 40 213cos60423cos6011.4在 ABC 中，| |13，| |5，| |12，则 的值是_AB BC CA AB BC 答案 25解析 易知| |2| |2| |2， C90.AB BC CA cos B ，513又 cos ， cos(180 B)，AB BC | | |cos(180 B)AB BC AB BC 135 25.(513)5已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：(1) ；(2) ；(3) .AB AC AB BC BC AC 7解 (1) 与 的夹角为 60，AB AC | | |cos
13、6011 .AB AC AB AC 12 12(2) 与 的夹角为 120，AB BC | | |cos120AB BC AB BC 11 .(12) 12(3) 与 的夹角为 60，BC AC | | |cos6011 .BC AC BC AC 12 121两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a0， b0,0 90时)，也可以为负(当 a0， b0,90 180时)，还可以为 0(当 a0 或b0 或 90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3 ab| a
14、|b|cos 中，| b|cos 和| a|cos 分别叫做 b 在 a 方向上的投影和 a 在 b方向上的投影，要结合图形严格区分4求投影有两种方法(1)b 在 a 方向上的投影为| b|cos ( 为 a， b 的夹角)， a 在 b 方向上的投影为| a|cos .(2)b 在 a 方向上的投影为 ， a 在 b 方向上的投影为 .ab|a| ab|b|5两非零向量 a， b， a bab0，求向量模时要灵活运用公式 |a| .a2一、填空题1已知| a|2，| b|3，| a b| ，则| a b|_.19答案 7解析 因为| a b|219，所以 a22 ab b219，所以 2ab
15、19496，于是| a b| .|a b|2 4 6 9 782已知| a|3，| b|4，且 a 与 b 的夹角 150，则 ab_.答案 6 33已知| a|9，| b|6 ， ab54，则 a 与 b 的夹角 为_2答案 135解析 cos ，ab|a|b| 54962 220 180， 135.4若| a|2，| b|4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为_答案 1解析 向量 a 在向量 b 方向上的投影是| a|cos 2cos1201.5已知 a， b 是非零向量，且( a2 b) a，( b2 a) b，则 a 与 b 的夹角是_答案
16、3解析 由( a2 b)a0 及( b2 a)b0，得 a2 b22| a|b|cos ，所以cos ，00，所以 .12 36已知| a|6，| b|4， a 与 b 的夹角为 120，则( a2 b)(a3 b)_.答案 48解析 由题意，得 ab| a|b|cos12012，则( a2 b)(a3 b) a26 b2 ab6 264 2(12)48.7已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE2 EF，则 的值为_AF BC 答案 18解析 如图所示， ，AF AD DF 12AB 34AC ，BC AC
17、 AB ( )AF BC (12AB 34AC ) AC AB 9 | |2 | |212AB 14AB AC 34AC 1 11 .12 14 12 34 188若| a|1，| b|2， c a b，且 c a，则向量 a 与 b 的夹角为_答案 1209已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos ，若向量 a3 e12 e2与 b3 e1 e2的13夹角为 ，则 cos _.答案 223解析 | a| 3，3e1 2e229 4 121113|b| 2 ，3e1 e229 1 61113 2 ab(3 e12 e2)(3e1 e2)9 e 9 e1e22 e21 29911 28，
18、13cos .ab|a|b| 8322 22310已知向量 a， b 满足 ab0，| a|1，| b|2，则|2 a b|_.答案 2 2解析 |2 a b|2(2 a b)24 a24 ab b28，所以|2 a b|2 .211已知点 A， B， C 满足| |3，| |4，| |5，则 的值是AB BC CA AB BC BC CA CA AB _答案 25解析 | |2| |2| |2，CA AB BC B90， 0.AB BC cos C ，cos A ，45 35 | | |cos (180 C)45 16.BC CA BC CA ( 45) | | |cos(180 A)53
19、9.CA AB CA AB ( 35) 25.AB BC BC CA CA AB 10二、解答题12已知非零向量 a， b，且 a3 b 与 7a5 b 垂直， a4 b 与 7a2 b 垂直，求 a 与 b 的夹角解 由向量垂直得Error!即Error!化简得Error!cos a， b ，ab|a|b| 12|b|2|b|2 12又 a， b0， a 与 b 的夹角为 . 313已知| a|4，| b|8， a 与 b 的夹角是 60，计算：(1)(2a b)(2a b)；(2)|4 a2 b|.解 (1)(2 a b)(2a b)(2 a)2 b24| a|2| b|244 28 20
20、.(2)|4 a2 b|2(4 a2 b)216 a216 ab4 b2164 21648cos6048 2256.|4 a2 b|16.三、探究与拓展14已知向量 a， b 满足| a|1， a 与 b 的夹角为 ，若对一切实数 x，| xa2 b| a b| 3恒成立，则| b|的取值范围为_答案 1，)解析 对不等式| xa2 b| a b|两边平方得，( xa2 b)2( a b)2，所以x2|a|24 abx4| b|2| a|22 ab| b|2，又 a 与 b 的夹角为 ，且| a|1，则有 3ab| a|b|cos |b|，所以有 x24 x |b|4| b|21| b| b|
21、2，即 3 12 12x22| b|x3| b|21| b|0，此式对一切实数 x 恒成立，所以有 4| b|24(3| b|21| b|)0，即有 2|b|2| b|10，所以(2| b|1)(| b|1)0，所以Error!或Error! 所以| b|1 或| b| (舍去)121115已知非零向量 a， b，满足| a|1，( a b)(a b) ，且 ab .12 12(1)求向量 a， b 的夹角；(2)求| a b|.解 (1)设向量 a， b 的夹角为 .( a b)(a b) ， a2 b2 ，即| a|2| b|2 .12 12 12又| a|1，| b| .22又 ab ，| a|b|cos ，cos ，12 12 22又 0，180，向量 a， b 的夹角为 45.(2)| a b|2( a b)2| a|22| a|b|cos | b|2 ，12| a b| .22
