1、1第 2 章 平面向量章末复习学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用1向量的运算：设 a( x1， y1)， b( x2， y2).向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算加法 a b( x1 x2， y1 y2)减法 a b( x1 x2， y1 y2)向量的线性运算数乘(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a0 a( x 1，
2、y 1)向量的数量积运算ab| a|b|cos ( 为 a 与 b 的夹角)规定 0a0，数量积的几何意义是 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积ab x1x2 y1y22两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量2a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.基底：把不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量共线定理如果有一个实数 ，使 b a(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 b a.3向量的平行与垂直a
3、， b 为非零向量，设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，a b有唯一实数 使得b a(a0)x1y2 x2y10a b ab0 x1x2 y1y201平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底2若向量 和向量 共线，则 A， B， C， D 四点在同一直线上( )AB CD 提示 也可能 AB CD.3若 ab0，则 a0 或 b0.( )4若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，但 a 和 b 的夹角为 0.当 a， b 反向共线时， ab0)3(1)用 k 表示数量积 ab；(2)求 ab 的最小值，并求出此时 a
4、 与 b 的夹角 的大小解 (1)由| ka b| |a kb|，3得( ka b)23( a kb)2， k2a22 kab b23 a26 kab3 k2b2.( k23) a28 kab(13 k2)b20.| a| 1，| b| 1，cos2 sin2 cos2 sin2 k238 kab13 k20，4 ab .2k2 28k k2 14k(2)ab .k2 14k 14(k 1k)由对勾函数的单调性可知， f(k) 在(0，1上单调减，在1，)上单调增，14(k 1k)当 k1 时， f(k)min f(1) (11) ，14 12此时 a 与 b 的夹角 的余弦值 cos ，ab
5、|a|b| 12又 0，180， 60.反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，a bx1y2 x2y10，a bx1x2 y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设 a( x1， y1)，则| a| .x21 y21两向量夹角的余弦值(0 )cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2跟踪训练 2 已知向量 (3，4)， (6，3)， (5 m，(3 m)OA OB OC (1)若点 A， B， C 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；(2)若 ABC 为直角三角形，且 A
6、为直角，求实数 m 的值解 (1)若点 A， B， C 能构成三角形，则这三点不共线， (3，4)， (6，3)，OA OB (5 m，(3 m)，OC (3，1)， ( m1， m)，AB BC 与 不平行，AB BC 3 m m1，解得 m ，12当实数 m 时满足条件12(2)若 ABC 为直角三角形，且 A 为直角，则 ，而 (3，1)， (2 m， 1 m)，AB AC AB AC 53(2 m)(1 m)0，解得 m .74类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例 3 已知在等腰 ABC 中， BB， CC是两腰上的中线，且 BB CC，求顶角 A 的余弦值的大小解 建立如图所示的平
7、面直角坐标系，设 A(0， a)， C(c， 0)，其中 a0，c0，则 B( c， 0)， (0， a)， ( c， a)， ( c， 0)， (2 c， 0)OA BA OC BC 因为 BB， CC为 AC， AB 边上的中线，所以 ( ) ，BB 12BC BA (3c2， a2)同理 .CC ( 3c2， a2)因为 ，所以 0，BB CC BB CC 即 0，化简得 a29 c2，9c24 a24又因为 cosA .AB， AC |AB |AC | a2 c2a2 c2 9c2 c29c2 c2 45即顶角 A 的余弦值为 .45反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有
8、关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练 3 如图，半径为 的扇形 AOB 的圆心角为 120，点 C 在 AB上，且3 COB30，若 ，则 _.OC OA OB 答案 3解析 由题意，得 AOC90，故以 O 为坐标原点， OC， OA 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，6则 O(0，0)， A(0， )， C( ，0)， B( cos30，3 3 3 sin30)，即 B .3 (32， 32)因为 ，OC OA OB 所以( ，0) (0， ) ，3 3 (32， 32)即Error! 则Error!所以
9、 .31在菱形 ABCD 中，若 AC2，则 _.CA AB 答案 2解析 如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O， .AB AO OB ( )202.CA AB CA AO OB 2设四边形 ABCD 为平行四边形，| |6，| |4.若点 M， N 满足 3 ， 2 ，AB AD BM MC DN NC 则 _.AM NM 答案 9解析 ABCD 的图象如图所示，由题设知， ， ，AM AB BM AB 34AD NM 13AB 14AD 7 AM NM (AB 34AD ) (13AB 14AD ) | |2 | |2 13AB 316AD 14AB AD 14AB AD 36 16
10、9.13 3163已知向量 a(2，3)， b(1，2)，若 ma4 b 与 a2 b 共线，则 m 的值为_答案 2解析 ma4 b(2 m4，3 m8)， a2 b(4，1) ma4 b 与 a2 b 共线，(2 m4)(1)(3 m8)40，解得 m2.4若向量 (1，3)，| | |， 0，则| |_.OA OA OB OA OB AB 答案 2 5解析 由题意可知， AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长| | | ，由勾股定理得| | 2 .OA OB 10 AB 20 55平面向量 a( ，1)， b ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t，使3 (12， 32)
11、x a( t23) b， y ka tb，且 x y，试求函数关系式 k f(t)解 由 a( ，1)， b ，3 (12， 32)得 ab0，| a|2，| b|1，由 x y，得 a( t23) b( ka tb)0， ka2 tab k(t23) ab t(t23) b20，即4 k t33 t0，所以 k (t33 t)，令 f(t) (t33 t)，14 14所以函数关系式为 k f(t) (t33 t)141由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，
12、在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题2向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧8一、填空题1设向量 a(2，4)与向量 b( x， 6)共线，则实数 x 为_答案 3解析 a b，264 x0， x3.2在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， (1，2)， (2，1)，AB AD 则 _.AD AC 答案 5解析 四边形 ABCD 为平行四边形， (1，2)(2，1)(3，1)，AC AB AD 23(1)15.AD AC 3若平面向量 b 与向量 a(1，2)的夹角是 180，且
13、| b|3 ，则 b_.5答案 (3，6)解析 设 b ka( k，2 k)， k0，而| b|3 ，则5 5k23 ， k3， b(3，6)54已知 a(2，3)， b(1，4)， c(5，6)，那么( ab)c_.答案 (50，60)解析 因为 ab(2，3)(1，4)21210，所以( ab)c10(5，6)(50，60)5若| a|1，| b|2， a 与 b 的夹角为 60，若(3 a5 b)( ma b)，则 m 的值为_答案 238解析 由题意知(3 a5 b)(ma b)3 ma2(5 m3) ab5 b20，即 3m(5 m3)2cos60540，解得 m .2386若 (s
14、in ，1)， (2sin ，2cos )，其中 ，则| |的最大值为OA OB 0， 2 AB _答案 3解析 (sin ，2cos 1)| | AB OB OA AB sin2 4cos2 4cos 19 ，3cos2 4cos 23cos 232 23当 cos 1，即 0 时，| |取得最大值 3.AB 7已知 e1， e2是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b 满足 be1 be21，则12|b|_.答案 233解析 因为| e1| e2|1 且 e1e2 .所以 e1与 e2的夹角为 60.又因为12be1 be21，所以 be1 be20，即 b(e1 e2)0，所以 b
15、( e1 e2)所以 b与 e1的夹角为 30，所以 be1| b|e1|cos301.| b| .2338已知 A， B 是圆心为 C，半径为 的圆上的两点，且| AB| ，则 _.5 5 AC CB 答案 52解析 由弦长| AB| ，可知 ACB60， | | |cos ACB5 AC CB CA CB CA CB .529单位圆上三点 A， B， C 满足 0，则向量 ， 的夹角为_OA OB OC OA OB 答案 120解析 A， B， C 为单位圆上三点，| | | |1，OA OB OC 又 0.OA OB OC .OC OB OA 2( )2 2 22 ，OC OB OA O
16、B OA OB OA 可得 cos ， .OA OB 12又 ， 0，180，OA OB 向量 ， 的夹角为 120.OA OB 1010在 ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且| |3| |，当 x y 时，BO CO AO AB AC x y_.答案 2解析 由| |3| |，得 3 ，BO CO BO CO 则 ，BO 32BC 所以 ( )AO AB BO AB 32BC AB 32AC AB .12AB 32AC 所以 x ， y ，所以 x y 2.12 32 12 3211已知向量 a(1，1)， b(1，1)，设向量 c 满足(2 a c)(3b c)0，则| c|
17、的最大值为_答案 26解析 将 2a， 3b， c 的起点都移到坐标原点，如图(2 a c)(3b c)0， ，即 AC BC.CA CB 又 a b， ，OA OB 即 OA OB， O， A， C， B 共圆| c|的最大值即为圆的直径 AB .26二、解答题12已知 (1，0)， (0，1)， ( t， t)(tR)， O 是坐标原点OA OB OM (1)若 A， B， M 三点共线，求 t 的值；(2)当 t 取何值时， 取到最小值？并求出最小值MA MB 解 (1) (1，1)， ( t1， t)AB OB OA AM OM OA A， B， M 三点共线， 与 共线，AB AM
18、11 t( t1)0， t .12(2) (1 t， t)， ( t， 1 t)，MA MB 2 t22 t2 2 ，易知当 t 时， 取得最小值 .MA MB (t 12) 12 12 MA MB 1213如图，在同一平面内， AOB150， AOC120，| |2，| |3，| |4.OA OB OC (1)用 和 表示 ；OB OC OA (2)若 ， ，求 的值AD AC AC BD 解 由题意，得 BOC90，以 OC 所在的直线为 x 轴，以 BO 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 O(0，0)， A(1， )， B(0，3)， C(4，0)3(1)设 1 2
19、，OA OB OC 则(1， ) 1(0，3) 2(4，0)(4 2，3 1)，3 1 ， 2 ，33 14 .OA 33OB 14OC (2)设 D(x， y)， ，AD AC ( x1， y ) (5， )，3 3Error! D(5 1， )， (5 1，3 )3 3 BD 3 3 0，AC BD (5 1)5(3 )( )0，3 3 3解得 .8 3328三、探究与拓展1214已知向量 与 的夹角为 120，且| |3，| |2.若 ，且 ，AB AC AB AC AP AB AC AP BC 则实数 的值为_答案 712解析 ，AP BC ( )( )AP BC AB AC AC A
20、B 2( 1) 2AB AB AC AC 9 ( 1)32 40，(12) .71215在 Rt ABC 中，已知 A90， BC a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 与PQ 的夹角 取何值时， 的值最大？并求出这个最大值BC BP CQ 解 方法一 如图， ， 0.AB AC AB AC ， ， ，AP AQ BP AP AB CQ AQ AC ( )( )BP CQ AP AB AQ AC AP AQ AP AC AB AQ AB AC a2 0AP AC AB AP a2 ( )AP AC AB a2 a2 a2cos .12PQ BC 故当 cos 1，即 0( 与
21、方向相同)时， 的值最大，其最大值为 0.PQ BC BP CQ 方法二 以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系13设 AB c， AC b，则 A(0，0)， B(c， 0)，C(0， b)，设点 P 的坐标为( x， y)，由题意知 PQ2 a，BC a，则 Q( x， y)， x2 y2 a2， ( x c， y)， ( x， y b)，BP CQ ( c， b)， (2 x，2 y)BC PQ ( x c)( x) y( y b)BP CQ ( x2 y2) cx by.又 2 cx2 by a2acos ，BC PQ cx by a2cos a2 a2cos .BP CQ 故当 cos 1，即 0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为 0.PQ BC BP CQ
