1、13.1.1 两角和与差的余弦学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值知识点一 两角差的余弦思考 1 cos(9030)cos90cos30成立吗？答案 不成立思考 2 单位圆中(如图)， P1Ox ， P2Ox ，那么 P1， P2的坐标是什么？ 与OP1 的夹角是多少？OP2 答案 P1(cos ，sin )， P2(cos ，sin ). 与 的夹角是 .OP1 OP2 思考 3 由思考 2，体会两角差的余弦公式的推导过程答 案 在 直 角 坐
2、 标 系 xOy 中 ， 以 Ox 轴 为 始 边 分 别 作 角 ， ， 其 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于P1(cos ，sin )， P2(cos ，sin )，则 P1OP2 .由于余弦函数是周期为 2的偶函数，所以，我们只需考虑 0 的情况设向量 a (cos ，sin )，OP1 b (cos ，sin )，OP2 则 ab| a|b|cos( )cos( )另一方面，由向量数量积的坐标表示，有abcos cos sin sin ，所以 cos( )cos cos sin sin .(C( )梳理 两角差的余弦公式2cos( )cos cos sin sin .(C( )知
3、识点二 两角和的余弦思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？答案 能，cos( )cos ( )cos cos( )sin sin( )cos cos sin sin .梳理 两角和的余弦公式cos( )cos cos sin sin .(C( )特别提醒：(1)公式中的角 ， 是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos( )，cos( )是一个整体(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式1.存在角 ， ，使得 cos( )cos cos .( )提示 如 ， ，cos( ) 4 2cos
4、cos ，cos cos cos cos ，满足 cos( )( 4 2) ( 4) 22 4 2 22cos cos .2任意角 ， ，cos( )cos cos sin sin .( )提示 由两角差的余弦公式可知不正确3任意角 ， ，cos( )cos cos sin sin .( )4不存在角 ， ，使得 cos( )cos cos sin sin .( )提示 如 0，cos( )cos01，cos cos sin sin 1.类型一 给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)cos40cos70cos20cos50；(2) ；cos7 sin15sin8cos8(3) cos15
5、sin15.12 32解 (1)原式cos40cos70sin70sin40cos(7040)cos30 .323(2)原式 cos15cos(6045)cos15 8 sin15sin8cos8 cos15cos8cos8cos60cos45sin60sin45 .2 64(3)cos60 ，sin60 ，12 32 cos15 sin15cos60cos15sin60sin1512 32cos(6015)cos45 .22反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊角
6、的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos( 35)cos( 25)sin( 35)sin( 25)；(2) .2sin50 sin801 3tan102cos5解 (1)cos( 35)cos( 25)sin( 35)sin( 25)cos( 35)( 25)cos(60) .12(2)原式2sin50 2sin80cos10(12cos10 32sin10)2cos52sin50 2cos60 102cos52(22sin50 22cos50)cos5 2.2cos50 45cos5类型二 已知三
7、角函数值求值例 2 已知 sin ，sin ，且 ， ，求 cos( )45 513 32 2解 sin ， ，45 32cos .1 sin2354又sin ， ，513 2cos ，1 sin21213cos( )cos cos sin sin .(35) ( 1213) ( 45) 513 1665引申探究1若将本例改为已知 sin ，sin ，且 2，0 ，求45 513 2cos( )解 sin ，0 ，513 2cos .1 sin21213又 sin ，且 2，45当 时，cos ，32 1 sin2 35cos( )cos cos sin sin ；(35) 1213 ( 45
8、) 513 5665当 2 时，cos ，32 1 sin2 35cos( )cos cos sin sin .35 1213 ( 45) 513 1665综上所述，cos( ) 或 .5665 16652若将本例改为已知 sin ， ， ，cos( ) ，求45 32 2 1665sin .解 sin ，且 ，45 32cos .1 sin235又 ， 25 ， 20 .又 cos( ) ，1665sin( ) ，1 cos2 1 (1665)2 6365cos cos ( )cos cos( )sin sin( )， ，(35) 1665 ( 45) 6365 1213又 ， 2sin .
9、1 cos2513反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换： ( ) ， ( )， (2 )( )， ( )( )，12 ( )( )等12跟踪训练 2 已知 ，且 cos( ) ，sin( ) ，求 cos2 2 34 1213 35的值解 因为 ，所以 ，0 ，又因为 cos( ) 2 34 32 4 ，sin( ) ，所以 sin( ) ，cos( ) ，所以1213 35 513 45cos2 cos( )( )cos( )cos( )sin( )sin( )
10、 .1213 ( 45) 513 ( 35) 3365类型三 已知三角函数值求角例 3 已知 cos ，cos( ) ，且 0 ，求 的值17 1314 2解 由 cos ，0 ，17 2得 sin .1 cos21 (17)2 4376由 0 ，得 0 . 2 2又cos( ) ，1314sin( ) .1 cos2 1 (1314)2 3314由 ( )，得 cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) ，17 1314 437 3314 12又0 ， . 2 3反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所
11、求的角跟踪训练 3 已知锐角 ， 满足 sin ，cos ，求 的值55 31010解 因为 ， 为锐角且 sin ，cos ，55 31010所以 cos ，sin ，1 sin2255 1 cos2 1010所以 cos( )cos cos sin sin ，255 31010 55 1010 22由 0 ，0 ，得 0 ， 2 2又 cos( )0，所以 为锐角，所以 . 41cos cos cos sin .512 6 12 6答案 22解析 cos cos cos sin512 6 12 67cos cos sin sin cos512 6 512 6 (512 6)cos . 4
12、222若 a(cos60，sin60)， b(cos15，sin15)，则 ab.答案 22解析 abcos60cos15sin60sin15cos(6015)cos45 .223已知 cos ，且 为第一象限角，则 cos45 ( 6 ).答案 43 310解析 cos ，且 为第一象限角，45sin ，1 cos21 (45)2 35cos cos cos sin sin( 6 ) 6 6 .32 45 12 35 43 3104已知 sin( ) ，cos( ) ，0 ，则角 .437 1314 2答案 3解析 因为 sin( ) ，所以 sin .437 437因为 0 ，所以 cos
13、 . 2 1 sin2 17因为 cos( ) ，且 0 ，所以 0 ，1314 2 2所以 sin( ) .1 cos2 3314所以 cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) 17 1314 .437 3314 128因为 0 ，所以 . 2 35 已 知 sin( ) ， sin( ) ， 且513 513 ， ， 求 cos 2 的 值 ( 2， ) (3 2 ， 2 )解 sin( ) ， ，513 ( 2， )cos( ) .1213sin( ) ， ，513 (32， 2 )cos( ) .1213cos2 cos( )( )cos( )cos( )sin(
14、 )sin( ) 1.1213 ( 1213) ( 513) 5131 “给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角” ，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2 “给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定一、填空题1化简 cos(45 )cos( 15)sin(45 )sin( 15)的结果为答案 1
15、2解析 原式cos( 45)cos( 15)sin( 45)sin( 15)9cos( 45)( 15)cos(60) .122已知点 P(1， )是角 终边上一点，则 cos .2 ( 6 )答案 3 66解析 由题意可得 sin ，cos ，63 33cos cos cos sin sin( 6 ) 6 6 .32 33 12 63 3 663cos263cos203sin83sin23的值为答案 12解析 cos263cos(18083)cos83，cos203cos(18023)cos23，原式cos83cos23sin83sin23cos(8323)cos60 .124若 cos(
16、) ，cos2 ，并且 ， 均为锐角且 ，则 的值55 1010为答案 34解析 ， ，(0， 2) ，2 (0，)，( 2， 0)sin( ) ，sin2 ，255 31010cos( )cos2 ( )cos2 cos( )sin2 sin( ) ，1010 55 (31010) ( 255) 22 (0，)， .345若 x0，sin sin cos cos ，则 x 的值是x3 2x3 x3 2x310答案 2解析 由已知得，cos cos sin sinx3 2x3 x3 2x3cos x0. x0， x . 26计算 sin7cos23sin83cos67的值为答案 12解析 si
17、n7cos23sin83cos67cos83cos23sin83sin23cos(8323)cos60 .127若 cos( ) ，cos( ) ，则 tan tan .15 35答案 12解析 cos( )cos cos sin sin ，15cos( )cos cos sin sin .35则Error!得 cos cos ，sin sin .25 15tan tan .sin sincos cos 128已知 cos( )cos sin( )sin m，且 为第三象限角，则 sin .答案 1 m2解析 cos( )cos sin( )sincos( ) m，即 cos m.又 为第三象
18、限角，sin .1 cos2 1 m29设 A， B 为锐角 ABC 的两个内角，向量 a(2cos A，2sin A)， b(3cos B,3sinB)若a， b 的夹角的弧度数为 ，则 A B. 311答案 3解析 cos 3 ab|a|b| 6cosAcosB sinAsinB23cos AcosBsin AsinBcos( A B)又 A B ， 2 2 A B . 310已知 sin ， ，则 cos 的值为1517 ( 2， ) ( 4 )答案 723411已知 cos ，cos( ) ， 2， ，则 cos .45 45 32 2答案 1解析 由条件知 sin ，sin( ) ，
19、35 35cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) 1.1625 925二、解答题12已知 ， 均为锐角，且 sin ，cos ，求 的值55 1010解 ， ，(0， 2)cos ，sin .255 31010sin sin ， ，( 2， 0)cos( )cos cos sin sin ，255 1010 55 31010 22 . 413已知 cos(2 ) ，sin( 2 ) ，且 ，0 ，求22 22 4 2 4cos( )12解 因为 ，0 ，所以 2 . 4 2 4 4因为 cos(2 ) ，所以 2 ，22 2所以 sin(2 ) .22因为 ，0 ，所以
20、 2 . 4 2 4 4 2因为 sin( 2 ) ，所以 0 2 ，22 2所以 cos( 2 ) .22所以 cos( )cos(2 )( 2 )cos(2 )cos( 2 )sin(2 )sin( 2 ) 0.22 22 22 22三、探究与拓展14已知 sin sin sin 0，cos cos cos 0，则 cos( )的值是答案 12解析 sin sin sin ，cos cos cos ， 2 222(sin sin cos cos )1cos( ) .1215如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 A， B 两点(1)如果 A， B 两点的纵坐标分别为 ， ，求 cos 和 sin ；451213(2)在(1)的条件下，求 cos( )的值解 (1) OA1， OB1，且点 A， B 的纵坐标分别为 ， ，451213sin ，sin ，45 121313cos .35(2) 为钝角，由(1)知 cos ，513cos( )cos cos sin sin .513 35 1213 45 3365
