1、3.1.1 两角和与差的余弦,第3章 3.1 两角和与差的三角函数,学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 两角差的余弦,思考1,cos(9030)cos 90cos 30成立吗？,答案 不成立.,答案,思考2,单位圆中(如图)，P1Ox，P2Ox， 那么P1，P2的坐标是什么？ 的夹 角是多少？,答案 P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin ).的夹角是.,答案,思考3
2、,由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程.,答案 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )， 则P1OP2.由于余弦函数是周期为2的偶函数， 所以，我们只需考虑0的情况.则ab|a|b|cos()cos(). 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有abcos cos sin sin ， 所以cos()cos cos sin sin .(C(),答案,两角差的余弦公式 cos() .(C(),梳理,cos cos sin sin ,知识点二 两角和的余弦,思考,你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？,答案 能，
3、cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos sin sin .,答案,两角和的余弦公式 cos() .(C() 特别提醒：(1)公式中的角，是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos()，cos()是一个整体. (2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式.,梳理,cos cos sin sin ,2.任意角，cos()cos cos sin sin .( ) 提示 由两角差的余弦公式可知不正确 3.任意角，cos()cos cos sin sin .( ) 4.不存在角，使
4、得cos()cos cos sin sin .( ) 提示 如0，cos()cos 01，cos cos sin sin 1.,1.存在角，使得cos()cos cos .( ),思考辨析 判断正误,答案,提示,题型探究,类型一 给角求值问题,例1 求下列各式的值： (1)cos 40cos 70cos 20cos 50；,解答,解 原式cos 40cos 70sin 70sin 40,解答,解答,反思与感悟,对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则.如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负
5、相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式.,跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)；,解 cos(35)cos(25)sin(35)sin(25) cos(35)(25)cos(60) .,解答,解答,类型二 已知三角函数值求值,解答,解答,引申探究,解答,0.,cos cos()cos cos()sin sin(),反思与感悟,(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角. (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：()， ()，(2)(
6、)， ()()， ()()等.,解答,所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin(),类型三 已知三角函数值求角,解答,由()，得cos cos()cos cos()sin sin(),反思与感悟,求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角.,解答,达标检测,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,2.若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab .,解析 abcos 60cos 15sin 60sin 15 cos(6015)cos 45 .,答案,解析,
7、1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,cos 2cos()()cos()cos()sin()sin(),1,2,3,4,5,解答,1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些 函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧. 2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.,规律与方法,
