1、13.1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值知识点 两角和与差的正弦思考 1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin( )cos 2 cos cos cos sin sin sin cos cos sin .( 2 ) ( 2 ) ( 2 )思考 2 如何推导两角差的正弦呢？答案 可以由 sin( )cos 2 cos 得到，也可以由 sin( )sin ( )得到( 2 ) 梳理 (1)两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式
2、使用条件两角和的正弦 S( )sin( )sin cos cos sin ， R两角差的正弦 S( )sin( )sin cos cos sin ， R记忆口诀：“正余余正，符号相同” (2)辅助角公式asinx bcosx ，a2 b2(aa2 b2sinx ba2 b2cosx)令 cos ，sin ，则有aa2 b2 ba2 b2asinx bcosx (cos sinxsin cosx) sin(x )，其中a2 b2 a2 b2tan ， 为辅助角ba21.任意角 ， ，都有 sin( )sin cos cos sin .( )提示 由两角和的正弦公式知结论正确2存在角 ， ，使 s
3、in( )sin cos cos sin .( )提示 由两角差的正弦公式知不存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .3存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .( )提示 如 0 时，sin( )0，sin cos cos sin 0.类型一 给角求值例 1 (1)化简求值：sin( x27)cos(18 x)sin(63 x)sin(x18)解 原式sin( x27)cos(18 x)cos( x27)sin(x18)sin( x27)cos(18 x)cos( x27)sin(18 x)sin( x27)(18 x)sin45 .22(2)
4、.sin50 sin20cos30cos20答案 12解析 原式sin20 30 sin20cos30cos20sin20cos30 cos20sin30 sin20cos30cos20 sin30 .cos20sin30cos20 12反思与感悟 (1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解跟踪训练 1 计算：(1)sin14cos16sin76cos74；(2)sin(54 x)cos(36 x)cos(54 x)s
5、in(36 x)解 (1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin163sin(1416)sin30 .12(2)原式sin(54 x)(36 x)sin901.类型二 给值求值例 2 已知 sin ，cos ，且 0 ，求 cos( )(34 ) 513 ( 4 ) 35 4 34解 0 ， 4 34 ， 0.34 34 2 4又sin ，cos ，(34 ) 513 ( 4 ) 35cos ，sin .(34 ) 1213 ( 4 ) 45cos( )sin 2 sin (34 ) ( 4 )sin cos cos sin(34 )
6、( 4 ) (34 ) ( 4 ) .513 35 ( 1213) ( 45) 3365反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” (2)给 值 求 角 本 质 上 为 给 值 求 值 问 题 ， 解 题 时 应 注 意 对 角 的 范 围 加 以 讨 论 ， 以 免 产 生 增 解 或漏 解 跟踪训练 2 已知 ，cos( ) ，sin( ) ，求 cos2 与 2 34 1213 35cos2 的值解 ， 2
7、 340 ， . 4 32sin( ) ，1 cos2 1 (1213)2 513cos( ) .1 sin2 1 ( 35)2 454cos2 cos( )( )cos( )cos( )sin( )sin( ) ，45 1213 ( 35) 513 3365cos2 cos( )( )cos( )cos( )sin( )sin( ) .45 1213 ( 35) 513 6365类型三 辅助角公式命 题 角 度 1 用 辅 助 公 式 化 简例 3 将下列各式写成 Asin(x )的形式：(1) sinxcos x；3(2) sin cos .24 ( 4 x) 64 ( 4 x)解 (1)
8、 sinxcos x23 (32sinx 12cosx)2 (cos 6sinx sin 6cosx)2sin .(x 6)(2)原式2212sin( 4 x) 32cos( 4 x)22sin 6sin( 4 x) cos 6cos( 4 x) cos cos22 ( 4 x 6) 22 (12 x) sin .22 (x 512)反思与感悟 一般地对于 asin bcos 形式的代数式，可以提取 ，化为a2 b2Asin(x )的形式，公式 asin bcos sin( )(或 asin bcos a2 b2 cos( )称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值a2 b2跟踪训
9、练 3 sin cos .12 3 12答案 2解析 原式2 .(12sin 12 32cos 12)方法一 原式2 (cos 3sin 12 sin 3cos12)52 (sin 12cos 3 cos12sin 3)2sin 2sin .(12 3) ( 4) 2方法二 原式2 (sin 6sin 12 cos 6cos 12)2 (cos 6cos 12 sin 6sin 12)2cos 2cos .( 6 12) 4 2命 题 角 度 2 求 函 数 值 域 最 值 例 4 已知函数 f(x)2sin 2cos x， x ，求函数 f(x)的值域(x 6) 2， 解 f(x)2sin
10、2cos x sinxcos x(x 6) 32sin ，因为 x，所以 x .(x 6) 2 3 6 56所以 sin 1.12 (x 6)所以函数 f(x)的值域为1,2反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数，即 asinx bcosx sin(x )的形式a2 b2(2)根据三角函数的单调性求其值域跟踪训练 4 (1)当函数 ysin x cosx(0 x2)取得最大值时， x；3(2)函数 f(x)sin xcos 的值域为(x 6)答案 (1) (2) ， 56 3 3解析 (1) y2sin ，(x 3)0 x2， x ， 3 3 53当 x ，即 x 时， ymax2. 3
11、 2 56(2)f(x)sin x cosx sinx32 12 sinx cosx sin ，32 32 3 (x 6)6 f(x) ， .3 31计算 sin43cos13cos43sin13的结果为答案 12解析 原式sin(4313)sin30 .122化简：cos sin .( 3 ) ( 6 )答案 cos 解析 cos sin( 3 ) ( 6 )sin sin 2sin cos cos .( 6 ) ( 6 ) 63sin20cos10cos160sin10.答案 12解析 sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30 .124计
12、算 cos sin 的值是212 6 12答案 2解析 cos sin212 6 122 2(12cos 12 32sin 12)2 2(sin 6cos 12 cos 6sin 12)2 sin 2 sin 2.2 ( 6 12) 2 45化简：sin cos cos sin .( 4 3x) ( 3 3x) ( 6 3x) ( 4 3x)解 原式sin cos sin ( 4 3x) ( 3 3x) ( 3 3x)cos sin( 4 3x) ( 4 3x) ( 3 3x)7sin sin cos cos sin( 4 3) 4 3 4 3 .22 12 22 32 2 641公式的推导和
13、记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C( ) C( ) S( ) S( ) 以 代 换 诱 导 公 式 以 代 换 (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式 C( )，C ( )可记为“同名相乘，符号反” ；对于公式 S( )，S ( )可记为“异名相乘，符号同” (3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式 C( )，C ( )，S ( )，且公式sin( )sin cos cos sin ，角 ， 的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知
14、角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如 1sin 2 cos 2 ，1sin90， cos60，12 sin60等，再如：0， ， 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换32 12 22 32为三角函数一、填空题1已知 ，sin ，则 sin .( 2， ) ( 4) 35答案 7210解析 由 ，得 ，( 2， ) 34 454所以 cos ( 4) 1 sin2( 4)8 .1 (35)2 45所以 sin sin ( 4) 4sin cos cos sin ( 4) 4
15、( 4) 4 .22 (35 45) 72102sin10cos20sin80sin20.答案 12解析 sin10cos20sin80sin20sin10cos20cos10sin20sin(1020)sin30 .123sin15sin75的值是答案 62解析 sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30 .624已知 cos sin ，则 tan .( 3) ( 3)答案 15已知 0 ，又 sin ，cos( ) ，则 sin . 2 35 45答案 2425解析 0 ，sin ，cos( ) ，cos ，sin( ) 或 2 35 45 45 35
16、.35sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 或 0.2425 ，sin . 2 24256设 为锐角，若 cos ，则 sin .( 6) 35 ( 12)9答案 210解析 因为 为锐角，所以 . 6 6 23又 cos ，所以 sin ，( 6) 35 ( 6) 45所以 sin sin( 12) ( 6) 4sin cos cos sin( 6) 4 ( 6) 4 .45 22 35 22 2107已知 cos sin ，则 sin 的值为( 6) 435 ( 76)答案 45解析 cos sin ，( 6) 435cos cos sin sin sin ， 6
17、6 435 cos sin ，即 cos sin ，32 32 435 12 32 45sin .( 6 ) 45sin sin .( 76) ( 6) 458在 ABC 中， A ，cos B ，则 sinC. 4 1010答案 255解析 sin Csin( A B)sin( A B)sin AcosBcos AsinB (cosB )22 1 cos2B .22 (1010 31010) 2559函数 f(x)sin( x2 )2sin cos(x )的最大值为答案 1解析 因为 f(x)sin( x2 )2sin cos(x )sin( x ) 2sin cos(x )10sin( x
18、 )cos cos( x )sin 2sin cos(x )sin( x )cos cos( x )sin sin( x ) sin x，所以 f(x)的最大值为 1.10定义运算 ad bc.若 cos ， ，0 ，则|a bc d| 17 |sin sincos cos | 3314 2 .答案 3解析 由题意，得 sin cos cos sin ，3314sin( ) .33140 ，0 ， 2 2cos( ) .1 27196 1314又由 cos ，得 sin .17 437cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) ，17 1314 437 3314 12又0
19、， 2 . 311. .sin27 cos45sin18cos27 sin45sin18答案 1解析 原式sin45 18 cos45sin18cos45 18 sin45sin18sin45cos18 cos45sin18 cos45sin18cos45cos18 sin45sin18 sin45sin18tan451.二、解答题12已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，求 .55 1010解 为锐角，sin ，cos .55 25511 且 sin( ) ， 2 2 1010cos( ) ，31010sin sin( ) sin( )cos cos( )sin .1010 255
20、 31010 55 22又 为锐角， . 413已知 sin( )cos cos( )sin ， 是第三象限角，求 sin45的值( 4)解 sin( )cos cos( )sinsin( )cos cos( )sinsin( )sin( )sin ，45sin ，又 是第三象限角，45cos .1 sin235sin sin cos cos sin( 4) 4 4 (45) 22 ( 35) 22 .7210三、探究与拓展14已知 A(3,0)， B(0,3)， C(cos ，sin )，若 1，则 sin .AC BC ( 4)答案 23解析 (cos 3，sin )， (cos ，sin
21、 3)，AC BC (cos 3)cos sin (sin 3)AC BC cos 2 3cos sin 2 3sin 13(sin cos )1213 2(22sin 22cos )13 sin 1，2 ( 4)sin .( 4) 2315已知函数 f(x) Asin ， xR，且 f .(x 3) (512) 322(1)求 A 的值；(2)若 f( ) f( ) ， ，求 f .3 (0， 2) ( 6 )解 (1)由 f Asin(512) (512 3) Asin A ，可得 A3.34 22 322(2)f( ) f( ) ，3则 3sin 3sin ，( 3) ( 3 ) 3即 3 3 ，(12sin 32cos ) (32cos 12sin ) 3故 sin .33因为 ，所以 cos ，(0， 2) 63所以 f( )3sin 6 ( 6 3)3sin 3cos .( 2 ) 6
