1、13.1.3 两角和与差的正切学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一 两角和与差的正切公式思考 1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 tan( ) ，sin cos sin cos cos sincos cos sin sin分子分母同除以 cos cos ，便可得到思考 2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用 替换 tan( )中的 即可得到梳理名称 简记符号 公式 使用条件两角和的正切T( )tan( )
2、tan tan1 tan tan ， ， 均不等于 k(kZ) 2两角差的正切T( )tan( )tan tan1 tan tan ， ， 均不等于 k(kZ) 2知识点二 两角和与差的正切公式的变形1T ( )的变形tan tan tan( )(1tan tan )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan 1 .tan tantan 2T ( )的变形tan tan tan( )(1tan tan )tan tan tan tan tan( )tan( )2tan tan 1.tan tantan 1对于任意角 ， ，总有 tan( ) .( )tan tan1
3、 tan tan提示 公式成立需 ， ， k ， kZ. 22使公式 tan( ) 有意义，只需 ， k (kZ)即可( tan tan1tan tan 2 )提示 还应使 k ， kZ. 23若 ， ， k ， kZ，则 tan( ) 2tan tan tan tan tan( )恒成立( )4 k ，且 k ， kZ 时，tan .( ) 4 2 ( 4 ) 1 tan1 tan类型一 正切公式的正用例 1 (1)已知 tan 2，tan( ) ，则 tan 的值为17答案 3解析 tan tan( ) 3.tan tan1 tan tan17 21 17 2(2)已知 ， 均为锐角，ta
4、n ，tan ，则 .12 13答案 4解析 因为 tan ，tan ，12 13所以 tan( ) 1.tan tan 1 tan tan 12 131 12133因为 ， 均为锐角，所以 (0，)，所以 . 4反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角(2)利用公式 T( )求角的步骤：计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练 1 已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan .( 4) 35 ( 4)答案 43解析 由题意，得 cos ，tan .( 4) 45 ( 4) 34tan tan ( 4) ( 4 2) 1tan( 4) .
5、43类型二 正切公式的逆用例 2 (1) ；1 tan151 tan15(2) .1 3tan753 tan75答案 (1) (2)13解析 (1)原式 tan(4515)tan45 tan151 tan45tan15tan60 .3(2)原式 33 tan751 33tan75tan30 tan751 tan30tan75tan(3075)tan451.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现 ，1， 这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示12 3跟踪训练 2 求下列各式的值：4(1) ；(2) .cos75 sin75cos7
6、5 sin75 1 tan27tan33tan27 tan33解 (1)原式 tan(4575)tan(30)1 tan 751 tan 75tan 45 tan 751 tan 45tan 75tan 30 .33(2)原式 .1tan27 33 1tan 60 33类型三 正切公式的变形使用例 3 (1)化简：tan23tan37 tan23tan37；3(2)若锐角 ， 满足(1 tan )(1 tan )4，求 的值3 3解 (1)方法一 tan 23tan 37 tan 23tan 373tan(2337)(1tan 23tan 37) tan 23tan 373tan 60(1ta
7、n 23tan 37) tan 23tan 37 .3 3方法二 tan(2337) ，tan 23 tan 371 tan 23tan 37 ，3tan 23 tan 371 tan 23tan 37 tan 23tan 37tan 23tan 37，3 3tan 23tan 37 tan 23tan 37 .3 3(2)(1 tan )(1 tan )3 31 (tan tan )3tan tan 4，3tan tan (1tan tan )，3tan( ) .tan tan 1 tan tan 3又 ， 均为锐角，0 180， 60.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan
8、 tan tan( )(1tan tan )或1tan tan .当 为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积tan tan tan 的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果跟踪训练 3 在 ABC 中， A B ，且 tanAtan B tanAtanB，则角 C 的值为 2 3 3答案 3解析 tan Atan B tan AtanBtan(A B)(1tan AtanB) (tan 3 3 35AtanB1)(*)若 1tan AtanB0，则 cosAcosBsin AsinB0，即 cos(A B)0.0 A B， A B ，与题设矛盾 2由(
9、*)得 tan(A B) ，即 tan C .3 3又0 C， C . 31若 tan 3，tan ，则 tan( ).43答案 13解析 tan( ) .tan tan1 tan tan3 431 343 132已知 cos ，且 ，则 tan .45 ( 2， ) ( 4 )答案 7解析 由 cos ，且 ，得 sin ，45 ( 2， ) 35所以 tan ，sin cos 34所以 tan 7.( 4 )tan 4 tan 1 tan 4tan 1 ( 34)1 343已知 tan ，则 .12tan( 4 ) 11 tan( 4 )答案 12解析 方法一 因为 tan ，126所以
10、tan 3，( 4 )tan 4 tan1 tan 4tan 1 tan1 tan所以 .tan( 4 ) 11 tan( 4 ) 3 11 3 12方法二 tan( 4 ) 11 tan( 4 )tan( 4 ) tan 41 tan( 4 )tan 4tan tan .( 4 ) 4 124已知 A， B 都是锐角，且 tanA ，sin B ，则 A B.13 55答案 4解析 B 为锐角，sin B ，cos B ，55 255tan B ，12tan( A B) 1.tanA tanB1 tanAtanB13 121 1312又0 A B， A B . 45已知 3，tan( )2，
11、则 tan( 2 ).sin cossin cos答案 43解析 由条件知 3，则 tan 2.sin cos sin cos tan 1tan 1tan( )2，tan( )2，故 tan( 2 )tan( ) tan tan 1 tan tan . 2 21 22 4371公式 T( )的结构特征和符号规律(1)公式 T( )的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与tan tan 的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 2应用公式 T( )时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知， ， ， (或 )的终边不能落在 y 轴上，即不
12、为k (kZ) 2(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan 1，tan ，tan 4 6 33 3等3特别要注意 tan ，( 4 ) 1 tan1 tantan .( 4 ) 1 tan1 tan(3)公式的变形用只要用到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T( )的意识，就不难想到解题思路特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型一、填空题1若 tan ，tan( ) ，则 tan .13 12答案 17解析 tan tan( ) tan tan1 tan tan .12 131 1213 17
13、82. .tan75 tan151 tan75tan15答案 3解析 原式tan(7515)tan60 .33若 tan28tan32 a，则 tan28tan32.答案 (1 a)3解析 tan(2832) ，tan28 tan321 tan28tan32 3tan28tan32 (1 a)34已知 tan( ) ，tan ，则 tan 的值为25 ( 4) 14 ( 4)答案 322解析 因为 ( ) ， 4 ( 4)所以 tan .( 4)tan tan( 4)1 tan tan( 4)25 141 2514 3225. .tan20tan 50 1tan20 tan50答案 3解析 原
14、式 tan20tan50 1tan20 tan501 tan20tan50tan50 tan20 .1tan50 20 1tan30 36已知 tan tan 2，tan( )4，则 tan tan .答案 12解析 因为 tan( ) ，tan tan1 tan tan所以 1tan tan ，tan tantan 24 12所以 tan tan 1 .12 127设向量 a(cos ，1)， b(2，sin )，若 a b，则 tan .( 4)答案 139解析 由 ab2cos sin 0，得 tan 2.tan .( 4)tan tan 41 tan tan 4 2 11 2 138已
15、知 ， 均为锐角，且 tan ，则 tan( ).cos sincos sin答案 1解析 tan ，cos sincos sin 1 tan1 tantan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan 1tan tan ，又 ， 均为锐角，tan tan 1tan tan 0， 1，tan tan1 tan tantan( )1.9若(tan 1)(tan 1)2，则 的最小正值为答案 34解析 (tan 1)(tan 1)2，tan tan tan tan 1，tan( )1. k， kZ. 4 的最小正值为 .3410在 ABC 中，tan Atan
16、Btan C3 ，tan 2Btan AtanC，则 B.3答案 60解析 由公式变形得tanAtan Btan( A B)(1tan AtanB)tan(180 C)(1tan AtanB)tan C(1tan AtanB)tan Ctan AtanBtanC.tan Atan Btan Ctan Ctan AtanBtanCtan Ctan AtanBtanC3 .310又tan 2Btan AtanC，tan 3B3 ，3tan B ，又 B 是三角形的内角， B60.311.如图，在 ABC 中， AD BC， D 为垂足， AD 在 ABC 的外部，且BD CD AD236，则 ta
17、n BAC.答案 17解析 AD BC 且 BD CD AD236，tan BAD ，BDAD 13tan CAD ，CDAD 36 12tan BACtan( CAD BAD) .tan CAD tan BAD1 tan CADtan BAD12 131 1213 1712若 ， 均为锐角，tan (1 m)， (tan tan m)tan 0，则3 3 .答案 3解析 由已知得 tan m，3 3tan tan tan m，3 3得 tan tan (1tan tan )，3 tan( ) ，tan tan1 tan tan 30 ，0 ， 2 20 ， . 3二、解答题13已知 tan
18、， tan 2 ，求：(12 ) 2 ( 3) 211(1)tan 的值；(2)tan( )的值( 4)解 (1)tan tan( 4) ( 12) ( 3) .tan( 12) tan( 3)1 tan( 12)tan( 3) 2 221 222 2(2)tan( )tan ( 4) 4 2 3.tan( 4) tan 41 tan( 4)tan 4 2 11 21 2三、探究与拓展14如果 tan ，tan 是方程 x23 x30 两根，则 .sin cos 答案 32解析 由题意得 tan tan 3，tan tan 3.sin cos sin cos cos sincos cos si
19、n sin .tan tan1 tan tan 31 3 3215如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， B 两点，已知 A， B 的横坐标分别为 ， .210 255(1)求 tan( )的值；(2)求 2 的值解 由条件得 cos ，cos .210 255 ， 为锐角，sin ，sin .1 cos27210 1 cos2 55tan 7，tan .sincos sincos 1212(1)tan( ) 3.tan tan1 tan tan7 121 712(2)tan2 tan( ) ，2tan1 tan22121 (12)2 43tan( 2 ) 1.tan tan21 tan tan27 431 743又 ， 为锐角，0 2 ， 2 .32 34
