1、13.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换知识点一 积化和差与和差化积公式思考 1 如何用 sin( )，sin( )表示 sin cos 和 cos sin ？答案 Error!sin( )sin( )2sin cos ，即 sin cos sin( )sin( )12同理得 cos sin sin( )sin( )12思考 2 若 ， ，则如何用 ， 表示 ， ？答案 ， . 2 2梳理 (1)积化和差公式sin cos sin( )sin( )12cos sin
2、sin( )sin( )12cos cos cos( )cos( )12sin sin cos( )cos( )12(2)和差化积公式sin sin 2sin cos . 2 2sin sin 2cos sin . 2 2cos cos 2cos cos . 2 2cos cos 2sin sin . 2 22知识点二 万能代换公式思考 结合前面所学倍角公式，能否用 tan 表示 sin ？ 2答案 sin 2sin cos 2 22sin 2cos 2cos2 2 sin2 2 ，即 sin .2tan 21 tan2 22tan 21 tan2 2梳理 万能公式(1)sin .2tan 2
3、1 tan2 2(2)cos .1 tan2 21 tan2 2(3)tan .2tan 21 tan2 2知识点三 半角公式思考 1 我们知道倍角公式中， “倍角是相对的” ，那么对余弦的二倍角公式，若用 替换 2 ，结果怎样？答案 结果是 cos 2cos 2 112sin 2 cos 2 sin 2 . 2 2 2 2思考 2 根据上述结果，试用 sin ，cos 表示 sin ，cos ，tan . 2 2 2答案 cos 2 ，cos ， 2 1 cos2 2 1 cos2同理 sin ，tan . 2 1 cos2 2sin 2cos 2 1 cos1 cos思考 3 利用 tan
4、 和倍角公式又能得到 tan 与 sin ，cos 怎样的关系？sincos 23答案 tan ， 2sin 2cos 2sin 22cos 2cos 22cos 2 sin1 costan . 2sin 2cos 2sin 22sin 2cos 22sin 2 1 cossin梳理 半角公式(1)sin . 2 1 cos2(2)cos . 2 1 cos2(3)tan . 2 1 cos1 cos sin1 cos 1 cossin特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由 所在的象限相应的三角函数值的符号确 2定(2)半角与倍角一样，也是相对的，即 是 的半角，而 是 2 的半角 21
5、若 k， kZ，则 tan 恒成立( ) 2 sin1 cos 1 cossin2cos sin .( )12sin sin 类型一 积化和差与和差化积公式命 题 角 度 1 积 化 和 差 公 式 的 应 用例 1 求下列各式的值(1)sin37.5cos7.5；(2)sin20sin40sin80；(3)sin20cos70sin10sin50.解 (1)sin37.5cos7.5 sin(37.57.5)sin(37.57.5)124 (sin45sin30) .12 2 14(2)sin20sin40sin80 cos 60cos(20)sin8012 sin80 sin80cos20
6、14 12 sin80 (sin100sin60)14 12 12 sin80 sin80 .14 14 38 38(3)sin20cos70sin10sin50 sin 90sin(50) cos 60cos(40)12 12 sin50 cos40 .12 12 14 12 14反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin( )与 sin( )的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos( )与 cos( )的和或差跟踪训练 1 化简：4sin(60 )sin sin(60 )解 原式2sin cos 120cos(2 )2sin (12 cos
7、2 )sin 2sin cos2 sin sin3 sin sin3 .命 题 角 度 2 和 差 化 积 公 式 的 应 用例 2 已知 cos cos ，sin sin ，求 sin( )的值12 13解 因为 cos cos ，12所以2sin sin . 2 2 12又因为 sin sin ，13所以 2cos sin . 2 2 13因为 sin 0，所以由得tan ， 2 2 325即 tan . 2 32所以 sin( )2sin 2 cos 2sin2 2 cos2 2 .2tan 21 tan2 22321 94 1213反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三
8、角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式跟踪训练 2 求 sin220cos 250sin20cos50的值解 方法一 原式 (1cos40) (1cos100)sin20cos5012 121 (cos100cos40) (sin70sin30)12 12 sin70sin30 sin70 .34 12 34方法二 原式(sin20cos50) 2sin20cos50(2sin30cos10) 2 (sin70sin30)12cos 21
9、0 cos2012 14 cos20 .1 cos202 12 14 34类型二 利用万能公式化简求值例 3 (1)已知 cos ，并且 180 270，求 tan 的值；35 2(2)已知 5，求 3cos2 4sin2 的值2sin cossin 3cos解 (1)180 270，90 135，tan 0. 2 2cos ，1 tan2 21 tan2 2 356tan 2 4，tan 2. 2 2(2) 5，2sin cossin 3cos 5，tan 2.2tan 1tan 3又 cos2 ，sin2 ，1 tan21 tan2 35 2tan1 tan2 453cos2 4sin2
10、.95 165 75反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式， “倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解跟踪训练 3 已知 tan 3，求 sin2 2cos 2 的值( 4 )解 tan 3， 3，tan .( 4 ) 1 tan1 tan 12sin2 2cos 2 sin2 cos2 1 12tan1 tan2 1 tan21 tan2 1 .45 35 45类型三 三角恒等式的证明例 4 求证： .1 sin4 cos42tan 1 sin4 cos41 tan2证明 要证原式
11、，可以证明 .1 sin 4 cos 41 sin 4 cos 4 2tan 1 tan2左边sin 4 1 cos 4 sin 4 1 cos 4 2sin 2 cos 2 2sin222sin 2 cos 2 2cos22 tan 2 ，2sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 sin 2 cos 2 右边 tan 2 ，2tan 1 tan2左边右边，原等式成立反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到7左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法
12、、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练 4 证明： tan .sin 11 sin cos 12 2 12证明 左边 2tan 21 tan2 2 11 2tan 21 tan2 21 tan2 21 tan2 2tan2 2 2tan 2 11 tan2 2 2tan 2 1 tan2 2 (tan 2 1)22tan 2 2 12(tan 2 1) tan 右边，12 2 12原等式成立.1若 cos ， (0，)，则 cos 的值为_13 2答案 63解析 由题意知 ，cos 0，cos . 2 (0， 2) 2 2 1 cos2
13、 632已知 ，且 cos cos ，则 cos( )23 13_.答案 79解析 cos cos 2cos cos 2cos cos cos ， 2 2 3 2 2 13cos( )2cos 2 12 1 . 2 19 793已知 sin cos ，450 540，则 tan _. 2 2 55 2答案 28解析 对已知等式两边平方，得 sin ，又 450 540，45cos ，tan ，35 43又 tan ，且 (225，270)，tan 2.2tan 21 tan2 2 2 24化简： (0 )cos(32 ) tan 21 cos 1 cos解 tan ，(1cos )tan si
14、n . 2 sin1 cos 2又cos sin ，且 1cos 2sin 2 ，(32 ) 2原式 . sin sin2sin2 2 2sin2|sin 2|22sin 2cos 2|sin 2|0 ，0 ，sin 0. 2 2 2原式2 cos .2 21本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式2三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间
15、的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法一、填空题1若 cos ， 是第三象限角，则 _.451 tan 21 tan 29答案 12解析 是第三象限角，cos ，45sin ，tan 3.35 2 sin 1 cos 351 45原式 .1 31 3 122已知 2sinx1cos x，则 tan _.x2答案 12解析 由 2sinx1cos x，得 tan .12 sinx1 cosx2sin x2cos x22cos2 x2 x23在 ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，若 cosBcos Csin Bsin C，则 ABC 为_三角形(填三角形的
16、形状)答案 直角解析 由 cosBcos Csin Bsin C，得2cos cos 2sin cos ，B C2 B C2 B C2 B C2两边同除以 2cos ，得 sin cos ，B C2 B C2 B C2即 tan 1，0 B C，0 ，B C2 B C2 2 ，即 B C ， A ，B C2 4 2 2 ABC 为直角三角形4若 2，则 _.1 cos 2答案 cos 2解析 2， ，cos 0， 2 2 2原式 cos .1 cos2 |cos 2| 2105若 tan 3，则 sin2 cos2 的值是_答案 75解析 因为 tan 3，所以sin2 ，cos2 ，所以2t
17、an1 tan2 231 32 35 1 tan21 tan2 1 321 32 45sin2 cos2 .35 ( 45) 756若 tan m，则 sin2 _.1tan答案 2m解析 因为 tan m，即 m，1tan tan2 1tan所以 sin2 .2tan1 tan2 2m7已知 sin ，cos ，则 tan _.m 3m 5 4 2mm 5( 2 ) 2答案 5解析 由 sin2 cos 2 1，得 2 21，(m 3m 5) (4 2mm 5)解得 m0 或 8，当 m0 时，sin 0，不符合 . 2 m0 舍去，故 m8，sin ，cos ，513 1213tan 5.
18、 2 1 cossin1 12135138若 cos2 cos 2 m，则 sin( )sin( )_.答案 m解析 sin( )sin( ) (cos2 cos2 )12 (2cos2 12cos 2 1)cos 2 cos 2 m.129函数 f(x)sin x 的最小正周期是_(1 tanxtan x2)答案 211解析 f(x)sin x(12tan2 x21 tan2 x2)sin x sin x1 tan2 x21 tan2 x2sin2 x2 cos2 x2cos2 x2 sin2 x2 tan x.sinxcosx因为函数 f(x)的定义域为Error!，即 x k 且 x2
19、k， kZ.显然有 f(0)0， 2而 f()无意义，所以 T2.10已知 ， 为锐角，且 ，则 sin sin 的取值范围是_ 6答案 (0，32)解析 ， 6sin sin cos( )cos( )12 .12cos 32 12cos(2 6) 32 ， 为锐角，且 ， 60 ，即 0 ， 2 ， 6 2 3 6 6 56 cos ，32 (2 6) 320 ，12cos(2 6) 32 32sin sin 的取值范围为 .(0，32)11若 是第三象限角，且 sin( )cos sin cos( ) ，则513tan _. 2答案 5解析 sin( )cos sin cos( )12si
20、n( ) sin ，513又 是第三象限角，cos .1213tan 5. 2 1 cos sin 1 ( 1213) 513二、解答题12求证：tan tan .3x2 x2 2sinxcosx cos2x证明 左边tan tan 3x2 x2sin 3x2cos 3x2sin x2cos x2 sin 3x2cos x2 cos 3x2sin x2cos 3x2cos x2sin(3x2 x2)cos 3x2cos x2 sin xcos 3x2cos x22sin xcos(3x2 x2) cos(3x2 x2) 右边2sin xcos x cos 2x原等式成立13已知在 ABC 中， A C，且 B60，能否利用 log4sinAlog 4sinC1 求出 A 和 C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由解 在 ABC 中， A C， B60， A C120.log 4sinAlog 4sinC1，sin AsinC .14sin AsinC cos(A C)cos( A C)，12 cos(A C)cos( A C) ，12 14cos( A C) cos( A C) cos1200.12 12又0 A C180， A C90. 由，得 A105， C15.
