1、1第 3 章 三角恒等变换章末复习学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos( )cos cos sin sin .cos( )cos cos sin sin .sin( )sin cos cos sin .sin( )sin cos cos sin .tan( ) .tan tan1 tan tantan( ) .tan tan1 tan tan2二倍角公式sin2 2sin cos .cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 .tan2 .
2、2tan1 tan23升幂公式1cos2 2cos 2 .1cos2 2sin 2 .4降幂公式sinxcosx ，cos 2x ，sin 2x .sin2x2 1 cos2x2 1 cos2x25和差角正切公式变形tan tan tan( )(1tan tan )，tan tan tan( )(1tan tan )6辅助角公式y asinx bcosx sin(x )a2 b27积化和差公式2sin cos sin( )sin( )12cos sin sin( )sin( )12cos cos cos( )cos( )12sin sin cos( )cos( )128和差化积公式sin si
3、n 2sin cos . 2 2sin sin 2cos sin . 2 2cos cos 2cos cos . 2 2cos cos 2sin sin . 2 29万能公式(1)sin .2tan 21 tan2 2(2)cos .1 tan2 21 tan2 2(3)tan .2tan 21 tan2 21.两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的( )2对任意角 ，sin2 2sin 均不成立( )提示 如 k， kZ，则 sin2 2sin 0.3 ysin xcos x 的最大值为 2.( )提示 ysin xcos x sin ，函数最大值为 .2 (x 4) 24存在角 ，
4、 ，使等式 cos( )cos cos 成立( )3提示 如 ， ，则 cos( )cos ，cos cos cos 4 2 ( 4 2) 22cos cos ，两式相等( 4) 2 4 22类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例 1 已知 ， 为锐角，cos ，tan( ) ，求 cos 的值45 13解 是锐角，cos ，sin ，tan .45 35 34tan tan ( ) .tan tan 1 tan tan 139 是锐角，cos .91050反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如 2
5、， ( )( 2) ， ( )， ( )( )， ( )( )12 12等跟踪训练 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， B 两点，已知 A， B 的横坐标分别为 ， .31010 255(1)求 tan( )的值；(2)求 的值解 (1)由题可知，cos ，cos .31010 255由于 ， 为锐角，则 sin ，sin ，1010 55故 tan ，tan ，13 124则 tan( ) .tan tan 1 tan tan 13 121 16 17(2)因为 tan( ) 1，13 121 16sin ，sin
6、，1010 22 55 22即 0 ，故 . 2 4类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例 2 求函数 f(x)sin xcos xsin xcosx， xR 的最值及取到最值时 x 的值解 设 sinxcos x t，则 tsin xcos x 2(22sinx 22cosx) sin ，2 (x 4) t ， ，2 2sin xcosx .sinx cosx2 12 t2 12 f(x)sin xcos xsin xcosx， g(t) t (t1) 21， t ， t2 12 12 2 2当 t1，即 sinxcos x1 时， f(x)min1，此时，由 sin ，(x 4) 2
7、2解得 x2 k 或 x2 k ， kZ. 2当 t ，即 sinxcos x 时， f(x)max ，2 2 212此时，由 sin ，即 sin 1，2 (x 4) 2 (x 4)解得 x2 k ， kZ. 4综上，当 x2 k 或 x2 k ， kZ 时， f(x)取得最小值， f(x)min1；当 2x2 k ， kZ 时， f(x)取得最大值， f(x)max . 4 2 125反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来跟踪训练 2 求函数 ysin xsin2 xcos x(xR)的值域解 令 sinxcos x
8、 t，则由 t sin 知， t ， 2 (x 4) 2 2又 sin2x1(sin xcos x)21 t2， y(sin xcos x)sin2 x t1 t2 2 .(t12) 54当 t 时， ymax ；12 54当 t 时， ymin 1.2 2函数的值域为 . 2 1，54类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例 3 已知函数 f(x)2 sin(x3)sin 2sin 2 1， xR.3 (x 2) (x 52)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；0， 2(2)若 f(x0) ， x0 ，求 cos2x0的值65 4， 2解 (1)因为 f(x
9、) (2sin xcos x)(2cos 2x1)3 sin 2xcos 2 x2sin ，3 (2x 6)所以 f(x)的最小正周期为 .又因为 x ，所以 2x ，0， 2 6 6， 76所以 sin ，(2x 6) 12， 1所以 f(x)1,2所以 f(x)的最大值为 2，最小值为1.(2)由(1)可知， f(x0)2sin .(2x0 6)又因为 f(x0) ，65所以 sin .(2x0 6) 356由 x0 ，得 2x0 ， 4， 2 6 23， 76所以 cos ，(2x0 6) 1 sin2(2x0 6) 45cos 2x0cos (2x0 6) 6cos cos sin s
10、in (2x0 6) 6 (2x0 6) 6 .3 4310反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)在三角恒等变换中充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质跟踪训练 3 已知 cos ， x ，求 的值( 4 x) 35 1712 74 sin2x 2sin2x1 tanx解 sin2x 2sin2x1 tanx 2sinxcosx 2sin2x1 sinxcosx2sinxcosxcosx sinxcos
11、x sinxsin2x1 tanx1 tanxsin2 xtan .( 4 x) x ， x 2，1712 74 53 4又cos ，sin .( 4 x) 35 ( 4 x) 45tan .( 4 x) 43sin2xsin 2( 4 x) 2cos 2( 4 x)12cos 2( 4 x)712 2(35) .725 .sin2x 2sin2x1 tanx 2875类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例 4 已知 sinx2cos y2，求 2sinxcos y 的取值范围解 设 2sin xcos y a.由Error! 解得Error!从而Error! 解得 1 a .5
12、2故 2sin xcos y 的取值范围是 .1，52反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决跟踪训练 4 已知关于 的方程 cos sin a0 在区间(0,2)上有两个不相等的3实数解 ， ，求 cos( )的值解 设 xcos ， ysin ，则有Error!消去 y，并整理得 4x22 ax a210.3由已知得 cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得Error!sin sin ( cos a)( cos a)3 33cos cos a(cos cos ) a23 .a2 3
13、4cos( )cos cos sin sin .a2 14 a2 34 121已知 sin cos ，那么 sin ，cos2 . 2 2 233答案 13 798解析 sin cos ， 2 2 233 2 ，(sin 2 cos 2) 43即 12sin cos ， 2 2 43sin ，13cos2 12sin 2 12 2 .(13) 792已知 是第三象限角，且 sin4 cos 4 ，则 sin2 .59答案 223解析 由 sin 4 cos 459(sin 2 cos 2 )22sin 2 cos21 sin22 ，12得 sin22 ，即 sin22 .12 49 89又2
14、k 2k (kZ)，324 k22 4k3( kZ)，故 sin 2 .2233已知 sin cos ，sin cos ，则 sin( ).13 12答案 5972解析 由(sin cos )2(sin cos )2 ，1336得 2sin( ) ，即 sin( ) .5936 59724设 为锐角，若 cos ，则 sin 的值为( 6) 45 (2 12)答案 17250解析 为锐角且 cos ，( 6) 459sin .( 6) 35sin 2sin cos ，(2 3) ( 6) ( 6) 2425cos 2cos 2 1 ，(2 3) ( 6) 725sin sin .(2 12)
15、(2 3 4) 22sin(2 3) cos(2 3) 172505已知函数 f(x)cos xsin cos2x ， xR.(x 3) 3 34(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间 上的最大值和最小值 4， 4解 (1)由已知，有 f(x)cos x cos2x(12sinx 32cosx) 3 34 sinxcosx cos2x12 32 34 sin2x (1cos2 x)14 34 34 sin2x cos2x sin .14 34 12 (2x 3)所以 f(x)的最小正周期为 T .22(2)因为 f(x)在区间 上是单调减函数，在区间 上是单调增函数， 4，
16、 12 12， 4f ， f ， f ，( 4) 14 ( 12) 12 ( 4) 14所以函数 f(x)在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 . 4， 4 14 12本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质一、填空题1cos2017cos1583sin2017sin1583.10答案 1解析 原式cos(20171583)cos36001.2函数 y sin2xsin 2x(xR)的值域是12答案 22 12， 22 12解析 y sin
17、 2x12 1 cos 2x2 22(22sin 2x 22cos 2x) 12 sin .22 (2x 4) 12 xR，2 x R， 4sin 1,1，(2x 4)函数的值域是 .22 12， 22 123若 tan 2tan ，则 . 5cos( 310)sin( 5)答案 3解析 cos( 310)sin( 5)sin( 2 310)sin( 5)sin( 5)sin( 5) 3.sin cos 5 cos sin 5sin cos 5 cos sin 5tantan 5 1tantan 5 1 2 12 14已知 tan ，且 ，则 .( 4) 12 2 sin2 2cos2sin(
18、 4)答案 25511解析 2 cos .sin2 2cos2sin( 4)2cos sin cos 22sin cos 2tan ，tan 3，( 4) 1 tan1 tan 12 ，cos .( 2， ) 1010则 2 cossin2 2cos2sin( 4) 22 .2 (1010) 2555已知向量 a(sin ，1)， b(2,2cos ) ，若 a b，则 sin2( 2 ).( 4)答案 32解析 a b， ab2sin 2cos 2 sin 0，2 2 ( 4) 2sin .( 4) 12 ， ， 2 34 454cos .( 4) 32sin sin cos .( 4) (
19、 4 ) ( 4) 326若 3，则 cos2 sin2 的值是1tan 12答案 65解析 由题意知，tan ，13则 cos2 sin2 cos 2 sin cos .12 cos2 sin cossin2 cos2 1 tantan2 1 657函数 ysin xcosx cos2x 的最大值为3 3答案 2 3212解析 y sin2x (1cos2 x)12 32 3sin ，(2x 3) 32当 2x 2 k( kZ)时， ymax1 . 3 2 32 2 328若点 P(cos ，sin )在直线 y2 x 上，则 sin2 2cos2 .答案 2解析 由题意知，tan 2，si
20、n2 2cos2 2sin cos 2cos 2 2sin 22sin cos 2cos2 2sin2sin2 cos2 2.2tan 2 2tan2tan2 1 4 2 2459函数 y( acosx bsinx)cosx 有最大值 2，最小值1，则实数 a， b.答案 1 2 2解析 y acos2x bsinxcosx sin2x cos2xb2 a2 a2 sin(2x ) ，a2 b22 a2 2， 1，a2 b22 a2 a2 b22 a2a1， b2 .210若(4tan 1)(14tan )17，则 tan( ).答案 4解析 由已知得 4(tan tan )16(1tan t
21、an )，即 4.tan tan1 tan tantan( )4.11函数 ycos 2 sin 2 1 的最小正周期为(x12) (x 12)答案 解析 ycos 2 sin 2 1(x12) (x 12) 11 cos(2x 6)21 cos(2x 6)21332cos2x 12sin2x 32cos2x 12sin2x2 sin2x， T .12 22二、解答题12已知 ABC 的内角 B 满足 2cos2B8cos B50，若 a， b，且 a， b 满足：BC CA ab9，| a|3，| b|5， 为 a， b 的夹角求 sin(B )解 2(2cos 2B1)8cos B50，4
22、cos2B8cos B30，解得 cosB ，sin B ，12 32cos ，sin ，ab|a|b| 35 45sin(B )sin Bcos cos Bsin .4 331013设函数 f(x)sin 2xcos .(2x 3)(1)求函数 f(x)的最大值及此时 x 的取值集合；(2)设 A， B， C 为 ABC 的 三 个 内 角 ， 已 知 cos B ， f ， 且 C 为 锐 角 ， 求 sin A 的 值 13 ( C2) 14解 (1) f(x) cos 2x sin 2x sin 2x，1 cos 2x2 12 32 12 32当 sin 2x1 时， f(x)max
23、，1 32此时 2x2 k (kZ)， x k (kZ)， 2 4 x 的取值集合为Error!.(2) f sin C ，(C2) 12 32 14sin C .32 C 为锐角， C . 3由 cos B ，得 sin B ，13 1 cos2B 223sin Asin cos B sin B(23 B) 32 1214 .3 226三、探究与拓展14若 tan 32 ，则 .( 4) 2 1 cos2sin2答案 22解析 tan ( 4) 1 tan 1 tan 32 ，tan .222又 tan .原式 .1 cos 2sin 2 2sin22sin cos 2215 已 知 向 量
24、 (cos ， sin )， ， 0 向 量 m (2,1)， n (0， )， 且OA 5m ( n)OA (1)求向量 ；OA (2)若 cos( ) ，0 ，求 cos(2 )的值210解 (1) (cos ，sin )，OA n(cos ，sin )OA 5 m( n)， m( n)0，OA OA 2cos sin 0.5又 sin2 cos 2 1，由得 sin ，cos ，55 255 .OA ( 255， 55)(2)cos( ) ，cos .210 210又0 ，sin .1 cos27210又sin2 2sin cos 2 ，(55) ( 255) 45cos2 2cos 2 12 1 ，45 3515cos(2 )cos2 cos sin2 sin 35 ( 210) 45 7210 .25250 22
