1、9.5 椭圆,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 注:若集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数,则有如下结论: (1)若ac,则集合P为椭圆上的点 ; (2)若a=c,则集合P为线段F1F2上的点 ; (3)若ac,则集合P为空集 .,-4-,知识梳理,双击自测,2.椭圆的标准方程和几何性质,-5-,知识梳理,双击自测,-6-,知识梳理,双击自测,1.方程x2+ky2=2表示焦点在
2、y轴上的椭圆,则k的取值范围是( ) A.(0,+) B.(0,2) C.(1,+) D.(0,1),答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.已知P是椭圆 =1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.要熟练掌握椭圆中参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质. 2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断椭圆的扁圆程度.
3、3.椭圆中的焦点三角形是常研究对象,解决此类问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记以避免计算量太大而出错.,-11-,考点一,考点二,考点三,椭圆的定义及其标准方程(考点难度) 【例1】 (1)已知椭圆的中心在原点,离心率e= ,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为( ),答案,解析,-12-,考点一,考点二,考点三,(2)已知椭圆 +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线与该椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于( ),答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(3)(2017浙江绍兴质检)已知椭圆: =1(0
4、b2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是 .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系. 2.对于椭圆标准方程的求解,首先要明确参数a,b,c,其次要熟练掌握其内在关系,最后对于椭圆上的已知点要有代入的意识.,-15-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,(2)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,
5、A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,椭圆的几何性质(考点难度),A.0,15 B.5,15 C.5,21 D.(5,21),答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. 2.椭圆中的最值往往与椭圆的范围有关联,如-axa,-byb就是椭圆中的隐含条件,要注意灵活应用.,-19-,考点一,考点二,考点三,
6、对点训练已知点F为椭圆C: +y2=1的左焦点,点P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为(4,3),则|PQ|+|PF|取最大值时,点P的坐标为 .,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,直线与椭圆的位置关系(考点难度),(1)求椭圆C的离心率; (2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OPOQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.,-21-,考点一,考点二,考点三,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.解答直线与椭圆的位置关系的题
7、目时,常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参数、变量的等量关系.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决. 2.涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 3.要善于利用方程来处理有关数据信息.,-24-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知直线l与椭圆C: (ab0)交于A,B两点,M为线段AB的中点,延长OM交椭圆C于点P. (1)若直线l与直线OM的斜率之积为- ,且椭圆的长轴为4,求椭圆C的方程; (2)若四边形OAPB为平行四边形,求四边形OAPB的面积.,解:(1)设A(x1,y1),B
8、(x2,y2),M(x0,y0),-25-,考点一,考点二,考点三,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 由四边形OAPB为平行四边形,得P(x1+x2,y1+y2),-26-,考点一,考点二,考点三,整理得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0,-27-,答题规范椭圆综合问题解答步骤 椭圆综合问题是浙江高考的解答题的热点,方法比较统一,计算难度较大,转化和化归思想是核心.一般可以按照如下步骤答题: 第一步,据椭圆定义、性质及条件求出椭圆方程. 第二步,设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题
9、设条件已知斜率,点不定,都可由点斜式设出直线方程. 第三步,联立方程,把所设直线方程与椭圆方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程. 第四步,求解判别式,计算一元二次方程根的判别式0. 第五步,由根与系数的关系可写出两根之间的关系. 第六步,根据题设条件求解问题中的结论.,-28-,【典例】已知椭圆 (ab0)的两个焦点为F1,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足PF1F2是等腰三角形.(1)求该椭圆方程; (2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线l,与椭圆交于A,B两点,问是否存在常数k,使得|MA|2+|MB|2的值与m无关?若存在,求出这个k的值;若不存在,请说明理由.,-
10、29-,-30-,|MA|2+|MB|2=(1+k2)(x1-m)2+(x2-m)2 =(1+k2)(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+2m2,此时|MA|2+|MB|2=7与m无关,符合题意.,-31-,高分策略1.椭圆中的参数a,b,c三者的关系为a2-b2=c2,这是椭圆中参数关系的核心. 2.求离心率常用两种方法: (1)求得a,c的值,代入公式e= 即可; (2)列出a,b,c的方程或不等式,根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系,最后转化为关于e的方程或不等式. 3.椭圆中焦点三角形的面积公式为 (其中P为椭圆上任意一点,但不能与F1,F2三点共线,F1,F2是椭圆的左、右焦点,为F1PF2的大小).,
