1、9.7 抛物线,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件: (1)在平面内; (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等 ; (3)定点F与定直线l的关系为点Fl .,-4-,知识梳理,双击自测,2.抛物线的标准方程与几何性质,-5-,知识梳理,双击自测,-6-,知识梳理,双击自测,1.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则a的值为( ),答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交该抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|PQ|等于 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6,答案
2、,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为 .,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.过抛物线:y2=8x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则抛物线的顶点到直线AB的距离为 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与该抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.要熟练掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图象,尤其要弄清参数方程中p的几何意义. 2.焦
3、点弦的长度可以通过抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离问题,这样焦点弦弦长公式就会有一个简洁的形式,以焦点在x轴上的抛物线为例,d=xA+xB+p. 3.抛物线中与焦点有关的最值问题一般考查抛物线上的点到焦点的距离及其到准线的距离之间的互换.,-12-,考点一,考点二,考点三,抛物线的定义及其应用(考点难度) 【例1】 (1)(2017课标高考)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= .,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点,若|AB|=
4、5,则AB中点的横坐标为( ),答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,(3)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为 .,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,方法总结与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为 .,答案,解析,-17
5、-,考点一,考点二,考点三,抛物线的标准方程及几何性质(考点难度) 【例2】 (1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为4 ,则抛物线的方程为( ),答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若 = .,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.抛物线有四种不同形式的标准方程,要掌握焦点与准线的距离,顶点与准线、焦点的距离,通径与标准方程中系数2p的关系. 2.求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可
6、设为y2=mx或x2=my(m0). 3.焦点到准线的距离,简称焦距,抛物线y2=2px(p0)上的点常设为 ,便于简化计算.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练若过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|= |AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为( ),答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,直线与抛物线的关系(考点难度),【例3】 已知抛物线C:y=mx2(m0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过点P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标; (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)
7、到焦点F的距离为3,求此时m的值; (3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,存在实数m=2,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线与抛物线的方程来解决. 2.若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线可能相切,也可能相交.,-25-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知抛物线y2=2px(p0),过点Q(4,0)作动直线l交抛物线于A,B两
8、点,且OAOB(O为坐标原点).(1)求抛物线的方程; (2)若对点P(t,0),恒有APQ=BPQ,求实数t的值及PAB面积的最小值.,-26-,考点一,考点二,考点三,解:(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线AB:x=my+n, 代入抛物线方程可得y2-2pmy-2pn=0,y1y2=-2pn.,y1y2=-4p2=-2pn,n=2p, 即直线AB:x=my+2p过定点(2p,0). 2p=4,p=2,抛物线的方程为y2=4x.,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)APQ=BPQ,kPA=-kPB,-28-,难点突破抛物线的焦点弦性质应用 抛物线的焦点弦性质是抛物线性
9、质考查的重点和难点,熟记抛物线焦点弦性质,巧用焦点弦性质公式是解题关键.,【典例】 已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则3|AF|+4|BF|的最小值为 .,-29-,(方法二)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), 设过焦点的直线为x=my+1.,当且仅当3x1=4x2时取等号.,-30-,答题指导与焦点弦有关的常用结论: (以图为依据,其中A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆与准线相切; 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.,-31-,对点训练(1)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B为该抛物线上两点,若,答案,解析,-32-,(2)已知抛物线y2=2px(p0)焦点F到准线l的距离为2.过点F作直线交抛物线于点A,B,交l于点M.若点M的纵坐标为-2,则|AB|= .,答案,解析,-33-,高分策略1.认真区分四种形式的标准方程: (1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,抛物线方程有时可设为y2=mx(m0)或x2=my(m0). 2.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),有:,
