1、1考点规范练 46 椭圆基础巩固组1.(2017 浙江高考)椭圆 =1 的离心率是( )x29+y24A B C D.133 .53 .23 .59答案 B解析 e= ,故选 B.9-43 = 532.设 F1,F2分别是椭圆 =1 的左、右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1P 的中点, |OM|=3,则点 P 到x225+y216椭圆左焦点的距离为( )A.4 B.3 C.2 D.5答案 A解析 由题意知 |OM|= |PF2|=3,12所以 |PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.已知椭圆 mx2+4y2=1 的离心率为 ,则实数 m 等于( )22A.2 B
2、.2 或 C.2 或 6 D.2 或 883答案 D解析 显然 m0,且 m4,当 04 时,椭圆长1m-141m = 22轴在 y 轴上,则 ,解得 m=8.14-1m14 = 224.设 F1,F2分别是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1的中点在 y 轴上,若x2a2+y2b2 PF1F2=30,则椭圆的离心率为( )A B C D.33 .36 .13 .16答案 A解析 设 PF1的中点为 M,连接 PF2.因为 O 为 F1F2的中点,所以 OM 为 PF2的中位线 .2所以 OM PF2,所以 PF2F1= MOF1=90.因为 PF1F2
3、=30,所以 |PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|= |PF2|,|PF1|2-|PF2|2= 3由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a= ,3|PF2|22c=|F1F2|= |PF2|c= ,33|PF2|2则 e= 故选 A.ca= 3|PF2|2 23|PF2|= 33.5.(2018 浙江衢州二调)设椭圆 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且满足x216+y212=9,则 |PF1|PF2|的值为( )PF1PF2A.8 B.10 C.12 D.15答案 D解析 由椭圆方程 =1,可得 c2=4,x216+y212所以 |F1F
4、2|=2c=4.因为 ,F1F2=PF2-PF1所以 | |=| |,两边同时平方,得 | |2=| |2-2 +| |2,所以F1F2 PF2-PF1 F1F2 PF1 PF1PF2 PF2| |2+| |2=|F1F2|2+2 =16+18=34,根据椭圆的定义,得 |PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)PF1 PF2 PF1PF22=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=64,所以 34+2|PF1|PF2|=64.所以 |PF1|PF2|=15.故选 D.36.如图, OFB= , ABF 的面积为 2- ,则以 OA 为长半轴, OB 为短半轴, F
5、 为一个焦点的椭圆方程 6 3为 . 答案 =1x28+y22解析 设所求椭圆方程为 =1(ab0),由题意可知, |OF|=c,|OB|=b,|BF|=a. OFB= ,x2a2+y2b2 6,a=2b.S ABF= |AF|BO|= (a-c)b= (2b- b)b=2- ,bc= 33 12 12 12 3 3解得 b2=2,则 a=2b=2 所求椭圆的方程为 =1.2.x28+y227.(2018 浙江重点中学联考)已知椭圆 C1: =1(ab0)与椭圆 C2: =1(ab0)相交于 A,B,C,Dx2a2+y2b2 y2a2+x2b2四点,若椭圆 C1的一个焦点为 F(- ,0),且
6、四边形 ABCD 的面积为 ,则椭圆 C1的离心率 e 为 .2163答案22解析 联立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,两式相减得 ,因为 a b,x2-y2a2 =x2-y2b2所以 x2=y2=a2b2a2+b2.所以四边形 ABCD 为正方形, ,(*)4a2b2a2+b2=163又由题意知 a2=b2+2,将其代入( *)式整理得 3b4-2b2-8=0,所以 b2=2,则 a2=4.所以椭圆 C 的离心率 e=22.8.设 P 为椭圆 =1 上一点, F 为椭圆的右焦点, A(2,2),则 |PA|-|PF|的最小值为 . x24+y23答案 -413解析 设椭圆的左
7、焦点为 F(-1,0),则 |PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF|)=|PA|+|PF|-2a |AF|-2a= -4,当且仅当 A,P,F三点共线13时等号成立,且 P 在 A,F之间时达到,故 |PA|-|PF|的最小值为 -4.13能力提升组49.过椭圆 =1(ab0)左焦点 F,且斜率为 1 的直线交椭圆于 A,B 两点,向量 与向量 a=(3,-x2a2+y2b2 OA+OB1)共线,则该椭圆的离心率为( )A B C D.33 .63 .34 .23答案 B解析 设椭圆的左焦点为 F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1+x2,y1+y2),直线 A
8、B 的方程为OA+OBy=x+c,代入椭圆方程并整理得( a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韦达定理得 x1+x2=- ,2a2ca2+b2所以 y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.根据 与 a=(3,-1)共线,得 x1+x2+3(y1+y2)=0,即 - +3 =0,解得 ,OA+OB2a2ca2+b2 2b2ca2+b2 b2a2=13所以 e= ,故选 B.1-b2a2= 6310.已知 F1,F2是椭圆 =1(ab0)的左、右焦点,以 F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为x2a2+y2b2P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,若 |PH
9、|= ,则此椭圆的离心率为( )a2A B.5-12 .32C D.2 -2.17-14 2答案 C解析 F 1,F2是椭圆 =1(ab0)的左、右焦点,x2a2+y2b2以 F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,|PH|= ,a2=1,解得 x2= ,x2a2+a24b2 4a2b2-a44b2c 2= ,4a2b2-a44b2 +a2b24b2=5a2b2-a44b2 4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4, 4a2c2-4c4=4a4-5a2c2, 4e2-4e4=4-5e2, 4e4-9e2+4=0, 03 时,椭圆ab 3
10、3m 3C 的焦点在 y 轴上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则 tan60= ,即 ,解ab 3 m3 3得 m9,综上 m 的取值范围为(0,19, + ),故选 A.12.已知直线 l:y=kx+2 过椭圆 =1(ab0)的上顶点 B 和左焦点 F,且被圆 x2+y2=4 截得的弦长x2a2+y2b2为 L,若 L ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( )455A B.(0,55) .(0,255)C D.(0,355) .(0,455)答案 B解析 依题意,知 b=2,kc=2.设圆心到直线 l 的距离为 d,则 L=2 ,4-d2455解得 d2 又因为 d= ,1
11、65. 21+k2所以 ,解得 k211+k2 45 14.于是 e2= ,c2a2= c2b2+c2= 11+k2所以 0b0)的右焦点为 F2,O 为坐标原点, M 为 y 轴上一x2a2+y2b2点, A 是直线 MF2与椭圆 C 的一个交点,且 |OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆 C 的离心率为( )A B C D.13 .25 .55 .536答案 D解析 (方法一) |OA|=|OF 2|=2|OM|, 点 M 在椭圆 C 的短轴上 .设椭圆 C 的左焦点为 F1,连接 AF1,|OA|=|OF 2|,|OA|= |F1F2|.AF 1 AF2,12从而 AF1F2 OMF2
12、, |AF1|AF2|=|OM|OF2|=12.又 |AF1|2+|AF2|2=(2c)2,|AF 1|= c,|AF2|= c.255 455又 |AF 1|+|AF2|=2a, c=2a,即655 ca= 53.故选 D.(方法二) |OA|=|OF 2|=2|OM|, 点 M 在椭圆 C 的短轴上 .在 Rt MOF2中,tan MF2O= ,设椭圆 C 的左焦点为 F1,连接|OM|OF2|=12AF1,|OA|=|OF 2|,|OA|= |F1F2|.12AF 1 AF2. tan AF2F1=|AF1|AF2|=12.设 |AF1|=x(x0),则 |AF2|=2x,|F 1F2|
13、= x.5e= 故选 D.2c2a= |F1F2|AF1|+|AF2|= 5xx+2x= 53.14.已知椭圆 C: =1(a )的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,直线 l:y=ex+a,P 为点 F1关x2a2+y22 2于直线 l 对称的点,若 PF1F2为等腰三角形,则 a 的值为 . 答案 3解析 由题意可得 c= ,e= ,a2-2a2-2aF1(-c,0)到直线 l 的距离为 d= ,|a-ec|1+e2由题意可得 |PF1|=|F1F2|,7即为 2d=2c,即有 =a2-2,(a-a2-2a)21+a2-2a2化简可得 a4-3a2=0,解得 a= 3.15.(20
14、18 浙江衢州二中二模)已知椭圆 =1(ab0)短轴的端点为 P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个x2a2+y2b2端点为 M,AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若 PA,PB 的斜率之积等于 - ,则点 P 到直线14QM 的距离为 . 答案 b455解析 设 A 点的坐标为( x0,y0),则 B 点的坐标为( -x0,-y0),根据题意可知 =- ,即 =- ,y0-bx0-y0-b-x0 14 y20-b2x20 14因为 =1,所以 =-x20a2+y20b2 y20-b2x20 b2a2.故 - =- ,则 ,不妨取点 M(a,0),则直线 QM 的方程为 bx-ay
15、-ab=0.故点 P 到直线 QM 的距离b2a2 14 ba=12为d= b.|2ab|a2+b2= 2b1+(ba)2=45516.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 =1(ab0)的两个焦点, P 为椭圆上一点,且 =c2,则此x2a2+y2b2 PF1PF2椭圆离心率的取值范围是 . 答案 33,22解析 设 P(x,y),则 =(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,PF1PF2将 y2=b2- x2代入 式解得b2a2x2= ,(2c2-b2)a2c2 =(3c2-a2)a2c2又 x20, a2, 2c2 a23 c2,e=ca 33,22.17.已
16、知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且经过点 M(4,1),直线 l:y=x+m 交椭圆于不32同的两点 A,B.(1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围;(3)若直线 l 不过点 M,求证:直线 MA,MB 的斜率互为相反数 .8(1)解 设椭圆的方程为 =1(ab0),x2a2+y2b2因为 e= ,所以 a2=4b2,又因为 M(4,1)在椭圆上,所以 =1,解得 b2=5,a2=20,故椭圆方程为32 16a2+1b2=1.x220+y25(2)解 将 y=x+m 代入 =1 并整理得 5x2+8mx+4m2-20=0,= (8m)2-20(4m2-20)0,解得 -
17、5b0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 B,与 y 轴的交点x2a2+y2b2为 C,已知 AB=613BC.(1)求椭圆的离心率;(2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴上存在一定点M(1,0),使得 PM QM,求椭圆的方程 .解 (1)A (-a,0),设直线方程为 y=2(x+a),B(x1,y1).令 x=0,则 y=2a,C (0,2a),=(x1+a,y1), =(-x1,2a-y1). AB BC,x 1+a= (-x1),y1= (2a-y1), AB=613BC 613 613整理,得
18、x1=- a,y1= a.1319 1219B 点在椭圆上, =1, (1319)2+(1219)2a2b2, ,即 1-e2= ,e=b2a2=34 a2-c2a2 =34 34 12.(2) ,可设 b2=3t,a2=4t,b2a2=349 椭圆的方程为 3x2+4y2-12t=0.由 得(3 +4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.3x2+4y2-12t=0,y=kx+m, 动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,= 0,即 64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得 m2=3t+4k2t.设 P(x1,y1),则有 x1=- =-8km2(3+4k2),y1=kx1+m= ,P4km3+4k2 3m3+4k2 (- 4km3+4k2, 3m3+4k2).又 M(1,0),Q(4,4k+m),若 x 轴上存在一定点 M(1,0),使得PM QM, (-3,-(4k+m)=0 恒成立 .整理,得 3+4k2=m2, 3+4k2=3t+4k2t (1+4km3+4k2,- 3m3+4k2)恒成立 .故 t=1,所求椭圆方程为 =1.x24+y23
