1、1考点规范练 51 排列与组合基础巩固组1.一排 9个座位坐了 3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )A.33! B.3(3!)3 C.(3!)4 D.9!答案 C解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这 3家,所以有(3!) 4种 .2.有 20个零件,其中 16个一等品,4 个二等品,若从这 20个零件中任意取 3个,那么至少有 1个一等品的不同取法的种数为( )A.2 320 B.1 136 C.472 D.846答案 B解析 (方法一)将“至少有 1个一等品的不同取法”分三类:“恰有 1个一等品”,“恰有 2个一等品”,“恰有 3个一等品”,由分类加法计数原理有 =
2、1136(种) .C116C24+C216C14+C316(方法二)考虑其对立事件“3 个都是二等品”,则不同取法有 =1136(种) .C320-C343.我们把各位数字之和为 6的四位数称为“六合数”(如 2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为 2的“六合数”共有( )A.18个 B.15个 C.12个 D.9个答案 B解析 根据“六合数”的定义可知,当首位为 2时,其余三位是数组(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(1,1,2)的所有排列,即共有 3+ +3+3=15(个) .A334.七人并排站成一行,如果甲、乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是( )A.1 44
3、0种 B.3 600种C.4 820种 D.4 800种答案 B解析 除甲、乙外,其余 5人的排列数为 ,再用甲、乙去插 6个空位,有 种 .故不同的排法种数是A55 A26=3600,应选 B.A55A265.四面体的顶点和各棱中点共 10点,在其中取 4个不共面的点,不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种答案 D解析 10个点中任取 4个点共有 种取法,其中四点共面的有三种情况: 在四面体的四个面上,每C410面内四点共面的情况有 种,四个面共有 4 种; 过空间四边形各边中点的平行四边形共 3个; C46 C46过棱上三点与对棱中点的三角形共 6个 .
4、所以四点不共面的情况的种数是 -4 -3-6=141.C410C466.从 6名运动员中选出 4人参加 4100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,那么共有 种不同的参赛方案 . 答案 252解析 设全集 =6人中任取 4人参赛的排列, A=甲跑第一棒的排列, B=乙跑第四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有 n(I)-n(A)-n(B)+n(A B)= =252种 .A46-A35-A35+A2427.某市委从组织机关 10名科员中选 3人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有 1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 .(用数字作答) 答案 49解析 法一(直接法)甲、乙两人均
5、入选,有 种 .C17C22甲、乙两人只有 1人入选,有 种方法,C12C27所以由分类加法计数原理,共有 =49(种)选法 .C22C17+C12C27法二(间接法)从 9人中选 3人有 种方法 .C39其中甲、乙均不入选有 种方法,C37所以满足条件的选法有 =84-35=49(种) .C39-C378.3男 3女共 6名学生排成一列,同性者相邻的排法种数有 ;任两个女生不相邻的排法有 .(均用数字作答) 答案 72 144解析 分别把 3男 3女各看作一个复合元素,把这两个复合元素全排列,3 男 3女内部也要全排列,故有 =72(种);把 3名女学生插入到 3名男学生排列后所形成的 4个
6、空中的 3个,故有A33A33A22=144(种) .A33A34能力提升组9.甲、乙两人从 4门课程中各选修两门,则甲、乙所选的课程中至少有 1门不相同的选法共有( )种A.30 B.36 C.60 D.72答案 A解析 甲、乙所选的课程中至少有 1门不相同的选法可以分为两类:当甲、乙所选的课程中 2门均不相同时,甲先从 4门中任选 2门,乙选取剩下的 2门,有 =6(种)方法;当甲、乙所选的课程中有且C24C22只有 1门相同时,分为 2步: 从 4门中选 1门作为相同的课程,有 =4(种)选法, 甲从剩余的 3门C14中任选 1门,乙从最后剩余的 2门中任选 1门,有 =6(种)选法,由
7、分步乘法计数原理此时共有C13C12=24(种)方法 .综上,共有 6+24=30(种)方法 .C14C13C1210.6名同学站成一排拍毕业照,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60 B.96 C.48 D.72答案 C解析 先把乙和丙,丁和戊看作两个整体,四个人进行排列:有 2 种排法,再考虑乙和丙,丁和戊排,有A332 =48种排法 .故选 C.A33A22A2211.将 5名同学分到甲、乙、丙 3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50 B.80 C.120 D.140答案 B解析 根据题意,分 2种情
8、况讨论: 甲组有 2人,首先选 2个放到甲组,共有 =10(种)结果,C25再把剩下的 3个人放到乙和丙两个组,每组至少一人,共有 =6(种)结果,C23A223所以根据分步乘法计数原理知共有 106=60(种)分配方案; 当甲组中有三个人时,有 =20(种)分配方案 .C35A22所以共有 60+20=80(种)分配方案 .故选 B.12.三对夫妻站成一排照相,则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )A.72 B.144 C.240 D.288答案 D解析 第一步,先选一对夫妻使之相邻,捆绑在一起看作一个复合元素 A,这对夫妻有 2种排法,故有=6(种)排法;第二步,再选一对夫妻,这对夫妻有 2
9、种排法,从剩下的那对夫妻中选择一个插入到C13A22刚选的夫妻中间,把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素 B,有 =8(种)排法;第三步,将复C12A22C12合元素 A,B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列,有 =6(种)排法,由分步乘法计数原理,A33知三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的排法有 686=288(种),故选 D.13.设集合 A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi -1,0,1,i=1,2,3,4,5,则集合 A中满足条件“1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素的个数为( )A.60 B.90 C.120 D.130答案 D解析 设
10、t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明 x1,x2,x3,x4,x5中有一个为 -1或 1,其他为 0,所以有 2=10个元素满足 t=1;t=2说明 x1,x2,x3,x4,x5中有两个为 -1或 1,其他为 0,所以有C1522=40个元素满足 t=2;t=3说明 x1,x2,x3,x4,x5中有三个为 -1或 1,其他为 0,所以有C25222=80个元素满足 t=3,从而,共有 10+40+80=130个元素满足 1 t3 .C3514.从数字 1,2,3,4,5,6,7中任取 3个奇数,2 个偶数,组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数,则满足条件的
11、五位数共有 个 . 答案 864解析 从数字 1,2,3,4,5,6,7中任取 3个奇数,2 个偶数的取法种数为 把 3个奇数全排列,有 种,再C34C23. A33把 2个偶数在 3个奇数排列后产生的空位置中排列,有 种,所以根据分步乘法计数原理,知满足条A24件的五位数共有 =864(个) .C34C23A33A2415.将 6本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4个人,每人至少 1本的不同分法有 种 .(用数字作答) 答案 1 560解析 把 6本不同的书分成 4组,每组至少 1本的分法有 2种 . 有 1组 3本,其余 3组每组 1本,不同的分法共有=20种;C36C13C12C11A33
12、有 2组每组 2本,其余 2组每组 1本,不同的分法共有 =45种 .C26C24A22C12C11A22所以不同的分组方法共有 20+45=65种 .然后把分好的 4组书分给 4个人,所以不同的分法共有 65 =1560种 .A4416.电影院一排 10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,则他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 种 . 4答案 40解析 先排 7个空座位,由于空座位是相同的,则只有 1种情况,其中有 6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将 3人插入 6个空位中,共有 1 =120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则符合要求的A36坐法有 120=40(种)
13、 .1317.将 7个相同的小球放入 4个不同的盒子中 .(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种?(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种?解 (1)将 7个相同的小球排成一排,在中间形成的 6个空当中插入无区别的 3个“隔板”,将球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有 =20种不同的放入方式 .C36(2)每种放入方式对应于将 7个相同的小球与 3个相同的“隔板”进行一次排列,即从 10个位置中选 3个位置安排隔板,故共有 =120种放入方式 .C31018.“渐升数”是指除最高位数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如 13 456和 35 678都是五位的“渐升数”) .(1)求五位“渐升数”的个数;(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第 120个五位“渐升数” .解 (1)根据题意,“渐升数”中不能有 0,则在其他 9个数字中任取 5个,每种取法对应 1个“渐升数”,则共有“渐升数 =126(个) .”C59(2)对于这些“渐升数”,1 在首位的有 =70(个),2 在首位的有 =35(个),3 在首位的有C48 C47=15(个),因为 70+35+15=120,所以第 120个五位“渐升数 ”是 3在首位的“渐升数”中最大的一C46个 .故第 120个五位“渐升数”是 36789.
